Vektorproduktalgebren

Diplomarbeit

von Susanne Maurer

Mathematische Fakultät der Universität Regensburg

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 3 Kapitel 1. Vorbereitungen 5 Kapitel 2. Die Tensoren R_{n} 14 Kapitel 3. Dimension von Vektorproduktalgebren 17 Kapitel 4. Struktur von Vektorproduktalgebren 28 Literaturverzeichnis 39

Einleitung

Die Frage, für welche n ∈ ℕ die Gleichung

(x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2})(y_{1}^{2} + ⋯ + y_{n}^{2}) = z_{1}^{2} + ⋯ + z_{n}^{2} (1)

durch geeignete reelle positiv definite Bilinearformen z_{1}, z_{2}, …, z_{n} in den unabhängigen Variablen x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y_{1}, y_{2}, …, y_{n} gelöst werden kann, wurde 1898 von A. Hurwitz in seiner Arbeit “Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen”([5]) geklärt. Er stellte fest, daß das Problem, quadratische Formen zu bestimmen, die Komposition erlauben, im wesentlichen identisch ist mit der Frage, Gleichungen der Form (1) zu lösen. Dabei bedeutet Komposition, daß für einen quadratischen Raum (V, N) eine bilineare Abbildung V × V → V, (x, y) ↦ xy existiert, so daß N(xy) = N(x)N(y) für x, y ∈ V gilt. Hurwitz ersetzte für reguläre quadratische Formen φ, ψ und χ die Gleichung

φ(x_{1}, …, x_{n})ψ(y_{1}, …, y_{n}) = χ(z_{1}, …, z_{n})

durch die Gleichung (1), indem er die quadratischen Formen durch lineare Transformation der Variablen in Summen von Quadraten überführte. Dann zeigte er, daß eine Kompositionstheorie neben dem trivialen Fall n = 1 nur für n = 2 (binäre Formen), n = 4 (quaternäre Formen) und n = 8 (Formen mit 8 Variablen) existiert.

1943 bewies B. Eckmann in seiner Arbeit “Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon ueber die Komposition quadratischer Formen” ([4]) die Aussage mit Hilfe von grundlegenden Sätzen der Darstellungstheorie der endlichen Gruppen neu. Er ließ für die Koeffizienten x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y_{1}, y_{2}, …, y_{n} auch komplexe Zahlen zu und zeigte, daß jede Lösung der komplexen Aufgabe äquivalent zu einer reellen Lösung ist.

Einen Beweis mit Clifford-Algebren lieferte C. Chevalley 1954 in “The algebraic theory of spinors” ([2]) für Körper mit beliebiger Charakteristik.

N. Jacobson bezeichnete 1958 in seiner Arbeit “Composition algebras and their automorphisms” ([6]) unitäre Algebren mit quadratischer Form, die bezüglich des Produkts multiplikativ ist, als Kompositionsalgebren. In seinem Theorem 1 bewies er für beliebige Körper der Charakteristik ungleich 2 mit Hilfe der Cayley-Dickson-Verdopplung, daß Kompositionsalgebren nur der Grundkörper F, quadratische Erweiterungen, Quaternionenalgebren oder Cayley-Algebren sein können.

In der Veröffentlichung “The arithmetics of octaves and of the group G_{2}” ([1]) verallgemeinerten F. van der Blij und T. A. Springer 1959 den Beweis von Jacobson auf den Fall von Körpern mit Charakeristik 2.

M. Rost lieferte 1996 in “On the dimension of a composition algebra” ([9]) einen neuen Beweis über die möglichen Dimensionen einer Kompositionsalgebra, der mit Tensoren arbeitet. Vor dem Hintergrund dieser Veröffentlichung entstand diese Diplomarbeit:

Anstelle von unitären Kompositionsalgebren wird übergegangen zu Vektorproduktalgebren. Auf diesen werden gewisse Tensoren R_{1}, …, R_{4} definiert und in Satz 2.4 wird gezeigt, daß R_{4} ≡ 0 ist. Bezeichnet man mit d die Dimension der Vektorproduktalgebra, so ergibt sich daraus durch Tensorrechnung im Grundkörper die folgende Aussage:

d(d − 1)(d − 3)(d − 7) = 0.

Im Fall Charakteristik Null erhält man daraus für eine unitäre Kompositionsalgebra C die bekannte Tatsache, daß dim C = 1, 2, 4 oder 8 ist. Ferner wird gezeigt, daß es assoziative Kompositionsalgebren nur im ein-, zwei- oder vierdimensionalen Fall und kommutative Kompositionsalgebren nur für die Dimensionen 1 und 2 gibt.

Zusätzlich kann man die Multiplikationstabelle für Vektorproduktalgebren angeben und daraus auf die Multiplikationstabelle für unitäre Kompositionsalgebren schließen.

Über die Vorgehensweise in den einzelnen Kapiteln möchte ich hier einen kurzen Überblick geben.

Das erste Kapitel dient der Einführung der beiden Begriffe “Kompositionsalgebra” und “Vektorproduktalgebra” und es wird gezeigt, daß Kompositionsalgebren mit Eins und Vektorproduktalgebren äquivalente Bezeichnungen sind.

Im zweiten Kapitel werden für Vektorproduktalgebren Tensoren definiert, mit deren Hilfe Aussagen über die Kommutativität bzw. Assoziativität der dazu äquivalenten Kompositionsalgebren getroffen werden können.

Im dritten Kapitel wird gezeigt, daß für eine Vektorproduktalgebra mit der Dimension d in F die Beziehung d(d − 1)(d − 3)(d − 7) = 0 gilt.

Im vierten Kapitel werden die Strukturen der Vektorproduktalgebren näher betrachtet.

An dieser Stelle möchte ich mich noch bei Herrn Dr. Markus Rost bedanken, der mich in das Gebiet der quadratischen Formen eingeführt hat und mich bei der Anfertigung dieser Arbeit unterstützt hat.

Susanne Maurer

KAPITEL 1

Vorbereitungen

In diesem Kapitel werden Kompositionsalgebren und Vektorproduktalgebren eingeführt. Satz 1.21 beschreibt die Konstruktion einer Vektorproduktalgebra aus einer unitären Kompositionsalgebra und Satz 1.23 den umgekehrten Weg. Daraus kann man dann schließen, daß Kompositionsalgebren mit Eins und Vektorproduktalgebren äquivalente Begriffe sind.

In dieser Arbeit ist F stets ein Körper mit char F ≠ 2. V bezeichne stets einen endlich-dimensionalen Vektorraum über F.

Im folgenden Absatz wird an einige Notationen der Bilinearformen und quadratischen Formen erinnert. Eine Zusammenfassung dazu findet sich auch in [10] oder [11].

Definition 1.1. Sei V ein Vektorraum über F. Eine Abbildung N: V → F heißt quadratische Form auf V, wenn N(λv) = λ^{2} · N(v) ist für alle λ ∈ F und alle v ∈ V und wenn für alle v, w ∈ V

⟨v, w⟩_{N} := \frac{1}{2} (N(v + w) − N(v) − N(w))

eine Bilinearform ist.

Das Paar (V, N) heißt quadratischer Raum und ⟨ , ⟩_{N} heißt die N zugeordnete Bilinearform.

Definition 1.2. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein symmetrischer bilinearer Raum über F. Die Abbildung

N_{⟨,⟩}: V ⟶ F, N_{⟨,⟩}(v) := ⟨v, v⟩

ist eine quadratische Form auf V. Sie heißt die ⟨ , ⟩ zugeordnete quadratische Form.

Lemma 1.3. Sei V ein Vektorraum über F, ⟨ , ⟩ eine symmetrische Bilinearform auf V und N eine quadratische Form auf V. Dann gilt: ⟨ , ⟩_{N_{⟨ , ⟩}} = ⟨ , ⟩ und N_{⟨,⟩_{N}} = N.

Referenz: [10, S. 3]

Definition 1.4. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein symmetrischer bilinearer Raum über F.

1. Für eine Teilmenge W ⊆ V ist das orthogonale Komplement W^{⊥} definiert durch

W^{⊥} := { v ∈ V | ⟨v, w⟩ = 0 für alle w ∈ W }.

Offensichtlich ist W^{⊥} ein linearer Unterraum von V.

2. (V, ⟨ , ⟩) heißt regulär, falls V^{⊥} = {0} ist.

Lemma 1.5. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein symmetrischer bilinearer Raum über F und bezeichne V^{∗} den Dualraum zu V. Dann gilt:

(V, ⟨ , ⟩) ist regulär ⟺ φ: V ⟶ V^{∗}, v ⟼ (w ↦ ⟨v, w⟩) ist bijektiv.

Referenz: [10, S. 7]

Lemma 1.6. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein symmetrischer bilinearer regulärer Raum über F und W ein regulärer Unterraum von V. Dann gilt:

1. V = W ⊥W^{⊥},

2. (W^{⊥}, ⟨ , ⟩|_{W^{⊥}×W^{⊥}}) ist regulär.

Referenz: [10, S. 7]

Definition 1.7. Eine Kompositionsalgebra über F ist ein Tripel (C, ·, N) bestehend aus einem F -Vektorraum C zusammen mit einer bilinearen Abbildung

C × C ⟶ C, (x, y) ⟼ x · y

und einer regulären quadratischen Form

N: C ⟶ F,

so daß gilt:

(KA 1) N(x · y) = N(x) · N(y) für alle x, y ∈ C.

Eine Kompositionsalgebra (C, ·, N) heißt unitär oder Kompositionsalgebra mit Eins, wenn ein e ≠ 0 ∈ C existiert, so daß gilt:

(KA 2) x · e = e · x = x für alle x ∈ C.

Bemerkung 1.8. In einer unitären Kompositionsalgebra (C, ·, N) bezeichnet e stets das eindeutig bestimmte Element aus C mit x · e = e · x = x für alle x ∈ C.

Die in dieser Arbeit behandelten Aussagen über die möglichen Dimensionen von unitären Kompositionsalgebren gelten auch schon für Kompositionsalgebren, da man in einer Kompositionsalgebra durch Änderung der Multiplikation ein Einselement auf folgende Weise erhalten kann:

Proposition 1.9. Sei (C, ·, N) eine Kompositionsalgebra über F mit C ≠ 0. Dann gibt es eine bilineare Abbildung

⋄: C × C ⟶ C, (x, y) ⟼ x ⋄ y,

so daß (C, ⋄, N) eine unitäre Kompositionsalgebra ist.

Referenz: [3, 7]

Definition 1.10. Eine Vektorproduktalgebra über F ist ein Tripel (V, ×, ⟨ , ⟩) bestehend aus einem F -Vektorraum V zusammen mit einer bilinearen Abbildung

V × V ⟶ V, (u, v) ⟼ u × v

und einer regulären symmetrischen Bilinearform

V × V ⟶ F, (u, v) ⟼ ⟨u, v⟩,

so daß gilt: (VPA 1) ⟨u × v, w⟩ = ⟨u, v × w⟩ für alle u, v, w ∈ V, (VPA 2) v × v = 0 für alle v ∈ V, (VPA 3) (u × v) × u = N(u)v − ⟨u, v⟩u für alle u, v ∈ V, wobei N die ⟨ , ⟩ zugeordnete quadratische Form ist.

Für einen symmetrischen bilinearen Raum (V, ⟨ , ⟩) über F heißt eine bilineare Abbildung × ein Kreuzprodukt auf V, falls die Regeln (VPA 1), (VPA 2) und (VPA 3) gelten.

Definition 1.11. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F. Eine Teilmenge W ⊆ V heißt Vektorprodukt-Unteralgebra von V über F, wenn W ein Untervektorraum des Vektorraumes V ist, wenn sich die Operation ×: V × V → V zu einer Operation W × W → W beschränken läßt und wenn die Einschränkung von ⟨ , ⟩ auf W

⟨ , ⟩|_{W ×W} : W × W → F

regulär ist.

Bemerkung 1.12. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F und W ⊆ V eine Vektorprodukt-Unteralgebra von V über F, so ist W zusammen mit den aus V induzierten Abbildungen selbst eine Vektorproduktalgebra über F.

Lemma 1.13. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F. Eine Teilmenge W ⊆ V ist genau dann eine Vektorprodukt-Unteralgebra von V über F, wenn gilt:

1. W ≠ ∅,

2. Für alle w, w′ ∈ W und alle λ, μ ∈ F ist λw + μw′ ∈ W,

3. Für jedes w, w′ ∈ W ist w × w′ ∈ W,

4. Für jedes w ∈ W mit w ≠ 0 existiert ein w′ ∈ W mit ⟨w, w′⟩ ≠ 0.

Beweis. Offensichtlich sind die Bedingungen notwendig. Sie sind sogar hinreichend, denn aus 1. und 2. folgt zunächst, daß W ein Vektorraum ist. Wegen 3. läßt sich die Abbildung × auf W beschränken und wegen 4. ist ⟨ , ⟩|_{W ×W} regulär.

Proposition 1.14. Sei V ein Vektorraum über F und α: V × V × V → F eine Trilinearform. Sind für beliebige v, w ∈ V zwei der drei folgenden Bedingungen

α(v, v, w) = 0
α(v, w, v) = 0
α(v, w, w) = 0

erfüllt, dann ist α schon alternierend.

Beweis. Vorbemerkung: Sei Ψ: V^{n} → F eine Multilinearform, (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} beliebig und i, j ∈ {1, …, n} mit i ≠ j. Sei ferner τ_{i,j} ∈ S_{n} die Transposition, welche die Elemente i und j vertauscht. Dann gilt:

Für v_{i} = v_{j} ist Ψ(v_{1}, …, v_{n}) = 0 ⇔ Ψ(v_{1}, …, v_{n}) = −Ψ(v_{τ_{i,j}(1)}, …, v_{τ_{i,j}(n)})

Für den Beweis von ”⇒” der Vorbemerkung sei ohne Einschränkung i = 1 und j = 2 gegeben. Dann gilt:

0 = Ψ(v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2}, v_{3}, …, v_{n}) = Ψ(v_{1}, v_{2}, v_{3}, …, v_{n}) + Ψ(v_{2}, v_{1}, v_{3}, …, v_{n})

und man erhält für die Transposition τ_{1,2} ∈ S_{n}

Ψ(v_{1}, …, v_{n}) = −Ψ(v_{τ_{1,2}(1)}, …, v_{τ_{1,2}(n)}).

Umgekehrt sei v_{i} = v_{j} für i, j ∈ {1, …, n} mit i ≠ j gegeben. Dann ist v_{τ_{i,j}(l)} = v_{l} für alle l ∈ {1, …, n} und also

Ψ(v_{1}, …, v_{n}) = −Ψ(v_{1}, …, v_{n}).

Da in der Arbeit char F ≠ 2 vorausgesetzt ist, folgt Ψ(v_{1}, …, v_{n}) = 0.

Damit ist die Vorbemerkung gezeigt.

Sei o. E. α(v, w, w) = α(v, w, v) = 0 für alle v, w ∈ V. Nach der Vorbemerkung ist dies äquivalent zu

α(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = −α(v_{1}, v_{3}, v_{2}) und α(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = −α(v_{3}, v_{2}, v_{1})

für alle (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ V^{3}. Daraus erhält man

α(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = −α(v_{1}, v_{3}, v_{2}) = α(v_{2}, v_{3}, v_{1}) = −α(v_{2}, v_{1}, v_{3})

und nach der Vorbemerkung folgt dann α(v, v, w) = 0 für alle v, w ∈ V. Also ist α alternierend.

Notation 1.15. Für einen bilinearen Raum (V, ⟨ , ⟩) über F und eine bilineare Abbildung V × V → V, (u, v) ↦ u × v bezeichnet f im weiteren Verlauf der Arbeit die Abbildung, die durch

f: V × V × V ⟶ F, (u, v, w) ⟼ ⟨u × v, w⟩

gegeben ist.

Proposition 1.16. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein regulärer symmetrischer bilinearer Raum über F und V × V → V, (u, v) ↦ u × v eine bilineare Abbildung auf V. Dann gilt: f ist genau dann alternierend, wenn die Rechenregeln (VPA 1) und (VPA 2) gelten.

Beweis. Ist f alternierend und v ∈ V beliebig, so gilt für alle w ∈ V

0 = f(v, v, w) = ⟨v × v, w⟩.

Da die Bilinearform regulär ist, folgt (VPA 2). Die Eigenschaft (VPA 1) gilt wegen

⟨u × v, w⟩ = f(u, v, w) = f(v, w, u) = ⟨v × w, u⟩ = ⟨u, v × w⟩.

Umgekehrt folgt aus (VPA 2), daß f(u, u, v) = 0 für v ∈ V. Ferner gilt:

f(u, v, u) = ⟨u × v, u⟩ = ⟨u, u × v⟩ =^{(VPA 1)} ⟨u × u, v⟩ = f(u, u, v) = 0.

Also ist f nach Lemma 1.14 alternierend.

Proposition 1.17. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F und seien v, w ∈ V. Dann gilt:

v × w = −w × v  (“Schiefsymmetrie”).

Beweis. Wegen (VPA 2) gilt v × v = 0 für alle v ∈ V. Also erhält man für beliebige v, w ∈ V

0 = (v + w) × (v + w) = (v × v) + (v × w) + (w × v) + (w × w)
= (v × w) + (w × v),

da das Kreuzprodukt bilinear ist.

Proposition 1.18. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein regulärer symmetrischer bilinearer Raum über F und V × V → V, (u, v) ↦ u × v eine bilineare Abbildung auf V.

1. Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) Es gilt (VPA 3),

(b) u×(v ×w)+w ×(v ×u) = 2·⟨u, w⟩v −⟨u, v⟩w −⟨w, v⟩u für alle u, v, w ∈ V.

2. Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) N(v × w) = N(v)N(w) − ⟨v, w⟩^{2} für alle v, w ∈ V,

(b) ⟨v × w, v × u⟩ = N(v)⟨w, u⟩ − ⟨v, w⟩⟨v, u⟩ für alle u, v, w ∈ V.

Beweis. Zu 1: (1a) ⇒ (1b): Für v ∈ V definiere q, q_{i}: V → V, (i = 1, 2) durch

q(u) := (u × v) × u,
q_{1}(u) := ⟨u, u⟩v,
q_{2}(u) := ⟨u, v⟩u.

Da (VPA 3) gilt, folgt q = q_{1}−q_{2}. Weil die Abbildungen q, q_{i} (i = 1, 2) quadratisch sind, kann man polarisieren. Man erhält die folgenden Bilinearformen:

b(u, w) = \frac{1}{2}[q(u + w) − q(u) − q(w)] = \frac{1}{2}[(w × v) × u + (u × v) × w]

=^{1.17} \frac{1}{2}[u × (v × w) + w × (v × u)],

b_{1}(u, w) = ⟨u, w⟩v,
b_{2}(u, w) = \frac{1}{2}[⟨u, v⟩w + ⟨w, v⟩u].

Die Behauptung folgt nun, da b(u, w) = b_{1}(u, w) − b_{2}(u, w) ist.

(1b) ⇒ (1a): klar (setze w := u).

Zu 2: (2a) ⇒ (2b): Analog zu 1. mit

q(w) := N(v × w),
q_{1}(w) := N(v)N(w),
q_{2}(w) := ⟨v, w⟩^{2}.

(2b) ⇒ (2a): klar (setze u := w).

Für Vektorproduktalgebren können die Axiome (VPA 1), (VPA 2) und (VPA 3) durch zwei andere ersetzt werden, die besser die Idee eines Vektorprodukts wiedergeben:

Lemma 1.19. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein regulärer symmetrischer bilinearer Raum über F und V × V → V, (u, v) ↦ u × v eine bilineare Abbildung auf V. Dann sind die Aussagen (VPA 1), (VPA 2) und (VPA 3) äquivalent zu (VPA 1′) ⟨v × w, v⟩ = ⟨v × w, w⟩ = 0 für alle v, w ∈ V, (VPA 2′) N(v × w) = N(v) · N(w) − ⟨v, w⟩^{2} für alle v, w ∈ V.

Beweis. Gezeigt wird

1. (VPA 1) und (VPA 2) ⟺ (VPA 1′)

2. (VPA 1) ⟹ ((VPA 3) ⟺ (VPA 2′))

Zu 1: Sei f die in 1.15 angegebene Trilinearform. Gelten die Regeln (VPA 1) und (VPA 2), so ist nach Proposition 1.16 f alternierend und also

f(v, w, v) = ⟨v × w, v⟩ = 0
f(v, w, w) = ⟨v × w, w⟩ = 0.

Umgekehrt folgt aus (VPA 1′), daß für alle v, w ∈ V f(v, w, v) = f(v, w, w) = 0 ist. Nach 1.14 ist also f alternierend und damit gelten nach Proposition 1.16 die Regeln (VPA 1) und (VPA 2).

Zu 2: Wegen Proposition 1.18 2. ist (VPA 2′) äquivalent zu

⟨v × w, v × u⟩ = N(v)⟨w, u⟩ − ⟨v, w⟩⟨v, u⟩ für alle u, v, w ∈ V.

Wegen (VPA 1) und der Bilinearität von ⟨ , ⟩ kann man diese Gleichung umformen zu

⟨(v × w) × v, u⟩ = ⟨N(v)w − ⟨v, w⟩v, u⟩ für alle u, v, w ∈ V.

Da ⟨ , ⟩ regulär ist, folgt für alle v, w ∈ V

(v × w) × v = N(v)w − ⟨v, w⟩v,

womit die Äquivalenz gezeigt ist.

Notation 1.20. Für eine unitäre Kompositionsalgebra (C, ·, N) über F setze

V_{C} := { x ∈ C | ⟨e, x⟩_{N} = 0 }.

Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F setze

C_{V} := F ⊕ V.

Satz 1.21. Sei (C, ·, N) eine unitäre Kompositionsalgebra über F. Bezeichnet ⟨ , ⟩ die N zugeordnete Bilinearform und definiert man eine bilineare Abbildung auf V_{C}

×: V_{C} × V_{C} ⟶ V_{C}, (u, v) ⟼ u · v − ⟨u · v, e⟩e,

so ist (V_{C}, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F und es gilt für u, v ∈ V_{C}:

⟨u · v, e⟩ = −⟨u, v⟩.

Beweis. Für u, v ∈ V_{C} ist u × v ∈ V_{C}, denn

⟨u · v − ⟨u · v, e⟩e, e⟩ = ⟨u · v, e⟩ − ⟨u · v, e⟩⟨e, e⟩ = 0.

Dies zeigt die Existenz der Abbildung ×. Offensichtlich ist die Abbildung × bilinear und die Einschränkung von ⟨ , ⟩ auf V_{C} × V_{C} ist bilinear, symmetrisch und regulär. Um zu zeigen, daß (V_{C}, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F ist, reicht es, nach Lemma 1.19, die Regeln (VPA 1′) und (VPA 2′) nachzuweisen. Seien dazu x := ae + u, y := be + v ∈ C beliebig gewählt mit a, b ∈ F, u, v ∈ V_{C}. Dann gilt:

x · y = (ae + u)(be + v) = abe + av + bu + u · v
= abe + av + bu + u × v + ⟨u · v, e⟩e
= (ab + ⟨u · v, e⟩)e + av + bu + u × v

und

N(x) = N(ae + u) = a^{2}⟨e, e⟩ + 2a⟨e, u⟩ + ⟨u, u⟩ = a^{2} + N(u).

Da (KA 1) gilt, folgt

0 = N(x · y) − N(x) · N(y)
= (ab + ⟨u · v, e⟩)^{2} + N(av + bu + u × v) − (a^{2} + N(u)) (b^{2} + N(v))
= 2ab[⟨u · v, e⟩ + ⟨u, v⟩] + 2a⟨v, u × v⟩ + 2b⟨u, u × v⟩
+ [⟨u · v, e⟩^{2} + N(u × v) − N(u) · N(v)].

Setzt man in dieser Gleichung a = 0 und b = 0, so erhält man

N(u × v) = N(u)N(v) − ⟨u · v, e⟩^{2}.  (1.1)

Für a = 0 gilt dann mit (1.1)

⟨u, u × v⟩ = 0  (1.2)

und analog erhält man für b = 0

⟨v, u × v⟩ = 0.  (1.3)

Mit (1.1), (1.2) und (1.3) folgt die Gleichung

⟨u · v, e⟩ = −⟨u, v⟩.  (1.4)

Aus (1.2) und (1.3) folgt somit (VPA 1′) und aus (1.1) und (1.4) (VPA 2′). Also ist (V_{C}, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F.

Bemerkung 1.22. Für eine unitäre Kompositionsalgebra (C, ·, N) über F und u, v ∈ V_{C} bezeichnet u × v das in Satz 1.21 definierte Kreuzprodukt auf V_{C}.

Satz 1.23. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F. Setze e := (1, 0) ∈ C_{V}. Für a, b ∈ F und v, w ∈ V sei eine bilineare Abbildung auf C_{V} gegeben durch

· : C_{V} × C_{V} ⟶ C_{V} ,
(ae + v, be + w) ⟼ (ab − ⟨v, w⟩)e + aw + bv + v × w

und eine quadratische Form auf C_{V} durch

N: C_{V} ⟶ F, ae + v ⟼ a^{2} + ⟨v, v⟩.

Dann ist (C_{V} , ·, N) eine unitäre Kompositionsalgebra über F mit Einselement e.

Beweis. Offensichtlich ist die angegebene Abbildung · bilinear.

Da F → F, a ↦ a^{2} und V → F, v ↦ ⟨v, v⟩ reguläre quadratische Formen auf F bzw. V sind, ist nach [10, S. 10] N als Summe von regulären quadratischen Formen eine reguläre quadratische Form auf C_{V} = F ⊕ V.

Im folgenden werden die Regeln (KA 1) und (KA 2) überprüft.

Seien dazu x := ae + v, y := be + w mit a, b ∈ F, v, w ∈ V gegeben. Dann gilt:

x · e = (ae + v) · e = (1 · a − ⟨v, 0⟩)e + a · 0 + 1 · v + v × 0 =
= ae + v = x.

Analog folgt e · x = x.

Für die Multiplikativität der Norm ist zu zeigen:

N ((ae + v) · (be + w)) = N(ae + v)N(be + w).

Dies gilt wegen

N ((ae + v) · (be + w))
= N(ab − ⟨v, w⟩)^{2} + ⟨aw + bv + v × w, aw + bv + v × w⟩
= a^{2}b^{2} − 2ab⟨v, w⟩ + ⟨v, w⟩^{2} + a^{2}⟨w, w⟩ + b^{2}⟨v, v⟩
+ N(v × w) + 2ab⟨v, w⟩ + 2a⟨w, v × w⟩ + 2b⟨v, v × w⟩
= a^{2}b^{2} + a^{2}⟨w, w⟩ + b^{2}⟨v, v⟩ + ⟨v, v⟩⟨w, w⟩
= (a^{2} + ⟨v, v⟩)(b^{2} + ⟨w, w⟩) = N(ae + v)N(be + w).

Bei der Rechnung wurden die Regeln (VPA 1′) und (VPA 2′) aus Lemma 1.19 benutzt. Insgesamt erhält man also, daß (C_{V} , ·, N) eine unitäre Kompositionsalgebra über F ist.

Bemerkung 1.24. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F und u, v ∈ V bezeichne u · v die bilineare Abbildung auf C_{V}, die nach Satz 1.23 durch

u · v = −⟨u, v⟩e + u × v

gegeben ist.

Proposition 1.25. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F und seien u, v ∈ V. Dann gilt für das Produkt in C_{V}:

uv − vu = 2(u × v).

Beweis. Nach Satz 1.23 ist

uv = −⟨u, v⟩e + u × v,  (1.5)
vu = −⟨v, u⟩e + v × u.  (1.6)

Subtrahiert man (1.6) von (1.5), so liefert dies

uv − vu = u × v − v × u =^{1.17} 2(u × v),

und also die Behauptung.

Notation 1.26. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) bezeichne C(V, ×, ⟨ , ⟩) die in Satz 1.23 konstruierte unitäre Kompositionsalgebra (C_{V} , ·, N).

Für eine unitäre Kompositionsalgebra (C, ·, N) bezeichne V(C, ·, N) die in Satz 1.21 konstruierte Vektorproduktalgebra (V_{C}, ×, ⟨ , ⟩).

Die Notationen für Kompositionsalgebren und Vektorproduktalgebren bezeichnen die gleichen Strukturen, wie das folgende Korollar zeigt:

Korollar 1.27. Es ist V(C(V, ×, ⟨ , ⟩)) = (V, ×, ⟨ , ⟩) und C(V(C, ·, N)) = (C, ·, N).

Beweis. Zunächst wird gezeigt, daß V_{C_{V}} = V ist.

“⊇”: Sei v ∈ V beliebig gegeben. Da C_{V} = F ⊕ V ist, ist v ∈ C_{V} und ⟨e, v⟩ = 0, also ist v ∈ V_{C_{V}}.

“⊆”: Sei ṽ ∈ V_{C_{V}}, d. h. ṽ = ae + v mit a ∈ F, v ∈ V und ⟨e, ṽ⟩ = 0. Dann gilt 0 = ⟨e, ṽ⟩ = a · N(e) + ⟨e, v⟩ = a und also ist ṽ ∈ V.

Insgesamt gilt V_{C_{V}} = V.

Bezeichnet ×′ die in Satz 1.21 definierte bilineare Abbildung V_{C_{V}} × V_{C_{V}} → V_{C_{V}} und ⟨ , ⟩′: V_{C_{V}} × V_{C_{V}} → F die definierte Bilinearform, dann gilt für v, w ∈ V_{C_{V}}:

v ×′ w = v · w + ⟨v, w⟩e =^{1.23} −⟨v, w⟩e + v × w + ⟨v, w⟩e
= v × w

und

⟨v, w⟩′ = \frac{1}{2} (N(v + w) − N(v) − N(w))

=^{1.23} \frac{1}{2} (⟨v + w, v + w⟩ − ⟨v, v⟩ − ⟨w, w⟩) = ⟨v, w⟩.

Also ist V(C(V, ×, ⟨ , ⟩)) = (V, ×, ⟨ , ⟩).

Daß C_{V_{C}} = C ist, sieht man folgendermaßen ein:

Sei x ∈ C_{V_{C}}, dann ist x von der Form x = ae+v mit a ∈ F und v ∈ V_{C} ⊂ C, und also ist x ∈ C. Für die umgekehrte Inklusion läßt sich jedes x ∈ C schreiben als x = ae + v mit a ∈ F und v ∈ V mit ⟨e, v⟩ = 0.

Es bezeichnet ∘ die in Satz 1.23 definierte bilineare Abbildung C_{V_{C}} × C_{V_{C}} → C_{V_{C}} und Ñ die definierte quadratische Form auf C_{V_{C}}. Für x, y ∈ C_{V_{C}}, x = ae + v, y = be + w mit a, b ∈ F, v, w ∈ V_{C} gilt dann:

x ∘ y = (ae + v) ∘ (be + w) =^{1.23} (ab − ⟨v, w⟩)e + aw + bv + v × w

=^{1.21} ab − ⟨v, w⟩e + aw + bv + v · w + ⟨v, w⟩e

= (ae + v) · (be + w) = x · y

und

Ñ(x) = Ñ(ae + v) =^{1.23} a^{2} + ⟨v, v⟩ = a^{2} + N(v)

= a^{2}N(e) + 2a \underbrace{⟨e, v⟩}_{=0, da v∈V_{C}} + N(v) = N(ae + v) = N(x).

Damit ist gezeigt, daß C(V(C, ·, N)) = (C, ·, N) ist.

KAPITEL 2 Die Tensoren R_{n}

In diesem Kapitel werden auf einer Vektorproduktalgebra die Tensoren R_{1}, …,R_{4} definiert. In Satz 2.4 werden damit Aussagen über die Kommutativität und Assoziativität der Kompositionsalgebren getroffen. Ferner wird die im weiteren Verlauf der Arbeit benötigte Aussage, daß R_{4} ≡ 0 ist, bewiesen.

Definition 2.1. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F. Die Tensoren

R_{n}: V^{⊗n} ⟶ V

sind für n = 1, 2, 3, 4 definiert als

R_{1}(v) := v,
R_{2}(v ⊗ w) := v × w,
R_{3}(u ⊗ v ⊗ w) := (u × v) × w − v⟨u, w⟩ + u⟨v, w⟩,
R_{4}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3} ⊗ t) := R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}) × t

− ∑_{i=1}^{3} v_{i}⟨v_{i+1} × v_{i+2}, t⟩ + ∑_{i=1}^{3} v_{i+1} × v_{i+2}⟨v_{i}, t⟩,

wobei i mod 3 betrachtet wird.

Proposition 2.2. Die Abbildung R_{3} ist alternierend.

Beweis. Seien v, w ∈ V gegeben. Dann gilt:

R_{3}(v ⊗ v ⊗ w) =^{(VPA 2)} (v × v) × w − v⟨v, w⟩ + v⟨v, w⟩ = 0,
R_{3}(v ⊗ w ⊗ v) = (v × w) × v − w⟨v, v⟩ + v⟨w, v⟩

=^{(VPA 3)} N(v)w − ⟨v, w⟩v − N(v)w + v⟨w, v⟩ = 0.

Also ist R_{3} nach Lemma 1.14 alternierend.

Definition 2.3. Sei R ein Ring und A eine R-Algebra. Für x, y ∈ A heißt

[x, y] := xy − yx

der Kommutator von x und y und für x, y, z ∈ A heißt

{x, y, z} := (xy)z − x(yz)

der Assoziator von x, y und z.

Satz 2.4. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F gilt:

2. DIE TENSOREN R_{N} 15

1. Für v, w ∈ V ist 2 · R_{2}(v ⊗ w) der Kommutator in C_{V}.

Insbesondere gilt: R_{2} ≡ 0 ⟺ C(V, ×, ⟨ , ⟩) ist kommutativ.

2. Für v, w, z ∈ V ist 2 · R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) der Assoziator in C_{V}.

Insbesondere gilt: R_{3} ≡ 0 ⟺ C(V, ×, ⟨ , ⟩) ist assoziativ.

3. R_{4} ≡ 0.

Beweis. Zu 1: Nach Proposition 1.25 ist v × w = \frac{1}{2}(vw − wv) für v, w ∈ V und daraus erhält man 2 · R_{2}(v ⊗ w) = vw − wv = [v, w]. Also ist R_{2} ≡ 0 äquivalent zu der Aussage, daß die bilineare Abbildung ·: V × V → C_{V} symmetrisch ist. Da C_{V} = F ⊕ V und F ein Körper ist, folgt die Behauptung.

Zu 2: Seien u, v, w ∈ V. Da nach Satz 1.21 vw = v × w − ⟨v, w⟩e gilt, erhält man für u, v, w ∈ V:

{u, v, w} = (uv)w − u(vw) = (u × v − ⟨u, v⟩e)w − u(v × w − ⟨v, w⟩e)

= (u × v) · w − ⟨u, v⟩w − u · (v × w) + ⟨v, w⟩u = (u × v) × w − ⟨u × v, w⟩e − ⟨u, v⟩w

− u × (v × w) + ⟨u, v × w⟩e + ⟨v, w⟩u

=^{1.18 1.} (u × v) × w − ⟨u × v, w⟩e − ⟨u, v⟩w

+ w × (v × u) − 2⟨u, w⟩v + ⟨u, v⟩w + ⟨w, v⟩u

+ ⟨u, v × w⟩e + ⟨v, w⟩u

= 2 · (u × v) × w + 2 · ⟨v, w⟩u − 2 · ⟨u, w⟩v = 2 · R_{3}(u ⊗ v ⊗ w),

womit der erste Teil der Aussage gezeigt ist.

Also ist R_{3} ≡ 0 äquivalent zu der Aussage, daß V bzgl. der bilinearen Abbildung ·: V × V → C_{V} assoziativ ist. Daraus folgt die Behauptung, da C_{V} = F ⊕ V und F ein Körper ist.

Zu 3: Definiere für u, v, w ∈ V:

Δ(u, v, w) := (u × v) × w + u × (v × w).

Nach Proposition 1.18 1. ist dann:

Δ(u, v, w) = 2 · ⟨u, w⟩v − ⟨u, v⟩w − ⟨w, v⟩u.

Es gilt:

Δ(u × v, w, t) − Δ(u, v, w × t) + u × Δ(v, w, t) − Δ(u, v × w, t) + Δ(u, v, w) × t = ((u × v) × w) × t + (u × v) × (w × t) − (u × v) × (w × t) − u × (v × (w × t))

+ u × ((v × w) × t) + u × (v × (w × t)) − (u × (v × w)) × t − u × ((v × w) × t) + ((u × v) × w) × t + (u × (v × w)) × t

= 2 · ((u × v) × w) × t  (2.1)

2. DIE TENSOREN R_{N} 16

Die Aussage R_{4} ≡ 0 ist folgende:

2 · ((u × v) × w) × t = 2⟨u, w⟩v × t − 2⟨v, w⟩u × t + 2⟨v × w, t⟩u

+ 2⟨w × u, t⟩v + 2⟨u × v, t⟩w − 2⟨u, t⟩v × w − 2⟨v, t⟩w × u − 2⟨w, t⟩u × v.

Dies erhält man mittels (2.1) auf die folgende Weise:

l. S. = Δ(u × v, w, t) − Δ(u, v, w × t) + u × Δ(v, w, t)

− Δ(u, v × w, t) + Δ(u, v, w) × t = 2⟨u × v, t⟩w − ⟨u × v, w⟩t − ⟨t, w⟩u × v

− 2⟨u, w × t⟩v + ⟨u, v⟩w × t + ⟨w × t, v⟩u + 2⟨v, t⟩u × w − ⟨v, w⟩u × t − ⟨t, w⟩u × v − 2⟨u, t⟩v × w + ⟨u, v × w⟩t + ⟨t, v × w⟩u + 2⟨u, w⟩v × t − ⟨u, v⟩w × t − ⟨w, v⟩u × t

= 2⟨u × v, t⟩w − 2⟨t, w⟩u × v − 2⟨u, w × t⟩v + 2⟨v, t⟩u × w

− 2⟨v, w⟩u × t − 2⟨u, t⟩v × w + 2⟨u, w⟩v × t + 2⟨w × t, v⟩u = r. S.

und damit ist der Satz bewiesen.

KAPITEL 3 Dimension von Vektorproduktalgebren

In diesem Kapitel werden auf einer d-dimensionalen Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) für n = 1, 2, 3, 4 die Abbildungen Q_{n} ∈ (V^{⊗(n+1)})^{⋆} definiert und deren Normen betrachtet. Mit Hilfe der im vorigen Kapitel gezeigten Aussage, daß der Tensor R_{4} identisch Null ist, ergibt sich im Grundkörper die Gleichung

d(d − 1)(d − 3)(d − 7) = 0.

Daraus kann man dann für Körper der Charakteristik Null den Satz von Hurwitz beweisen und zusätzliche Aussagen über die möglichen Dimensionen von kommutativen und assoziativen Kompositionsalgebren treffen.

Im folgenden wird an einige für den späteren Verlauf der Arbeit benötigte Aussagen im Zusammenhang mit den Bilinearformen von Tensorprodukten und Dualräumen erinnert:

Für bilineare Räume (V, ⟨ , ⟩_{V}) und (W, ⟨ , ⟩_{W}) über F ist die Bilinearform auf V ⊗W gegeben durch

⟨v ⊗ w, v′ ⊗ w′⟩_{V ⊗W} = ⟨v, v′⟩_{V} · ⟨w, w′⟩_{W}

für alle v, v′ ∈ V und alle w, w′ ∈ W. Also ist (V ⊗ W, ⟨ , ⟩_{V ⊗W}) ein bilinearer Raum über F. Sind (V, ⟨ , ⟩_{V}) und (W, ⟨ , ⟩_{W}) reguläre symmetrische bilineare Räume, dann ist (V ⊗ W, ⟨ , ⟩_{V ⊗W}) auch ein regulärer symmetrischer bilinearer Raum (vgl. [8, S. 10]).

Ist d := dim V, d′ := dim W, (e_{i})_{1}^{d} eine Orthonormalbasis von V und (f_{j})_{1}^{d′} eine Orthonormalbasis von W, so ist (e_{i} ⊗ f_{j})_{i,j} eine Orthonormalbasis von V ⊗ W, denn für k, m ∈ {1, …, d} und für l, n ∈ {1, …, d′} gilt

⟨e_{k} ⊗ f_{l}, e_{m} ⊗ f_{n}⟩_{V ⊗W} = ⟨e_{k}, e_{m}⟩_{V} · ⟨f_{l}, f_{n}⟩_{W} = δ_{(k,l)(m,n)}.

Ist (V, ⟨ , ⟩_{V}) ein regulärer symmetrischer bilinearer Raum über F und bezeichnet man mit V^{⋆} den zu V dualen Raum, dann gibt es wegen der Regularität einen Isomorphismus φ: V → V^{⋆} mit φ(v)(w) := ⟨v, w⟩ (vgl. 1.5). Die Umkehrabbildung φ^{−1} weist jeder Linearform f ∈ V^{⋆} das Element ∑_{i=1}^{d} f(e_{i})e_{i} aus V zu, wobei (e_{i})_{1}^{d} eine Orthonormalbasis von V ist. Es läßt sich leicht nachrechnen, daß φ und φ^{−1} zueinander inverse Abbildungen sind. Aus (V, ⟨ , ⟩_{V}) erhält man folgende Bilinearform auf V^{⋆}

⟨ , ⟩_{V^{⋆}}: V^{⋆} × V^{⋆} → F
(α, β) ↦ ∑_{i=1}^{d} α(e_{i}) · β(e_{i}),

wobei (V^{⋆}, ⟨ , ⟩_{V^{⋆}}) ist ein regulärer symmetrischer bilinearer Raum über F ist.

Ist (e_{i})_{1}^{d} eine Orthonormalbasis von V und e_{i}^{⋆} für i ∈ {1, …, d} der Homomorphismus mit e_{i}^{⋆}(e_{j}) = δ_{ij}, dann ist (e_{i}^{⋆})_{1}^{d} eine Orthonormalbasis von (V^{⋆}, ⟨ , ⟩_{V^{⋆}}), denn

⟨e_{i}^{⋆}, e_{j}^{⋆}⟩_{V^{⋆}} = ∑_{k=1}^{d} e_{i}^{⋆}(e_{k})e_{j}^{⋆}(e_{k}) = δ_{ij}.

Ferner gelten die Rechenregeln:

Proposition 3.1. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein symmetrischer bilinearer Raum über F, d die Dimension von V, N die ⟨ , ⟩ zugeordnete quadratische Form auf V und (e_{i})_{1}^{d} eine Orthonormalbasis von V. Dann gilt:

1. v = ∑_{i=1}^{d}⟨v, e_{i}⟩ · e_{i},

2. N(v) = ∑_{i=1}^{d} ⟨v, e_{i}⟩^{2}.

Beweis. Da (e_{i})_{1}^{d} eine Basis von V ist, hat jedes v ∈ V eine Darstellung v = ∑_{i=1}^{d} λ_{i}e_{i} mit λ_{i} ∈ F. Zu 1: Für j ∈ {1, …, d} ist

⟨v, e_{j}⟩ = ⟨∑_{i=1}^{d} λ_{i}e_{i}, e_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{d} λ_{i}⟨e_{i}, e_{j}⟩ = λ_{j}.

Daraus erhält man v = ∑_{i=1}^{d} λ_{i}e_{i} = ∑_{i=1}^{d}⟨v, e_{i}⟩ · e_{i}.

Zu 2: Es gilt N(v) = N(∑_{i=1}^{d} λ_{i}e_{i}) = ∑_{i=1}^{d} N(λ_{i}e_{i}) = ∑_{i=1}^{d} λ_{i}^{2} =^{1.} ∑_{i=1}^{d} ⟨v, e_{i}⟩^{2} und

somit gilt die Behauptung.

Notation 3.2. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F, v_{1}, …, v_{n+1} ∈ V und n = 1, 2, 3, 4. Dann bezeichnen Q_{n} und N_{n} die Abbildungen

Q_{n}: V^{⊗(n+1)} → F
v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n+1} ↦ ⟨R_{n}(v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n}), v_{n+1}⟩

und

N_{n} := N_{(V^{⊗(n+1)})^{∗}}(Q_{n}).

Für die leichtere Berechnung der N_{n} sei ohne Einschränkung statt einer Orthogonalbasis von V über F eine Orthonormalbasis (e_{i})_{i=1}^{d} von V über einem algebraischen Abschluß von F gegeben.

Lemma 3.3. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F und d die Dimension von V. Sei (e_{i})_{i=1}^{d} eine Orthonormalbasis von V und (g_{j})_{j=1}^{d^{n}} die von (e_{i})_{i=1}^{d} induzierte Orthonormalbasis von V^{⊗n}. Dann gilt für n = 1, 2, 3, 4:

N_{n} = ∑_{i=1}^{d} ∑_{j=1}^{d^{n}} (Q_{n}(g_{j} ⊗ e_{i}))^{2} = ∑_{j=1}^{d^{n}} N (R_{n}(g_{j})) ,

wobei N die ⟨ , ⟩ zugeordnete quadratische Form ist.

Beweis. Für (e_{i})_{i=1}^{d} und (g_{j})_{j=1}^{d^{n}} bezeichne ((g_{j} ⊗ e_{i})^{⋆})_{i,j} die zu (g_{j} ⊗ e_{i})_{i,j} gehörige duale Basis. Dann ist ((g_{j} ⊗e_{i})^{⋆})_{i,j} eine Orthonormalbasis von (V^{⊗n} ⊗V)^{⋆}. Damit erhält man:

N_{(V^{⊗n}⊗V)^{⋆}}(Q_{n}) = ∑_{i,j} ⟨Q_{n}, (g_{j} ⊗ e_{i})^{⋆}⟩_{(V^{⊗n}⊗V)^{⋆}}^{2}

= ∑_{i,j} ⟨∑_{k,l}⟨Q_{n}, (g_{l} ⊗ e_{k})^{⋆}⟩_{(V^{⊗n}⊗V)^{⋆}}(g_{l} ⊗ e_{k})^{⋆}, (g_{j} ⊗ e_{i})^{⋆}⟩_{(V^{⊗n}⊗V)^{⋆}}^{2}

= ∑_{i,j} ⟨∑_{k,l}(∑_{r,s} Q_{n}(g_{s} ⊗ e_{r}) · \underbrace{(g_{l} ⊗ e_{k})^{⋆}(g_{s} ⊗ e_{r})}_{=δ_{(k,l)(r,s)}})(g_{l} ⊗ e_{k})^{⋆}, (g_{j} ⊗ e_{i})^{⋆}⟩_{(V^{⊗n}⊗V)^{⋆}}^{2}

= ∑_{i,j} ⟨∑_{k,l} Q_{n}(g_{l} ⊗ e_{k})(g_{l} ⊗ e_{k})^{⋆}, (g_{j} ⊗ e_{i})^{⋆}⟩_{(V^{⊗n}⊗V)^{⋆}}^{2}

= ∑_{i,j} (∑_{k,l} Q_{n}(g_{l} ⊗ e_{k})δ_{(i,j)(k,l)})^{2} = ∑_{i,j} (Q_{n}(g_{j} ⊗ e_{i}))^{2} .

Die zweite Gleichheit der Behauptung folgt aus:

N_{n} = ∑_{i,j} Q_{n}(g_{j} ⊗ e_{i})^{2} = ∑_{i,j} ⟨R_{n}(g_{j}), e_{i}⟩^{2} = ∑_{j=1}^{d^{n}} (∑_{i=1}^{d} ⟨R_{n}(g_{j}), e_{i}⟩^{2})

=^{3.1 2.} ∑_{j=1}^{d^{n}} N(R_{n}(g_{j})).

Für den Beweis des Satzes 3.6 werden in den folgenden Hilfssätzen einige technische Vorbereitungen getroffen.

Hilfssatz 3.4. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit d = dim V und (e_{i})_{i=1}^{d} eine Orthonormalbasis von V, sei v ∈ V. Dann gilt:

1. ∑_{i=1}^{d} e_{i} × (v × e_{i}) = (d − 1)v,

2. ∑_{i=1}^{d} N(v × e_{i}) = (d − 1)N(v),

3. ∑_{i,j,k=1}^{d} N ((e_{i} × e_{j}) × e_{k}) = (d − 1)^{2} · d · 1_{F},

4. ∑_{i,j,k=1}^{d} N(e_{j})⟨e_{i}, e_{k}⟩^{2} = d^{2} · 1_{F},

5. ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨(e_{i} × e_{j}) × e_{k}, e_{j}⟩⟨e_{i}, e_{k}⟩ = (d − 1)d · 1_{F},

6. ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨e_{i}, e_{k}⟩⟨e_{j}, e_{k}⟩⟨e_{j}, e_{i}⟩ = d · 1_{F}.

Beweis. Zu 1: Wegen (VPA 3) gilt

e_{i} × (v × e_{i}) = N(e_{i})v − ⟨e_{i}, v⟩e_{i}

und damit erhält man

∑_{i=1}^{d} e_{i} × (v × e_{i}) = ∑_{i=1}^{d} N(e_{i})v − ∑_{i=1}^{d}⟨e_{i}, v⟩e_{i} =^{3.1 1.} dv − v = (d − 1) · v.

Zu 2:

∑_{i=1}^{d} N(v × e_{i}) =^{(VPA 2′)} ∑_{i=1}^{d} N(v)N(e_{i}) − ∑_{i=1}^{d}⟨v, e_{i}⟩^{2} =^{3.1 2.} d · N(v) − N(v)
= (d − 1)N(v).

Zu 3:

∑_{i,j,k=1}^{d}N((e_{i} × e_{j}) × e_{k}) = ∑_{i,j=1}^{d} (∑_{k=1}^{d} N ((e_{i} × e_{j}) × e_{k}))

=^{2.} ∑_{i,j=1}^{d}(d − 1) · N(e_{i} × e_{j}) = (d − 1) ∑_{i=1}^{d} (∑_{j=1}^{d} N(e_{i} × e_{j}))

=^{2.} (d − 1)^{2} ∑_{i=1}^{d} N(e_{i}) = (d − 1)^{2} · d · 1_{F} .

Zu 4:

∑_{i,j,k=1}^{d}N(e_{j})⟨e_{i}, e_{k}⟩^{2} = ∑_{j=1}^{d} (N(e_{j}) · ∑_{i,k=1}^{d} \underbrace{⟨e_{i}, e_{k}⟩^{2}}_{=0 für i≠k}) = ∑_{j=1}^{d} · ∑_{i=1}^{d}⟨e_{i}, e_{i}⟩^{2} = d^{2} · 1_{F} .

Zu 5:

∑_{i,j,k=1}^{d}⟨(e_{i} × e_{j}) × e_{k}, e_{j}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{k}⟩^{2}}_{=0 für i≠k} = ∑_{j=1}^{d}⟨∑_{i=1}^{d} ((e_{i} × e_{j}) × e_{i}) , e_{j}⟩

=^{1.} (d − 1) ∑_{j=1}^{d} N(e_{j}) = (d − 1)d · 1_{F} .

Zu 6: Da ⟨e_{i}, e_{j}⟩ = 0 für i ≠ j, gilt:

∑_{i,j,k=1}^{d}⟨e_{i}, e_{k}⟩⟨e_{j}, e_{k}⟩⟨e_{j}, e_{i}⟩ = ∑_{i=1}^{d}⟨e_{i}, e_{i}⟩^{2} = d · 1_{F} .

Hilfssatz 3.5. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F mit d = dim V und eine Orthonormalbasis (e_{i})_{i=1}^{d} von V gilt:

1. ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N(e_{j} × e_{k})⟨e_{i}, e_{l}⟩^{2} = d^{2}(d − 1) · 1_{F},

2. ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{k} × e_{i}⟩⟨e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j}, e_{l}⟩ = −d(d − 1) · 1_{F},

3. ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N(e_{i})⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2} = d^{2}(d − 1) · 1_{F},

4. ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{i}, e_{j}⟩ = −d(d − 1) · 1_{F}.

Beweis. Zu 1:
∑_{i,j,k,l=1}^{d}N(e_{j} × e_{k}) \underbrace{⟨e_{i}, e_{l}⟩^{2}}_{=0 für i≠l} = ∑_{i,j,k=1}^{d} N(e_{j} × e_{k})N(e_{i})^{2}

= ∑_{i,j=1}^{d} (∑_{k=1}^{d} N(e_{j} × e_{k})) =^{3.4 2.} ∑_{i,j=1}^{d}(d − 1)N(e_{j}) = (d − 1)d^{2} · 1_{F} .

Zu 2:

∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{k} × e_{i}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j}, e_{l}⟩}_{=0 für i≠l oder j≠l} = ∑_{k,l=1}^{d}⟨e_{l} × e_{k}, e_{k} × e_{l}⟩N(e_{l})^{2}

= − ∑_{k=1}^{d} (∑_{l=1}^{d} N(e_{k} × e_{l})) =^{3.4 2.} − ∑_{k=1}^{d}(d − 1)N(e_{k}) = −d(d − 1) · 1_{F} .

Zu 3:

∑_{i,j,k,l=1}^{d}N(e_{i})⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2} = d · ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2} = d · ∑_{j,k=1}^{d} (∑_{l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2})

=^{3.1 2.} d · ∑_{j,k=1}^{d} N(e_{j} × e_{k}) =^{3.4 2.} d · ∑_{j=1}^{d}(d − 1)N(e_{j}) = d^{2}(d − 1) · 1_{F} .

Zu 4:

∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{j}⟩}_{=0 für i≠j}

= ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩⟨e_{k} × e_{j}, e_{l}⟩N(e_{j}) = − ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2}

=^{3.} −d(d − 1) · 1_{F} .

Satz 3.6. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F mit d = dim V gilt:

N_{1} = d · 1_{F}
N_{2} = d(d − 1) · 1_{F}
N_{3} = d(d − 1)(d − 3) · 1_{F}
N_{4} = d(d − 1)(d − 3)(d − 7) · 1_{F}

Beweis. Sei (e_{i})_{i=1}^{d} eine Orthonormalbasis von V über F. Die Aussage für N_{1} ist klar, da

N_{1} =^{3.3} ∑_{i=1}^{d} N (R_{1}(e_{i})) = ∑_{i=1}^{d} N(e_{i}) = d · 1_{F} .

Für N_{2} gilt dann:

N_{2} =^{3.3} ∑_{i,j=1}^{d} N (R_{2}(e_{i} ⊗ e_{j})) = ∑_{i=1}^{d} (∑_{j=1}^{d} N(e_{i} × e_{j})) =^{3.4 2.} ∑_{i=1}^{d}(d − 1)N(e_{i}) = d(d − 1) · 1_{F} .

