Eine Bemerkung zu einem Satz von E. Becker und D. Gondard

J.-L. Colliot-Thélène

Eberhard Becker zum 60. Geburtstag gewidmet

In ihrer Arbeit [B-G] geben E. Becker und D. Gondard eine algebraische Formel für die Anzahl von Zusammenhangskomponenten der reellen Punkte einer reellen, glatten, projektiven Varietät. In der Arbeit [C-T] hatte ich eine andere algebraische Formel für diese Anzahl gegeben. In dieser Note zeige ich, wie man von einer Formel zur anderen gehen kann – ohne von diesen beiden Sätzen Gebrauch zu machen.

Becker und Gondard benutzen den Raum aller R-Stellen eines Körpers, sowie einen Satz von Ludwig Bröcker diesen Raum betreffend. Dieser Raum wird hier nicht benutzt. Dafür wird ein Reinheitssatz von Markus Rost angewandt. Sowohl in [B-G] als in dieser Note wird Beckers Charakterisierung der Summen n-ter Potenzen in einem Körper benutzt.

Zitieren wir zuerst die erwähnten Sätze.

Sei X/R eine glatte, projecktive, absolut irreduzible Varietät über dem Körper R der (üblichen) Reellen. Sei X(R) die Menge der reellen Punkte von X. Nehmen wir an, daß diese Menge nicht leer ist. Sei S die (endliche) Menge der Zusammenhangskomponenten von X(R) und s die Ordnung von S.

Sei K = R(X) der Funktionenkörper von X. Sei D(K) ⊂ K^{∗} die multiplikative Untergruppe aller Funktionen in R(X)^{∗}, die sich in jedem Punkt P von X (im schematischen Sinne) als Produkt einer Einheit im lokalen Ring O_{X,M} und einer Summe von Quadraten von Elementen von K schreiben lassen.

Satz 1 ([CT]). Der Quotient der Gruppe D(X) durch die Untergruppe K^{∗} ∩ (∑ K^{2}) ist der Gruppe (Z/2)^{S} isomorph.

Satz 2 (Becker und Gondard, [B-G]). Der Quotient von K^{∗2}∩(∑ K^{4}) durch die Untergruppe K^{∗} ∩ (∑ K^{2})^{2} ist endlich, der Ordnung 2^{s−1}.

Daß K^{∗} ∩ (∑ K^{2})^{2} eine Untergruppe von K^{∗2} ∩ (∑ K^{4}) ist, folgt aus dem Satz :

Satz 3 (Becker, [B]). Sei K ein Körper. Sei n eine gerade Zahl. Ein Element f ∈ K^{∗} ist eine Summe von n-ter Potenzen in K, dann und nur dann, wenn beide folgende Bedingungen erfüllt sind:

(a) Das Element f ist eine Summe von Quadraten in K.

(b) Für jede Krullbewertung v von K mit formallreellen Residuenklassenkörper ist v(f) durch n teilbar.

Die Quadratabbildung x ↦ x^{2} induziert eine surjektive Abbildung

K^{∗}/K^{∗} ∩ (∑ K^{2}) → K^{∗2}/K^{∗2} ∩ (∑ K^{2})^{2})

mit Kern {±1}.

Nach dem Satz von Becker hat man

(∑ K^{2})^{2} ⊂ ∑ K^{4},

also

K^{∗} ∩ (∑ K^{2})^{2} ⊂ K^{∗2} ∩ ∑ K^{4}.

Hauptsatz. Ein Element f ∈ K^{∗} liegt in der Gruppe D(K) dann und nur dann, wenn das Element f^{2} in K^{∗2} ∩ ∑ K^{4} liegt.

Aus diesem Satz folgt sofort, daß die Abbildung x ↦ x^{2} eine exakte Folge induziert

1 → {±1} → D(K)/(K^{∗} ∩ ∑ K^{2}) → (K^{∗2} ∩ ∑ K^{4})/(K^{∗} ∩ ∑ K^{2})^{2} → 1,

die die Verbindung zwischen Satz 1 und Satz 2 genau erklärt.

