Die Kettenregel

Mit der Kettenregel berechnet man die Ableitung einer Verknüpfung zweier Funktionen f und g. Die Schreibweise
(g<Kette>f)(x) [gesprochen: g nach f von x] bedeutet, daß man zuerst f(x) bildet und dann auf das Ergebnis g anwendet.

Um den Zusammenhang klar zu machen, hier zunächst eine Zeichnung. Die Punkte x und x+h können mit der Maus bewegt werden. Neben dem Mechanismus der Verkettung wird auch gezeigt, wie sich die Sekantensteigungen an den beiden Funktionen f und g sowie an der verketteten Funktion g<Kette>f zueinander verhalten.

Zum Experimentieren mit dieser Zeichnung braucht Ihr einen Java-fähigen Browser.
 

Das folgende Bild zeigt den selben Zusammenhang in einer Zeichnung, die mit The Geometer's Sketchpad erstellt wurde. Um mit der Zeichnung zu arbeiten, muß eine Sketchpad-Version (erhältlich für Macintosh oder Windows, auch als Demo) auf eurem Rechner installiert sein. Außerdem muß euer Browser so eingestellt sein, daß er Dateien mit der Endung .gsp mit Sketchpad öffnet. Dann könnt ihr die Zeichnung mit einem Klick auf das Bild laden.


 
In der Zeichnung ist


f(x) = (x-5)2 ,
g(z) = sin z ,
(g<Kette>f)(x) =sin ((x-5)2) .

Eingezeichnet sind die Steigungsdreiecke, die sich durch die Wahl der Punkte x und x+h auf der x-Achse für die drei Funktionen  ergeben.Wir bezeichnen:
                                                            dx = (x+h) - x,
                                                            dz = f(x+h) - f(x),
                                                            dy = g(f(x+h)) - g(f(x)).

An den beiden Hilfskonstruktionen sieht man den Zusammenhang, in dem die Dreiecke stehen. Stellen wir den üblichen Quotienten für die Sekantensteigung auf, so sehen wir, daß für die gesuchte Steigung gilt:

Dieser Bruch läßt sich mit dz erweitern. Es ergibt sich:

dz/dx * dy/dz = dy/dx
Die Sekantensteigung im grünen Dreieck ist das Produkt aus den Sekantensteigungen im blauen und im roten Dreieck.

Wenn h gegen 0 konvergiert, gehen die Sekantensteigungen in die entsprechenden Tangentensteigungen über: dz/dx nähert sich der "inneren Ableitung" f'(x), dy/dz der "äußeren Ableitung" g'(f(x)) an.
Weil dy/dx sich der gesuchten "gesamten" Ableitung annähert, müssen wir die beiden Ableitungen oben multiplizieren und erhalten ...
 
die Kettenregel:
(g<Kette>f)'(x) = (g(f(x)))' = g'(f(x))* f '(x)
kurz: "Äußere mal innere Ableitung"

 

Wir wenden nun die Kettenregel auf das Beispiel unserer Zeichnung an:

f(x) = (x-5)2 = x2 - 10x + 25          f '(x) = 2x - 10
g(z) = sin z                                   g'(z) = cos z

(g<Kette>f)'(x) =(g(f(x)))' = g'(f(x)) * f '(x) = cos((x-5)2 ) * (2x -10)

[Natürlich läßt sich auch f '(x) bereits mit der Kettenregel berechnen.]
 

Hier noch ein weiteres Beispiel: