Spektralverteilungen kodieren eine Vielzahl unterschiedlicher Eigenschaften des zugrundeliegenden Problems. So lassen sich die Spektren komplexer Systeme, wie z.B. das Kernresonanzspekrum der Nukleonen in Atomkernen hoher Ordnungszahl nur stochastisch beschreiben und durch universelle, von Wigner und Dyson gefundene, lokale und globale (deterministische) Verteilungen approximieren. Diese wurden von Berry und Tabor als allgemein universell für lokale Spektralverteilungen "chaotischer" dynamischer Systeme postuliert. Sie beschreiben interessanterweise aber auch die lokale Nullstellenverteilung von Zetafunktionen der Zahlentheorie. Des weiteren steht z.B. die Anzahl von Moden im Phasenraum, die zu einem gegebenen Spektralintervall gehören, in enger Beziehung zur Geometrie des Grundraumes. Sie ist abhängig von seiner (fraktalen) Dimension und seinen Symmetrien (wie der Periodizität zugehöriger Hamilton-, bzw. geodätischer und unipotenter Flüsse). Dies führt bei homogenen Räumen und den damit zusammenhängenden algebraischen Gruppen auf die Untersuchung ihrer natürlichen Geometrie.
Die Bestimmung der Anzahl der Moden kann zudem manchmal direkt als klassisches Gitterpunktproblem der analytischen Zahlentheorie interpretiert werden, das eng verwandt ist mit Fluktuationssätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Vermutungen über die universelle Natur der Abstandsverteilung der Spektren bei "generischen" bzw. zufälligen integrablen Hamilton-Systemen mit ihren Verbindungen zur Theorie des Quantenchaos haben zu einem regen Interesse an diesen Fragestellungen auch in der Physik geführt.
Diesen Zusammenhängen zwischen der Geometrie von homogenen Mannigfaltigkeiten bzw. zufälligen Medien, den (stochastischen) dynamischen Systemen darauf und ihren Spektraleigenschaften soll vor allem im Zusammenwirken der Projekte Abels, Beyn, Götze, Hansen/Metz nachgegangen werden.
Dynamische Prozesse in komplexen Umgebungen, wie z.B. in kristallinen und amorphen Festkörpern oder Systeme in der Nähe eines Phasenüberganges (Modelle der selbstorganisierten Kritikalität), erlauben oft nur noch eine approximative stochastische Beschreibung z.B. durch stochastische Teilchenmodelle auf Gittern, die zu Systemen von (stochastischen) Differentialgleichungen führen. Die zugehörigen Dynamiken werden außerhalb und in der Nähe des Gleichgewichts durch Invarianten des Systems bestimmt. In der Nähe von Gleichgewichten sind dies Spektrallücken, genauer die lokale Verteilung der Randwerte des Spektrums, der (zufälligen) infinitesimalen Erzeuger des stochastischen Prozesses. Das globale Verhalten wird entsprechend durch dynamische Invarianten wie Entropie, Lyapunov-Exponenten und Oseledets-Räume charakterisiert.
Spezialfälle sind Transferoperatoren oder Linearisierungen deterministischer dynamischer Systeme sowie Erzeuger von Diffusionsprozessen wie Dirichlet- und Schrödinger-Operatoren. Die numerische Diskretisierung dieser stetigen Prozesse und ihrer Generatoren auf geeigneten Gittern (z.B. Reaktions-Diffusionsgleichungen) ist aufs Engste mit der Charakterisierung der obigen (stochastischen) Dynamiken verknüpft.
Die Untersuchung der Verbindungen zwischen der Geometrie des Grundraumes, den Invarianten und dem kritischen Verhalten der genannten (stochastischen) Dynamiken in qualitativer und auch numerischer Approximation ist das gemeinsame Forschungsziel vor allem der Projekte Beyn, Blanchard, Hansen/Metz und Röckner, die sich durch die Ausrichtung auf mehr numerische, mehr modellspezifische bzw. übergreifende analytische und stochastische Aspekte der obigen Fragestellungen ergänzen und zusammenwirken.
Im einzelnen sollen insbesondere die folgenden zentralen Themenkreise gemeinsam bearbeitet werden:
Für einige der daran beteiligten Wissenschaftler aus den Fakultäten für Mathematik bzw. Physik aus den Bereichen Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis, dynamische Systeme und mathematische Physik haben sich die oben beschriebenen Themenkreise als gemeinsame neue Forschungsrichtungen herauskristallisiert. Diese sollen innerhalb der Forschergruppe in folgenden Projekten bearbeitet werden: