colliot@math.u-psud.fr , kunyav@macs.biu.ac.il
Submission: 2005, Feb 25
Let k be a field of characteristic zero. Let Y=G/H, where G is a semisimple algebraic group over k and H is a connected closed k-subgroup of G. Let T be the maximal k-torus quotient of H. Let X be a smooth compactification of Y over k. We give a formula for the Brauer group of X in terms of the Galois cohomology of the character group of T. The geometric Picard group of X is a lattice equipped with an action of the absolute Galois group of k. We conjecture that this Galois lattice is flasque. We prove partial results in this direction, and we reduce the general case to a conjecture on the bad reduction of certain homogeneous spaces. Our proofs involve detours over local and global fields. The results extend to homogeneous spaces under G which need not have a rational point.
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Soit k un corps de caractéristique zéro. Soit Y=G/H le quotient d'un k-groupe semisimple simplement connexe par un k-sous-groupe connexe H. Soit X une k-compactification lisse de Y. Nous montrons que le groupe de Brauer de X est entièrement déterminé par la cohomologie galoisienne du groupe des caractères du plus grand k-tore quotient de H. Le groupe de Picard géométrique de X est un réseau muni d'une action du groupe de Galois absolu de k. Nous conjecturons que ce module galoisien est flasque. Nous prouvons des cas particuliers de cette conjecture et nous réduisons le cas général à une conjecture sur la mauvaise réduction de certains espaces homogènes. Nos démonstrations passent par des contorsions arithmétiques (recours aux corps de nombres et aux corps locaux). Les résultats s'étendent aux G-espaces homogènes ne possédant pas nécessairement de point rationnel.
2000 Mathematics Subject Classification: 20G15 Linear algebraic groups over arbitrary fields; 14C22 Picard groups; 14F22 Brauer groups of schemes; 11E72 Galois cohomology of linear algebraic groups; 14M17 Homogeneous spaces and generalizations; 12G05 Galois cohomology
Keywords and Phrases: homogeneous space; Brauer group; Picard group; Galois cohomology
Full text: dvi.gz 45 k, dvi 123 k, ps.gz 539 k, pdf.gz 212 k, pdf 230 k.