Für N_{3} erhält man:

N_{3} =^{3.3} ∑_{i,j,k=1}^{d} N (R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k})) = ∑_{i,j,k=1}^{d} N ((e_{i} × e_{j}) × e_{k} − e_{j}⟨e_{i}, e_{k}⟩ + e_{i}⟨e_{k}, e_{j}⟩)

= \underbrace{∑_{i,j,k=1}^{d} N((e_{i} × e_{j}) × e_{k})}_{=d(d−1)^{2}·1_{F} nach 3.4 3.} + \underbrace{∑_{i,j,k=1}^{d} N(e_{j})⟨e_{i}, e_{k}⟩^{2}}_{=d^{2}·1_{F} nach 3.4 4.} + \underbrace{∑_{i,j,k=1}^{d} N(e_{i})⟨e_{k}, e_{j}⟩^{2}}_{=d^{2}·1_{F} nach 3.4 4.}

− 2 · \underbrace{∑_{i,j,k=1}^{d}⟨(e_{i} × e_{j}) × e_{k}, e_{j}⟩⟨e_{i}, e_{k}⟩}_{=d(d−1)·1_{F} nach 3.4 5.} +2 · \underbrace{∑_{i,j,k=1}^{d}⟨(e_{i} × e_{j}) × e_{k}, e_{i}⟩⟨e_{j}, e_{k}⟩}_{=−d(d−1)·1_{F} nach 3.4 5.}

− 2 · \underbrace{∑_{i,j,k=1}^{d}⟨e_{i}, e_{k}⟩⟨e_{j}, e_{k}⟩⟨e_{j}, e_{i}⟩}_{=d·1_{F} nach 3.4 6.}

= (d(d − 1)^{2} + d^{2} + d^{2} − 2d(d − 1) − 2d(d − 1) − 2d) · 1_{F}

= (d(d − 1)^{2} + 2d^{2} − 4d(d − 1) − 2d) · 1_{F} = (d(d − 1)(d − 1 − 4) + 2d(d − 1)) · 1_{F}

= d(d − 1)(d − 3) · 1_{F} .

Jetzt wird noch gezeigt, daß N_{4} = d(d − 1)(d − 3)(d − 7) · 1_{F} ist:

N_{4} =^{3.3} ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (R_{4}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k} ⊗ e_{l}))

= ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N(R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l} − e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ − e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩

− e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩ + e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩

+ e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩)

= ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l})

+ ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ + e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩)

+ ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩ + e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩)

− 2 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l},

e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ + e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩⟩

+ 2 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l},

e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩ + e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩⟩

− 2 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ + e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩,

e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩ + e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩⟩.

Im folgenden werden, um eine übersichtliche Darstellung zu erhalten, die Summanden der letzten Zeilen einzeln berechnet. Dabei ist es von Vorteil, bei einigen Summanden eine Umindizierung vorzunehmen, um sie anschließend besser zusammenfassen zu können. Der erste Summand ergibt dann

∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l}) = ∑_{i,j,k=1}^{d} (∑_{l=1}^{d} N (R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l}))

=^{3.4 2.} ∑_{i,j,k=1}^{d}(d − 1) · N (R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k})) = (d − 1) · N_{3} = d(d − 1)^{2}(d − 3) · 1_{F} .

Für den zweiten Summanden gilt:

∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ + e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩)

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2}N(e_{i}) + 3 · 2 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{i}, e_{j}⟩

=^{3.5 3. und 4.} 3 · d^{2}(d − 1) · 1_{F} + 6 · (−d(d − 1)) · 1_{F} = 3d(d − 1)(d − 2) · 1_{F} .

Für den dritten Summanden erhält man:

∑_{i,j,k,l=1}^{d} N (e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩ + e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩)

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d} N(e_{j} × e_{k})⟨e_{i}, e_{l}⟩^{2} + 3 · 2 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{k} × e_{i}⟩⟨e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j}, e_{l}⟩

=^{3.5 1. und 2.} 3 · d^{2}(d − 1) · 1_{F} − 6 · d(d − 1) · 1_{F} = 3d(d − 1)(d − 2) · 1_{F} .

Für den vierten Summanden hat man:

∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l},

e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ + e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩⟩

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l}, e_{i}⟩⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨R_{3}(e_{k} ⊗ e_{j} ⊗ e_{i}) × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨((e_{k} × e_{j}) × e_{i}) × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

− 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d} \underbrace{⟨e_{k}, e_{i}⟩}_{=0 für i≠k}⟨e_{j} × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

+ 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d} \underbrace{⟨e_{j}, e_{i}⟩}_{=0 für i≠j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i} × ((e_{j} × e_{k}) × e_{i}) , e_{l}⟩⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

− 3 · ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2} − 3 · ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2}

=^{(VPA 3)} 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2} − 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i}, e_{j} × e_{k}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{l}⟩}_{=0 für i≠l}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩

− 6 · ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2}

3. DIMENSION VON VEKTORPRODUKTALGEBREN 25

= 3d · ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2} − 9 · ∑_{j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩^{2}

=^{3.1 2.} 3(d − 3) · ∑_{j,k=1}^{d} N(e_{j} × e_{k}) = 3(d − 3)(d − 1) · 1_{F}

Der fünfte Summand ergibt:

∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l}, e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩ + e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩⟩

= 3 · ∑_{i,j,k,l=1}^{d} \underbrace{⟨e_{i}, e_{l}⟩}_{=0 für i≠l}⟨R_{3}(e_{i} ⊗ e_{j} ⊗ e_{k}) × e_{l}, e_{j} × e_{k}⟩

= −3 · ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨R_{3}(e_{k} ⊗ e_{j} ⊗ e_{i}), e_{i} × (e_{j} × e_{k})⟩

= −3 · ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨(e_{k} × e_{j}) × e_{i}, e_{i} × (e_{j} × e_{k})⟩ + 3 · ∑_{i,j,k=1}^{d} \underbrace{⟨e_{k}, e_{i}⟩}_{=0 für i≠k}⟨e_{j}, e_{i} × (e_{j} × e_{k})⟩

− 3 · ∑_{i,j,k=1}^{d} \underbrace{⟨e_{j}, e_{i}⟩}_{=0 für j≠i}⟨e_{k}, e_{i} × (e_{j} × e_{k})⟩

= −3 · ∑_{i,j,k=1}^{d} N (e_{i} × (e_{j} × e_{k})) + 3 · ∑_{i,j=1}^{d} N(e_{j} × e_{i}) − 3 · ∑_{i,k=1}^{d} −N(e_{i} × e_{k})

=^{3.4 2.} (−3 · d(d − 1)^{2} + 3 · d(d − 1) + 3 · d(d − 1)) · 1_{F}

= −3d(d − 1)(d − 1 − 1 − 1) · 1_{F} = −3d(d − 1)(d − 3) · 1_{F} . Für den letzten Summanden gilt:

∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ + e_{j}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩,

e_{j} × e_{k}⟨e_{i}, e_{l}⟩ + e_{k} × e_{i}⟨e_{j}, e_{l}⟩ + e_{i} × e_{j}⟨e_{k}, e_{l}⟩⟩

= ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{l}⟩}_{=0 für i≠l}⟨e_{i}, e_{j} × e_{k}⟩ + ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩⟨e_{j}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{k} × e_{i}⟩}_{=0}

+ ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{l}⟩⟨e_{k}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{i}, e_{i} × e_{j}⟩}_{=0} + ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{i}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{j}, e_{j} × e_{k}⟩}_{=0}

+ ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{j}, e_{l}⟩}_{=0 für j≠l}⟨e_{j}, e_{k} × e_{i}⟩ + ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{k} × e_{i}, e_{l}⟩⟨e_{k}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{j}, e_{i} × e_{j}⟩}_{=0}

+ ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩⟨e_{i}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{k}, e_{j} × e_{k}⟩}_{=0} + ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩⟨e_{j}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{k}, e_{k} × e_{i}⟩}_{=0}

+ ∑_{i,j,k,l=1}^{d}⟨e_{i} × e_{j}, e_{l}⟩ \underbrace{⟨e_{k}, e_{l}⟩}_{=0 für k≠l}⟨e_{k}, e_{i} × e_{j}⟩

= ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨e_{j} × e_{k}, e_{i}⟩^{2} + ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨e_{k} × e_{i}, e_{j}⟩^{2} + ∑_{i,j,k=1}^{d}⟨e_{i} × e_{j}, e_{k}⟩^{2}

=^{3.5 3.} 3 · d(d − 1) · 1_{F} .

Insgesamt erhält man dann:

N_{4} = (d(d − 1)^{2}(d − 3) + 3d(d − 1)(d − 2) + 3d(d − 1)(d − 2)
− 6d(d − 1)(d − 3) − 6d(d − 1)(d − 3) − 6d(d − 1)) · 1_{F}
= (d(d − 1)(d − 3)(d − 1 − 6 − 6) + d(d − 1)(6(d − 2) − 6)) · 1_{F}
= (d(d − 1)(d − 3)(d − 13) + d(d − 1) · 6(d − 3)) · 1_{F}
= d(d − 1)(d − 3)(d − 7) · 1_{F} .

Korollar 3.7. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit char F = 0 und d = dim V. Dann ist d = 0, 1, 3 oder 7.

Beweis. Nach Satz 2.4 3. ist R_{4} ≡ 0 und somit erhält man Q_{4} ≡ 0, also ist

N_{4} = N_{(V^{⊗5})^{⋆}}(Q_{4}) = 0.

Wegen Satz 3.6 gilt N_{4} = d(d − 1)(d − 3)(d − 7) · 1_{F} und für char F = 0 ist dann d = 0, 1, 3 oder 7.

Korollar 3.8. Sei (C, ·, N) eine unitäre Kompositionsalgebra über F und char F = 0, so ist dim C = 1, 2, 4 oder 8.

Ferner gilt: Ist C kommutativ, dann ist dim C = 1 oder 2. Ist C assoziativ, dann ist dim C = 1, 2 oder 4.

Beweis. Nach Korollar 3.7 gilt für V(C, ·, N), daß dim V_{C} = 0, 1, 3 oder 7 ist und deshalb ist dim C = 1, 2, 4 oder 8.

Ist (C, ·, N) kommutativ (bzw. assoziativ), dann ist nach Satz 2.4 R_{2} ≡ 0 (bzw. R_{3} ≡ 0). Also gilt

N_{2} = N_{(V^{⊗3})^{⋆}}(Q_{2}) = N_{(V^{⊗3})^{⋆}}(0) = 0

(bzw.

N_{3} = N_{(V^{⊗4})^{⋆}}(Q_{3}) = N_{(V^{⊗4})^{⋆}}(0) = 0).

Wegen Satz 3.6 ist N_{2} = d(d − 1) · 1_{F} (bzw. N_{3} = d(d − 1)(d − 3) · 1_{F}), außerdem ist char F = 0 nach Voraussetzung, woraus die Behauptung folgt.

KAPITEL 4 Struktur von Vektorproduktalgebren

In diesem Kapitel werden auf einer Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) für n = 1, 2, 3, 4 die Abbildungen P_{n} definiert und in den Sätzen 4.2, 4.8, 4.13 und 4.17 die Vektorproduktalgebren über ihre Erzeugenden näher bestimmt. Damit und mit der in Satz 1.23 angegebenen Multiplikation für unitäre Kompositionsalgebren können dann die Multiplikationstabellen für Quaternionen- und Oktavenalgebren angegeben werden.

Definition 4.1. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F und n = 1, 2, 3, 4 definiere P_{n}: V^{n} ⟶ F durch

P_{n}(v_{1}, …, v_{n}) := N(R_{n}(v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n})),

wobei N die ⟨ , ⟩ zugeordnete quadratische Form ist.

Satz 4.2. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit P_{1} ≡ 0. Dann ist V = {0}.

Beweis. Nach Voraussetzung ist P_{1}(v) = N(v) = ⟨v, v⟩ = 0 für alle v ∈ V. Also gilt für w ∈ V:

⟨v, w⟩ = \frac{1}{2} (N(v + w) − N(v) − N(w)) = 0.

Da ⟨ , ⟩ regulär ist, folgt die Behauptung.

