Harmonische Funktionen und inhomogene Medien

Leiter:
Prof.Dr. W.Hansen - email: hansen@mathematik.uni-bielefeld.de
Priv.-Doz.Dr. V.Metz - email: metz@mathematik.uni-bielefeld.de

Eine Potentialtheorie inhomogener Medien soll unter dem Blickwinkel der Störung homogener Modelle betrieben werden. Es werden zwei Themenkreise betrachtet:

Schrödingeroperatoren (W. Hansen): Sogar im Rahmen der Theorie von Balayageräumen lassen sich lineare oder nichtlineare Störungen studieren, die im Spezialfall eines linearen elliptischen oder parabolischen Operators zweiter Ordnung L dem Übergang zu einem Schrödingeroperator

Su := Lu - f(·, u)m
entsprechen. Dabei ist m ein signiertes Maß, das keine Masse auf polaren Mengen hat, und hängt die Stärke der erreichbaren Aussagen von Annahmen über die Funktion f ab. Geeignete Wahl von m kann Inhomogenitäten des zugrunde liegenden Mediums bis zu völliger Absorption in gewissen Teilen modellieren.
Den zu -L inversen Operator G zu benutzen, um den Schrödingeroperator S zu untersuchen, ist wegen Su= L(u + G f(·,u)m) eine wohlbekannte Grundidee. Bemerkenswert ist, dass für die Behandlung vieler Probleme (Martinrand, Harnacksche Ungleichungen, Liouville-Eigenschaft usw.) die Verwendung grundlegender potentialtheoretischer Eigenschaften der Abbildung f -> G_fm völlig ausreichend und oft auch in speziellen Situationen erfolgreicher ist als die jeweiligen speziellen Methoden. Daher soll dieser Zugang für verallgemeinerte Eigenwertprobleme Su=a uv (v ein Maß) und Reaktions-Diffusionsgleichungen weiter entwickelt werden. Vielleicht gelingt auch eine Anwendung auf Gleichungen aus dem Projekt Röckner. Überraschenderweise sind Schrödingeroperatoren auch bei der Untersuchung der eingeschränkten Mittelwerteigenschaft sehr hilfreich, da sie untere Abschätzungen von Trefferwahrscheinlichkeiten ermöglichen.

Fraktale Mengen (V. Metz): Hier wird eine kompakte Teilmenge des Rd massiv gestört durch iteratives, selbstähnliches Ausschneiden bei der Erzeugung eines Fraktals. Die Ränder der Ausschnitte sind dabei jeweils isolierend (reflektierend). Falls eine zugehörige Folge von Differenzen- oder Differentialoperatoren überhaupt sinnvoll konvergiert, so liegt der homogenisierte Grenzwert, z.B. im Sinne von effektiven Widerständen, im allgemeinen weit vom euklidischen (Start-)Modell entfernt. Interpretiert man das homogenisierte Modell als ungestört, so wird die Konvergenz einer Teilfolge von Approximationen gegen dieses Modell zu einer Folge abnehmender Störungen. Physikalische Modelle mit nur endlich vielen Approximationsstufen sind dann Störungen eines (idealisierten) Limesmodells. Ein geeigneter Abstandsbegriff für Dirichletformen, wie z.B. die Hilbertsche Metrik auf positiv semidefiniten (vergleichbaren) quadratischen Formen im Falle endlich verzweigter Fraktale, könnte dann quantitative Aussagen ermöglichen. Die obige Konvergenz resultiert im endlich verzweigten Fall aus Mittelungseffekten, die letztlich auf einer gleichmäßigen Harnackungleichung für die beteiligten harmonischen Funktionen beruhen. Da die Nichtlinearität sich hier auf Superadditivität beschränkt, fördert sie eher eine Mischung. Geeignete Konvergenzbegriffe für Dirichletformen sind etwa die Mosco- und Gamma-Konvergenz.
Der Zusammenhang der Limesmodelle soll auch mit Techniken des Projekts Röckner untersucht werden. Existiert ein homogener Limes, so kann ein zugehöriger fraktaler Dirichletoperator konstruiert werden, für den die obigen Resultate von W. Hansen gelten. Eine experimentelle Suche nach fraktalen Effekten wird durch diskrete Approximationen erleichtert, wie sie im Projekt Beyn geplant sind. Physikalisch realistische Fraktale erfordern z.B. auch eine Randomisierung ihrer Struktur. Daraus resultieren spektrale Probleme, ähnlich zu denen im Projekt Götze.

Letzte Änderung: 19.6.2001 fgweb@mathematik.uni-bielefeld.de