Zahlenfolgen und Grenzwerte

Eine Zahlenfolge wird mit an bezeichnet und ihre Folgenglieder gehorchen dem Bildungsgesetz der Zahlenfolge.
Für n werden natürliche Zahlen (manchmal auch mit 0) eingesetzt.
 

Zum Beispiel:  an = n + 2   (n + 2 ist Bildungsgesetz; Werte für n=... sind Folgenglieder)
 

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Wert 2 3 4 5 6 7 8 9 10

oder:  an = (½)n
 

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Wert 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256

oder auch:  an = (-1)n  (n/2) + 1
 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Wert 1/2 2 -1/2 3 -3/2 4 -5/2 5 -7/2

Während beim zweiten Beispiel die Folgenwerte für größere n immer kleiner werden, sieht man beim dritten, daß die Werte für gerade n immer größer und für ungerade n immer kleiner werden.
 

Eine Zahlenfolge kann auch rekursiv definiert werden, wie das folgende Beispiel zeigt:
 

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Hier werden die ersten sieben Glieder einer Folge dargestellt, bei der jeweils abwechselnd eine immer höhere Potenz von –1/2 addiert und subtrahiert wird.
Die Folge gehorcht folgendem Gesetz:

an+1 = an + (-½) n        und a0 = 0

Dies nennt man rekursiv (zurücklaufend) definierte Folge, da ein Folgenglied erst dann berechnet werden kann, wenn man seinen Vorgänger kennt.
 


In der folgenden Abbildung ist der Graph der Folge an= 1 - (1/n) dargestellt:

Sketchpad-Konstruktion

Diese Folge ist monoton steigend, da jeder Folgenwert größer als sein Vorgänger ist. Dies kann man dadurch zeigen, indem man beweist: an+1 -  a> 0.
Analog gibt es auch monoton fallende Folgen wie  an = 1 + (1/n).              (Beweis durch: an+1 -  a< 0.)

Wenn man sich die obige Darstellung ansieht, fällt auf, daß sich die Werte immer mehr 1 annähern. So ist zum Beispiel a= 1 - (1/4) = 3/4 . a1000 = 1 - (1/1000) = 999/1000  ist schon wesentlich näher an 1. Jetzt kann man sich fragen, was passiert, wenn man immer größere n betrachtet. Da die Folge monoton steigt, kommt man, mit immer größeren n beliebig nahe an 1 heran, erreicht diese aber nie, da dafür 1/n gleich 0 werden müsste.

Epsilon-Streifen (für Sketchpad)

Hier wird die Folge an= 1 - (1/n) nicht mehr im kartesischen Koordinatensystem dargestellt, sondern nur noch ihre einzelnen Glieder auf dem Zahlenstrahl. Um den (vermuteten) Grenzwert wird im Abstand epsilon (eine sehr kleine positive Zahl) ein Streifen gelegt und die Folgenglieder, die sich nicht darin befinden gezählt. In jedem noch so kleinen Epsilon-Streifen müssen sich fast alle Folgenglieder befinden. (fast alle = alle außer endlich viele). Dies ist die Definition des Grenzwerts.
 
 

Formal:  " e > 0,  n Î N $ N(e) :  n > N(e) Þ |g - an| < e
Sprachlich: Für alle positiven epsilon und natürliche n gibt es eine Grenze N(epsilon), nach der alle Folgenglieder um weniger als epsilon vom Grenzwert g entfernt sind. (Nur die Folgenglieder vor N(epsilon) dürfen weiter entfernt liegen, also nur endlich viele.)

Bei unserem Beispiel oben würde der Grenzwert wie folgt geschrieben:

lim(n -> infinity) 1- 1/n = 1

Hat eine Zahlenfolge einen Grenzwert, so nennt man sie konvergent (zusammenlaufend), die Folge konvergiert gegen den Grenzwert.
Hat sie keinen Grenzwert, so nennt man sie divergent (auseinanderlaufend), die Folge divergiert. (siehe Beispiel 3 ganz oben)
 



 

Bei dieser sogenannten Quadratpflanze wird die Fläche, die durch die kleinen Quadrate hinzukommt immer geringer; wohin also strebt die Fläche der außerhalb liegenden Quadrate ?

Quadratpflanze (für Sketchpad)

Hier ist die Rechnung mit der man zu der Feststellung von oben (siehe Bild) kommt: (a ist Kantenlänge des Ursprungsquadrats)
Die Fläche eines Quadrats der k-ten Generation ist (a/3k)2.
Von einer bestimmten Generation k gibt es 3k Quadrate, so daß die Fläche aller Quadrate einer Generation a2/3k ist.
Für die Fläche aller Quadrate muß man die Summe bilden, und n gegen unendlich gehen lassen:

Summenformel für die Quadratpflanze
 


Folgen tauchen in vielen mathematischen Prozessen auf. Ein Beispiel sind Näherungsverfahren. Der griechische Mathematiker Archimedes (um 287 bis 212 v.Chr.) versuchte p, das Verhältnis zwischen dem Durchmesser und der Umfang eines Kreises, durch aufwendige Näherungen zu bestimmen. Er berechnete den Umfang von n-Ecken, die er dem Kreis ein- und umbeschrieb, und setzte seine Untersuchungen bis zum Wert n = 96 fort!

Wir können diese Leistung knapp übertreffen. Das untere Bild zeigt, wie ein 9-Eck in sowie ein weiteres um einen Kreis gelegt wurde. Die dazugehörige Konstruktion mit The Geometer's Sketchpad gestattet es, an dem blauen Kreis (oben) zu ziehen, um aus dem 9-Eck ein Dreieck, Viereck, ... bis hin zu einem 100-Eck zu machen. Außerdem wird neben dem Umfang auch die Kreisfläche angegeben (bekanntlich ist p auch das Verhältnis zwischen der Fläche und dem Radius eines jeden Kreises).
 

Umbeschriebene und einbeschriebene n-Ecke (für Sketchpad)

Die korrekte mathematische Beschreibung für diesen Näherungsvorgang: Wir definieren zwei Folgen, je eine für den Umfang des inneren und des äußeren n-Ecks. (Weil wir uns für p interessieren, halbieren wir jeden Umfang.)

Ohne Berechnung, rein aus den geometrischen Zusammenhängen, ist offensichtlich:
 
lim  innenn  =  lim außenn  =  p
n®¥ n®¥
Außerdem ist leicht einzusehen, daß die beiden Folgen den Grenzwert p mit zunehmend guter Näherung "einschachteln", das heißt:
innenn <  innenn+1  <   p   <   außenn+1 < außenn
für alle n.

Verhalten der Innen- und  Außenfläche zu pi
 

Es liegt wenig Sinn darin, dies mathematisch zu beweisen. Umgekehrt jedoch könnten wir versuchen, die Konvergenz der Folgen für die Berechnung von Näherungswerten für p auszunutzen.