Korollar 4.3. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F mit P_{1} ≡ 0 ist auch R_{i} ≡ 0 für 1 ≤ i ≤ 4 und P_{j} ≡ 0 für 2 ≤ j ≤ 4.

Definition 4.4. Für einen bilinearen Raum (V, ⟨ , ⟩) über F und v_{1}, …, v_{n} ∈ V heißt GSD(v_{1}, …, v_{n}) die Gram-Schmitt-Determinante von v_{1}, …, v_{n}, d. h.

GSD(v_{1}, …, v_{n}) := det (\begin{matrix}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⟨v_{1}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ ⟨v_{2}, v_{1}⟩ & ⟨v_{2}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{2}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ ⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⟨v_{n}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

Bemerkung 4.5. Es ist P_{2}(v, w) = GSD(v, w) = N(v)N(w) − ⟨v, w⟩^{2}.

Lemma 4.6. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F, seien v_{1}, …, v_{n} ∈ V. Dann gilt:

1. GSD(v_{1}, …, v_{n}) = GSD(v_{σ(1)}, …, v_{σ(n)}) für σ ∈ S_{n},

2. Für a ∈ F ist GSD(v_{1}, …, v_{i−1}, av_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) = a^{2} GSD(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{n}),

3. Für λ, μ ∈ F ist GSD(λv_{1} + μv_{2}, v_{2}) = λ^{2} · GSD(v_{1}, v_{2}) und GSD(v_{1}, λv_{1} + μv_{2}) = μ^{2} · GSD(v_{1}, v_{2}).

Beweis. Zu 1: Sei τ_{i,j} ∈ S_{n} die Transposition mit τ(i) = j, τ(j) = i und τ(k) = k für k ∈ {1, …, n}\{i, j}. Dann entsteht GSD(v_{τ(1)}, …, v_{τ(n)}) aus GSD(v_{1}, …, v_{n}) durch Vertauschen der i-ten mit der j-ten Zeile und durch Vertauschen der i-ten mit der j-ten Spalte. Also ist GSD(v_{τ(1)}, …, v_{τ(n)}) = GSD(v_{1}, …, v_{n}), woraus die Behauptung für jede Permutation σ ∈ S_{n} gilt, denn jede Permutation läßt sich als Hintereinanderausführung von endlich vielen Transpositionen auffassen.

Zu 2: Wegen 1. kann man o. B. d. A. i = 1 annehmen. Dann gilt:

GSD(av_{1}, v_{2}, …, v_{n}) = det (\begin{matrix}a^{2}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & a⟨v_{1}, v_{2}⟩ & … & a⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ a⟨v_{2}, v_{1}⟩ & ⟨v_{2}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{2}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⟨v_{n}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

= a · det (\begin{matrix}a⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⟨v_{1}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ a⟨v_{2}, v_{1}⟩ & ⟨v_{2}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{2}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⟨v_{n}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

= a^{2} · det (\begin{matrix}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⟨v_{1}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ ⟨v_{2}, v_{1}⟩ & ⟨v_{2}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{2}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ ⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⟨v_{n}, v_{2}⟩ & … & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

= a^{2} · GSD(v_{1}, …, v_{n}).

Zu 3: Es ist

GSD(λv_{1} + μv_{2}, v_{2}) = det (\begin{matrix}N(λv_{1} + μv_{2}) & ⟨λv_{1} + μv_{2}, v_{2}⟩ \\ ⟨v_{2}, λv_{1} + μv_{2}⟩ & N(v_{2}) \end{matrix})
= (λ^{2}N(v_{1}) + μ^{2}N(v_{2}) + 2λμ⟨v_{1}, v_{2}⟩) N(v_{2}) − (λ⟨v_{1}, v_{2}⟩ + μN(v_{2}))^{2}
= λ^{2} (N(v_{1})N(v_{2}) − ⟨v_{1}, v_{2}⟩^{2}) = λ^{2} GSD(v_{1}, v_{2}).

Wegen 1. und dem soeben gezeigten gilt:

GSD(v_{1}, λv_{1} + μv_{2}) = GSD(μv_{2} + λv_{1}, v_{1}) = μ^{2} · GSD(v_{2}, v_{1})
= μ^{2} · GSD(v_{1}, v_{2}).

Lemma 4.7. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F, seien v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V. Dann gilt:

1. P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = P_{3}(v_{σ(1)}, v_{σ(2)}, v_{σ(3)}) für σ ∈ S_{3},

2. P_{3}(v_{1} + v_{i}, v_{2}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2} + v_{j}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3} + v_{k}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) für i ∈ {2, 3}, j ∈ {1, 3}, k ∈ {1, 2},

3. P_{3}(v_{1} + (v_{2} × v_{3}), v_{2}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2} + (v_{1} × v_{3}), v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3} + (v_{1} × v_{2})) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}),

4. P_{3}(v_{1} − λv_{i}, v_{2}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2} − μv_{j}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3} − τv_{k}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) für i ∈ {2, 3}, j ∈ {1, 3}, k ∈ {1, 2} und λ, μ, τ ∈ F.

Beweis. Zu 1: Die Aussage folgt, da P_{3} = N(R_{3}) und R_{3} nach Proposition 2.2

alternierend ist. Zu 2: Es genügt zu zeigen, daß P_{3}(v_{1} + v_{i}, v_{2}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) für i ∈ {2, 3} gilt. Die

weiteren Aussagen folgen daraus mit 1. Mittels Proposition 2.2 erhält man

P_{3}(v_{1} + v_{2}, v_{2}, v_{3}) = N (R_{3} ((v_{1} + v_{2}) ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}))
= N (R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}) + R_{3}(v_{2} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}))
= N (R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3})) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3})

und analog

P_{3}(v_{1} + v_{3}, v_{2}, v_{3}) = N (R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}) + R_{3}(v_{3} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3})) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}).

Zu 3: Es ist

P_{3}(v_{1} + (v_{2} × v_{3}), v_{2}, v_{3}) = N (R_{3} ((v_{1} + (v_{2} × v_{3})) ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}))

= N (R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}) + R_{3}((v_{2} × v_{3}) ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}))

=^{2.2} N (R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3})) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}).

Die restlichen Aussagen folgen daraus mit 1. Zu 4: Es gilt für λ ∈ F:

P_{3}(v_{1} − λv_{2}, v_{2}, v_{3}) = N (R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3}) − λ · R_{3}(v_{2} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3})) =^{2.2} P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}).

Die restlichen Aussagen folgen daraus mit 1.

Satz 4.8. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit P_{1} ≢ 0, P_{2} ≡ 0. Dann existiert ein v ∈ V mit N(v) ≠ 0, so daß V = F · v ist.

Beweis. Da P_{1} ≢ 0 ist, existiert ein v ∈ V mit P_{1}(v) = N(v) ≠ 0. Dann ist v ≠ 0 und F · v ist eine Vektorprodukt-Unteralgebra von V.

Nach Lemma 1.6 ist V = F · v ⊕ (F · v)^{⊥}. Für w ∈ (F · v)^{⊥} ist dann N(w) = 0, denn

0 = P_{2}(v, w) = N(v)N(w) − ⟨v, w⟩^{2} = N(v)N(w),

d. h. N|_{(F ·v)}_{⊥} ≡ 0. Da V und F ·v regulär sind, ist nach Lemma 1.6 auch (F ·v)^{⊥} regulär. Insgesamt gilt V = F · v.

Korollar 4.9. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F mit P_{1} ≢ 0 und P_{2} ≡ 0 ist R_{i} ≡ 0 für 2 ≤ i ≤ 4 und P_{j} ≡ 0 für j ∈ {3, 4}.

Beweis. Nach Satz 4.8 existiert ein v ∈ V mit N(v) ≠ 0, so daß V = F · v ist. Für beliebige w, w′, w′′ ∈ V gibt es also eine Darstellung w := λv, w′ := μv und w′′ := τv mit λ, μ, τ ∈ F. Dann gilt:

R_{2}(w ⊗ w′) = λμ(v × v) =^{(VPA 2)} 0

und

R_{3}(w ⊗ w′ ⊗ w′′) = (w × w′) × w′′ − w′⟨w, w′′⟩ + w⟨w′, w′′⟩

= λμτ(v × v) × v − λμτ⟨v, v⟩ + λμτ⟨v, v⟩ =^{(VPA 2)} 0.

Nach Satz 2.4 3. ist R_{4} ≡ 0. Da P_{n} = N_{V} (R_{n}) für n = 1, …, 4, folgt daraus die Behauptung.

Lemma 4.10. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F und für Vektoren v, w ∈ V mit GSD(v, w) ≠ 0 existiert ein v′ ∈ V mit N(v′) ≠ 0, so daß GSD(v′, v) ≠ 0 oder GSD(v′, w) ≠ 0 ist.

Beweis. Angenommen, für alle v′ ∈ V von der Form v′ := av + bw mit a, b ∈ F gelte N(v′) = 0, d. h.

a^{2}N(v) + b^{2}N(w) + 2ab⟨v, w⟩ = 0.

Dann folgt für a = 1 und b = 0, daß N(v) = 0 ist. Für a = 0 und b = 1 gilt N(w) = 0. Daraus erhält man für a = 1 und b = 1, daß ⟨v, w⟩ = 0 ist. Dies steht im Widerspruch zu GSD(v, w) ≠ 0. Also existiert ein v′ ∈ F · v + F · w mit N(v′) ≠ 0.

Wegen N(v′) ≠ 0 ist dann v′ ≠ 0. Sei ohne Einschränkung a ≠ 0. Dann ist

GSD(v′, w) = GSD(av + bw, w) =^{4.6 3.} a^{2} · GSD(v, w).

Da GSD(v, w) ≠ 0 vorausgesetzt war und a ≠ 0 angenommen wurde, ist GSD(v′, w) ≠ 0. Für b ≠ 0 folgt analog mit Lemma 4.6 3. die Aussage 0 ≠ GSD(v′, v) = b^{2} ·GSD(v, w).

Lemma 4.11. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F und für Vektoren v, w ∈ V mit GSD(v, w) ≠ 0 existieren v′, w′ ∈ V mit N(v′) ≠ 0, N(w′) ≠ 0, ⟨v′, w′⟩ = 0 und GSD(v′, w′) ≠ 0.

Beweis. Nach Lemma 4.10 existiert ein v′ ∈ V mit N(v′) ≠ 0 und o. E. GSD(v′, w) ≠ 0. Definiert man nun

w′ := w − \frac{⟨v′, w⟩}{N(v′)}v′,

dann gilt:

N(w′) = N(w) + N (\frac{⟨v′, w⟩}{N(v′)}v′) − 2 ⟨w, \frac{⟨v′, w⟩}{N(v′)}v′⟩

= N(w) − \frac{⟨v′, w⟩^{2}}{N(v′)} .

Da GSD(v′, w) ≠ 0 ist, folgt N(w′) ≠ 0.

Ferner ist

⟨v′, w′⟩ = ⟨v′, w⟩ − ⟨v′, \frac{⟨v′, w⟩}{N(v′)}v′⟩ = 0

und daher

GSD(v′, w′) = GSD(v′, w − \frac{⟨v′, w⟩}{N(v′)}v′) =^{4.6 3.} GSD(v′, w) ≠ 0.