Beweis des Hauptsatzes. Sei f ∈ D(K). Sei A eine Krullbewertung v von K mit formallreelen Restklassenkörper. Sei A der Ring der Bewertung. Da X/R projektiv ist, besitzt A ein Zentrum auf X, das heißt, es gibt einen (nicht unbedingt abgeschlossenen) Punkt M ∈ X, so daß die natürliche Abbildung Spec R(X) → X einen Homomorphismus von lokalen Ringen O_{X,M} → A induziert. Da f in D(K) liegt, kann man f = u.g schreiben, mit u ∈ O_{X,M}^{∗} und g ∈ ∑ K^{2}, also f = u.g mit u ∈ A^{∗} und g ∈ K^{∗} ∩ ∑ K^{2}. Da der Restklassenkörper von A formalreell ist, folgt 2 | v(f). Aber dann hat man f^{2} ∈ K^{∗2} und 4 | v(f^{2}). Dies gilt für eine beliebige Krullbewertung v von K mit formallreellem Restklassenkörper. Aus dem Satz von Becker folgt f^{2} ∈ ∑ K^{4}.

Sei umgekehrt f ∈ K^{∗} gegegen, mit der Eigenschaft f^{2} ∈ K^{∗2} ∩ ∑ K^{4}.

Sei v eine Krullbewertung von K mit formalreellem Restklassenkörper. Dann hat man 4 | v(f^{2}), also 2 | v(f). Wenn M ∈ X ein Punkt der Kodimension 1 mit formalreellem Residuenklassenkörper ist, dann kann man f als Produkt einer Einheit in O_{X,M} und eines Quadrates in K schreiben.

Sei M ∈ X ein Punkt der Kodimension 1 mit nichtformalreellem Restklassenkörper. Sei π ein Erzeuger des maximalen Ideals des diskret bewerteten Rings R = O_{X,M}. In R kann man Elemente a_{i}, i = 1, …, m und b finden, mit 1 + ∑_{i} a_{i}^{2} = π.b ∈ R. Aus dieser Gleichung folgt die Gleichung (1+π)^{2} +∑_{i} a_{i}^{2} = π.b+2π +π^{2} ∈ R. Wenn b ∈ R keine Einheit ist, dann ist 2+b+π eine Einheit. Also kann man π als Produkt von einer Einheit in O_{X,M} und einer Summe von Quadraten in K schreiben. Daraus folgt, daß jedes Element in K^{∗} sich als Produkt von einer Einheit in O_{X,M} und einer Summe von Quadraten in K schreiben lässt.

Also: wenn f ∈ K^{∗} die Eigenschaft hat, daß sein Quadrat f^{2} in K^{∗2} ∩ ∑ K^{4} liegt, dann kann man f in jedem Punkt der Kodimension 1 als Produkt einer Einheit in O_{X,M} und einer Summe von Quadraten in K schreiben.

Nach einem bekannten Satz von A. Pfister ([P]) ist jede Summe von Quadraten in K = R(X) eine Summe von 2^{d} Quadraten, wobei d die Dimension von X ist.

Jetzt kann man einen allgemeinen Reinheitssatz von Rost [R] in dieser speziellen Situation anwenden: wenn f ∈ R(X)^{∗} sich in jedem Punkt M der Kodimension 1 der glatten Varietät X als Produkt einer Einheit in M und einer Summe von 2^{d} Quadraten im Funktionenkörper von X schreiben lässt, dann besitzt f auch eine solche Darstellung in jedem Punkt von X. Also gehört f der Gruppe D(K) an.

Literatur

[B] E. Becker, Summen n-ter Potenzen in Körpern, J. reine angew. Math. (Crelle) 307/308 (1979) 8–30.

[B-G] E. Becker und D. Gondard, Notes on the space of real places of a formally real field, in Real analytic and algebraic geometry (Trento, 1992), 21–46, de Gruyter, Berlin, 1995.

[CT] J.-L. Colliot-Thélène, Formes multiplicatives et variétés algébriques, Bull. Soc. math. France 106 (1978) 113–151.

[P] A. Pfister, Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten. Invent. math. 4 (1967) 229–237.

[R] M. Rost, Durch Normengruppen definierte birationale Invarianten, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I, Mathématiques, 310 (1990), no. 4, 189–192.

J.-L. Colliot-Thélène C.N.R.S., Mathématiques Bâtiment 425 Université Paris-Sud F-91405 Orsay Frankreich colliot@math.u-psud.fr