Das Verhalten von stochastischen Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden (wie z.B. unendliche wechselwirkende Teilchensysteme, deren Dynamik durch eine stochastische (partielle) Differentialgleichung gegeben ist) lässt sich im Markovschen Fall analytisch über den infinitesimalen Generator ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben. Dieser Generator ist ein (Pseudo-)Differentialoperator der Ordnung (höchstens) 2 in unendlich vielen Variablen. Wie in endlichen Dimensionen ist zu dessen Analyse die Entwicklung einer geeigneten L^p-Theorie in unendlich vielen Dimensionen notwendig, d.h.: ein unendlichdimensionales Analogon der klassischen Sobolevraum-Theorie. Da auf unendllichdimensionalen Räumen kein Lebesguemaß existiert, ist es zunächst erforderlich ein dem Operator und der jeweiligen zugrunde liegenden Geometrie angepasstes Referenzmaß zu konstruieren. Typischerweise sind (sub)invariante Maße des Operators dazu geeignet. Im einzelnen sollen u.a. folgende Themen dazu bearbeitet werden:

• A priori Abschätzungen, Existenz, Eindeutigkeit und Regularität (sub-)invarianter Maße µ
• Existenz und Eindeutigkeit einer Erweiterung des Operators, der eine Halbgruppe auf L^p(µ) erzeugt, die die verlangten Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt
• Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der zugrunde liegenden stochastischen (partiellen) Differentialgleichung
• Untersuchung von Spektraleigenschaften des Operators auf L^p(µ), insbesondere hinsichtlich der Asymptotik der Langzeitentwicklung des stochastischen Systems
• Fallstudien/Anwendungen: stochastische Burgers und Navier-Stokes Gleichungen, stochastische Quantisierung, singuläre Diffusionen auf R^d, Klassen maßwertiger Diffusionen, Diffusionsoperatoren auf Pfad- und Schleifenräumen über Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Das langfristige und weiter angelegte Forschungsprogramm der Arbeitsgruppe ist, eine L^p-Analysis für (Pseudo-) Differentialoperatoren in unendlich vielen Variablen zunächst im linearen, aber dann auch im nichtlinearen Fall zu entwickeln. Dabei soll sich an konkreten Anwendungen in der Analysis, der Theorie der dynamischen Systeme und der unendlichdimensionalen Differentialgeometrie einerseits, sowie der Stochastik und mathematischen Physik andererseits orientiert werden. Neben der Lösung offener Probleme ist das Ziel dabei vor allem die Entdeckung von Grundkonzepten anhand des genauen Studiums von natürlichen Modellklassen (z.B. aus der mathematischen Physik). Diese Konzepte sollen dann aber, in eine allgemeine Theorie eingebettet, exakt formuliert und möglichst allgemein bewiesen werden.