Kuboktaeder
Das Kuboktaeder entsteht aus dem Würfel durch Abschneiden der Ecken:
Das rechte Bild zeigt etwas ganz Wesentliches: die mittlere horizontale Ebene
ist ein regelmäßes Sechseck!
Hier zwei Bilder, die die Lage derartiger Sechsecke innerhalb eines Würfels
zeigen:
Für Chemiker wichtig, denn es handelt sich hier um das
Koordinationspolyeder der kubisch dichtesten Kugelpackung!
Jede Kugel (Atom) ist von 12 gleichartigen Kugeln umgeben, welche alle die zentrale Kugel berühren (KZ = 12). Die Koordinationsfigur wird als Kuboktaeder
bezeichnet (Quelle).
(Zum Beispiel kristallisiert Fluorit (= Flussspat, CaF2) als Würfel oder Kuboktaeder.)
Wir zählen die Kanten, Ecken und Polygone:
- 12 Ecken (gerade die Kantenmittelpunkte eines Würfels)
- 24 Kanten (pro Würfelfläche ein Quadrat, als 6 × 4 = 24)
- Polygone:
- 8 Dreiecke (pro Würfelecke ein Dreieck)
- 6 Quadrate (pro Würfelfläche ein Quadrat)
Insgesamt also 14 Polygone
Euler'sche Polyederformel: e-k+f = 12-24+14 = 2 (= Eulercharakteristik der 2-Sphäre)
Aber es gibt zu unseren Ecken und Kanten auch
- 4 regelmäßige
Sechsecke (pro Würfeldiagonale ein Sechseck)
Wir erhalten zwei weitere uniforme Polyeder, wenn wir betrachten:
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| die Dreiecke und die Sechsecke
| die Quadrate und die Sechsecke
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| (das
Oktahemioktaeder)
| (das Kubohemioktaeder)
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| Euler-Charakteristik:
| 12-24+(8+4) = 0
12-24+(6+4) = -2
also ist diese Fläche:
| F1 (ein Torus)
| F2 oder N4
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Fragen:
- Wie sieht man, dass das linke Bild ein Torus ist ??
- Wie entscheidet man, ob das rechte Bild F2 oder N4 ist ??
Zusammenfassung
Gegeben sei die Kanten-Konfiguration des Kuboktaeders (also 12 Ecken, 24 Kanten).
Diese 24 Kanten bilden
- 8 Dreiecke (24 = 8 × 3)
- 6 Quadrate (24 = 6 × 4)
- 4 Sechsecke (24 = 4 × 6)
Jede Kante gehört
- Zu genau einem Dreieck
- Zu genau einem Quadrat
- Zu genau einem Sechseck
Es bilden
- die Dreiecke und die Quadrate das Kuboktaeder
- die Dreiecke und die Sechsecke das Oktahemioktaeder
- die Wuadrate und die Sechsecke das Kubohemioktaeder
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