Zusammenfassung:
Komplexe Systeme in einem zufällig fixierten Medium
wie Verteilungen von Funktionalen von interagierenden
Teilchenprozesse in der Stochastik, Spektralverteilungen von
dynamischen Systemen (in einer 'generisch' oder zufällig
gewählten Geometrie) konvergieren mit wachsender Zahl der
Einflußgrößen bzw. wachsendem Phasenraumvolumen gegen
universelle Grenzverteilungen, die von der speziellen Wahl des
zufälligen Mediums unabhängig sind.
Solche 'zufälligen' Umgebungen werden zum Beispiel auch durch Wahl
von irrationalen bzw. diophantisch gewählten
Koeffizienten von Polynomen erzeugt, deren Werte auf großen
Gitterbereichen
dann asymptotisch lokal gleichmäßig verteilt sind.
Wie auf dem Übersichtsbeitrag auf dem ICM 1998 dargestellt,
ist diese Asymptotik aus der analytischen Zahlentheorie
fundamental für die Approximation in klassischen Grenzwertsätze der
Wahrscheinlichkeitstheorie, aber auch für asymptotische
Spektralverteilungen in speziellen dynamischen Systemen.
Langfristiges Ziel ist es, diese Beziehungen
zwischen universalen Grenzwertsätzen der
Wahrscheinlichkeitstheorie stochastischer Prozesse,
der spektralen Analysis dynamischer Systeme
und der analytischer Zahlentheorie
für wichtige Modelle 'zufälliger' Medien zu untersuchen.
An diesen Schnittstellen
unterschiedlicher Gebiete ermutigen die bisherigen
Erfolge mit einem Methodentransfer von der Wahrscheinlichkeitstheorie
zur Analytischen Zahlentheorie dazu, die Verbindungen zwischen Stochastik,
der Spektraltheorie dynamischer Systeme und der Analytischen
Zahlentheorie für das
Studium der folgenden Fragestellungen nach mehreren Richtungen
hin auszubauen:
Die in den letzten Jahren erfolgreich eingesetzten Methoden zur optimalen Verteilungsapproximation quadratischer Formen sollen mit Hilfe von Abschätzungen von Thetasummen durch Größen aus der Geometrie der Zahlen auf quadratischen Formen ab Dimension fünf ausgedehnt werden. Ziel ist es, die von Davenport und Lewis im positiv definiten Fall vermutetete lokale Gleichverteilung der Werte im Unendlichen zu zeigen, sowie effektive Schranken für die lokale Gleichverteilung im indefiniten Fall (quantitative Oppenheim-Vermutung) zu gewinnen. Aufbauend darauf wird man auch optimale Konvergenzraten im zentralen Grenzwertsatz für Ellipsoide in diesen Dimensionen zeigen können.
Für die Approximation der Gitterpunktanzahlen von Orbiten von affinen Kristallografischen Gruppen in Kugeln von euklidischen und nichteuklidischen Räumen besteht die Hoffnung, vergleichbare analytischen Methoden für die Analyse von Anfangswertproblemen der Wellengleichung bzw. für die Spektralverteilung des Laplace Operators entwickeln zu können.
Die hier eingesetzten Techniken sollen auch für andere spektrale Modelle weiterentwickelt werden wie zum Beispiel für die Bestimmung der Konvergenzgeschwindigkeit in globalen und der Konvergenz in lokalen Spektral-Asymptotiken im Wigner-Ensemble zufälliger Matrizen.
Neben diesen analytischen Methoden werden zur Untersuchung der Gleichverteilung der Werte quadratischer Formen mod 1 auf Gittern in Anhängigkeit von den Koeffizienten auch Ergodensätze für quasi-geodätische Flüsse auf Überlagerungen der zugehörigen homogenen Räume eingesetzt werden.
Der Einfluß zufälliger Umgebungen auf Grenzverteilungen wird ferner in exemplarischen stochastischen Modellen, wie dem Fluktuationsverhalten von kombinatorischen Extremalstatistiken, sowie der freien Energie von Hopfield Netzwerken, SK-Modellen und Filterproblemen im Zusammenhang mit interagierenden Teilchenprozessen, das Hauptforschungsziel sein.