Notation 4.12. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F, v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V bezeichne V_{v_{1},v_{2}} den von v_{1}, v_{2} und v_{1} ×v_{2} erzeugten Untervektorraum von V und V_{v_{1},v_{2},v_{3}} den von v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{1}×v_{2}, v_{2}×v_{3}, v_{3}×v_{1} und R_{3}(v_{1}⊗v_{2}⊗v_{3}) erzeugten Untervektorraum von V, d. h.

V_{v_{1},v_{2}} := span_{F} {v_{1}, v_{2}, v_{1} × v_{2}},
V_{v_{1},v_{2},v_{3}} := span_{F} {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{1} × v_{2}, v_{2} × v_{3}, v_{3} × v_{1}, R_{3}(v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3})}.

Satz 4.13. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit P_{2} ≢ 0, P_{3} ≡ 0. Dann existieren v, w ∈ V mit N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, ⟨v, w⟩ = 0, so daß V = V_{v,w} ist.

Beweis. Da P_{2}(v, w) ≢ 0 ist, gibt es nach Lemma 4.11 v, w ∈ V mit N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, ⟨v, w⟩ = 0 und P_{2}(v, w) = GSD(v, w) ≠ 0.

Dann ist V_{v,w} eine Vektorprodukt-Unteralgebra von V, denn V_{v,w} ist abgeschlossen bzgl. ×:

v × v = 0
w × w = 0
(v × w) × (v × w) = 0
v × w = −w × v (nach Proposition 1.17)
(v × w) × v = −v × (v × w) = N(v)w
w × (v × w) = −(v × w) × w = N(w)v

und V_{v,w} ist regulär, denn nach Voraussetzung ist

N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, N(v × w) = P_{2}(v, w) ≠ 0, ⟨v, w⟩ = 0

und wegen (VPA 1′) gilt

⟨v, v × w⟩ = 0, ⟨w, v × w⟩ = 0.

Daher ist V_{v,w} eine Vektorprodukt-Unteralgebra von V über F mit der Multiplikationstabelle:

\begin{matrix}× & v & w & v × w \\ v & 0 & v × w & −aw \\ w & −v × w & 0 & bv \\ v × w & aw & −bv & 0 \end{matrix}

mit a := N(v), b := N(w) ∈ F^{×}.

Wähle nun u ∈ V_{v,w}^{⊥}. Dann gilt:

0 = P_{3}(v, w, u) = N ((v × w) × u − w⟨v, u⟩ + v⟨w, u⟩)

= N ((v × w) × u) =^{(VPA 2′)} N(v × w)N(u) − ⟨v × w, u⟩^{2}

= N(u)N(v × w).

Da N(v × w) = P_{2}(v, w) ≠ 0 ist, folgt also N(u) = 0 für beliebige u ∈ V_{v,w}^{⊥}, d. h. N|_{V_{v,w}}_{⊥} = 0, also V_{v,w}^{⊥} = {0}. Nach Lemma 1.6 ist V = V_{v,w} ⊕ V_{v,w}^{⊥}, woraus sich V = V_{v,w} ergibt.

Korollar 4.14. Für eine Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) über F mit P_{2} ≢ 0 und P_{3} ≡ 0 gilt R_{3} ≡ 0.

Beweis. Nach Satz 4.13 existieren v, w ∈ V, so daß V = V_{v,w} ist. Nach Proposition 2.2 ist der Tensor R_{3} alternierend und wegen (VPA 2) und (VPA 1′) gilt

R_{3}(v ⊗ w ⊗ v × w) = (v × w) × (v × w) − w⟨v, v × w⟩ + v⟨w, v × w⟩ = 0.

R_{3} faktorisiert also über

V^{⊗3} ⟶^{R_{3}} V
↓  ∥
⋀^{3} V ⟶^{\overline{R}_{3}} V

wobei v ∧ w ∧ (v × w) Erzeugendensystem von ⋀^{3} V ist und es gilt

\overline{R}_{3} (v ∧ w ∧ (v × w)) = R_{3}(v ⊗ w ⊗ v × w) = 0.

Daher ist ker(\overline{R}_{3}) = ⋀^{3} V, also \overline{R}_{3} ≡ 0 und R_{3} ≡ 0.

Lemma 4.15. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit P_{3} ≢ 0. Dann existieren v, w, z ∈ V mit N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, N(z) ≠ 0, ⟨v, w⟩ = 0, z ⊥ V_{v,w} und P_{3}(v, w, z) ≠ 0.

Beweis. Sei

A_{1} := { (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ V^{3} | P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ≠ 0 },
A_{2} := { (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{1} | N(v_{1}) ≠ 0 },
A_{3} := { (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{2} | ⟨v_{2}, v_{1}⟩ = 0 und ⟨v_{3}, v_{1}⟩ = 0 },
A_{4} := { (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{3} | N(v_{2}) ≠ 0 },
A_{5} := { (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{4} | ⟨v_{3}, v_{2}⟩ = 0 },
A_{6} := { (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{5} | ⟨v_{3}, v_{1} × v_{2}⟩ = 0 }.

Gezeigt wird: Aus A_{i} ≠ ∅ folgt A_{i+1} ≠ ∅ für i = 1, …, 5.

Dann erhält man für (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{6}

0 ≠ P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = N ((v_{1} × v_{2}) × v_{3} − v_{2}⟨v_{3}, v_{1}⟩ + v_{1}⟨v_{2}, v_{3}⟩)
= N(v_{1} × v_{2})N(v_{3}) − ⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩^{2}
= N(v_{1})N(v_{2})N(v_{3}).

Aus N(v_{1}) ≠ 0 und N(v_{2}) ≠ 0 folgt N(v_{3}) ≠ 0. Damit ist die Aussage gezeigt. A_{1} ≠ ∅ ⇒ A_{2} ≠ ∅: Da A_{1} ≠ ∅ ist, existiert (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ V^{3} mit P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ≠ 0. Gilt hierfür bereits

N(v_{i}) ≠ 0 für ein i ∈ {1, 2, 3}, dann ist man nach Lemma 4.7 1. fertig.

Zwischenbehauptung: Ist ⟨v_{i}, v_{j}⟩ ≠ 0 für i ≠ j ∈ {1, 2, 3}, dann ist (v_{i}+v_{j}, v_{j}, v_{k}) ∈ A_{2} für k ∈ {1, 2, 3} mit k ≠ i, j.

Beweis der Zwischenbehauptung: Es ist

P_{3}(v_{i} + v_{j}, v_{j}, v_{k}) =^{4.7 2.} P_{3}(v_{i}, v_{j}, v_{k}) ≠ 0

und

N(v_{i} + v_{j}) = N(v_{i}) + N(v_{j}) + 2⟨v_{i}, v_{j}⟩ = 2⟨v_{i}, v_{j}⟩ ≠ 0.

Damit ist die Zwischenbehauptung gezeigt.

Man kann also ohne Einschränkung (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{1} mit N(v_{i}) = 0 für alle i ∈ {1, 2, 3} und ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = 0 für i ≠ j ∈ {1, 2, 3} annehmen. Dann erhält man

0 ≠ P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = N((v_{1} × v_{2}) × v_{3})
= N(v_{1} × v_{2})N(v_{3}) − ⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩^{2} = −⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩^{2},

d. h. ⟨v_{i} × v_{j}, v_{k}⟩ ≠ 0 für i, j, k ∈ {1, 2, 3} paarweise verschieden.

Dann ist (v_{i} + (v_{j} × v_{k}), v_{j}, v_{k}) ∈ A_{2} mit i, j, k ∈ {1, 2, 3} paarweise verschieden, denn nach Lemma 4.7 3. ist

P_{3}(v_{i} + (v_{j} × v_{k}), v_{j}, v_{k}) = P_{3}(v_{i}, v_{j}, v_{k}) ≠ 0

und

N(v_{i} + (v_{j} × v_{k})) = N(v_{i}) + N(v_{j} × v_{k}) + 2⟨v_{i}, v_{j} × v_{k}⟩
= 2⟨v_{i}, v_{j} × v_{k}⟩ ≠ 0

und deshalb ist A_{2} ≠ ∅.

A_{2} ≠ ∅ ⇒ A_{3} ≠ ∅:

Für (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{2} mit ⟨v_{2}, v_{1}⟩ ≠ 0 ist (v_{1}, v_{2} − \frac{⟨v_{1},v_{2}⟩}{N(v_{1})}v_{1}, v_{3}) ∈ A_{2}, denn nach Lemma 4.7 4. ist

P_{3}(v_{1}, v_{2} − \frac{⟨v_{1}, v_{2}⟩}{N(v_{1})}v_{1}, v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ≠ 0.

Ferner gilt

⟨v_{2} − \frac{⟨v_{1}, v_{2}⟩}{N(v_{1})}v_{1}, v_{1}⟩ = ⟨v_{2}, v_{1}⟩ − ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = 0.

Für (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{2} mit ⟨v_{2}, v_{1}⟩ = 0 und ⟨v_{3}, v_{1}⟩ ≠ 0 erhält man analog, daß (v_{1}, v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{1},v_{3}⟩}{N(v_{1})}v_{1}) ∈ A_{3} ist.

A_{3} ≠ ∅ ⇒ A_{4} ≠ ∅:

Gilt für (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{3} bereits N(v_{2}) ≠ 0 oder N(v_{3}) ≠ 0, dann ist wegen Lemma 4.7 1. A_{4} ≠ ∅. Sei also N(v_{2}) = 0 und N(v_{3}) = 0. Ist ⟨v_{3}, v_{2}⟩ ≠ 0, dann erhält man wegen Lemma 4.7 2. P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{2} + v_{3}) ≠ 0 und

⟨v_{1}, v_{2} + v_{3}⟩ = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ + ⟨v_{1}, v_{3}⟩ = 0
N(v_{2} + v_{3}) = N(v_{2}) + N(v_{3}) + 2⟨v_{2}, v_{3}⟩ = 2⟨v_{2}, v_{3}⟩ ≠ 0.

Also ist (v_{1}, v_{2}, v_{2} + v_{3}) ∈ A_{4}.

Sei ohne Einschränkung (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{3} mit N(v_{2}) = 0, N(v_{3}) = 0 und ⟨v_{2}, v_{3}⟩ = 0 vorausgesetzt. Dann gilt:

0 ≠ P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = N((v_{1} × v_{2}) × v_{3}) = N(v_{1} × v_{2})N(v_{3}) − ⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩^{2}
= −⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩^{2}.

Daraus erhält man wegen Lemma 4.7 1. ⟨v_{i} × v_{j}, v_{k}⟩ ≠ 0 für i, j, k ∈ {1, 2, 3} paarweise verschieden.

Dann ist (v_{1}, v_{2} + (v_{1} × v_{3}), v_{3}) ∈ A_{4}, denn wegen Lemma 4.7 3. ist P_{3}(v_{1}, v_{2} + (v_{1} × v_{3}), v_{3}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ≠ 0 und nach Voraussetzung ist N(v_{1}) ≠ 0 und ⟨v_{1}, v_{3}⟩ = 0. Außerdem ist ⟨v_{1}, v_{2} + (v_{1} × v_{3})⟩ = 0 und

N(v_{2} + (v_{1} × v_{3})) = N(v_{2}) + N(v_{1} × v_{3}) + 2⟨v_{2}, v_{1} × v_{3}⟩ = 2⟨v_{2}, v_{1} × v_{3}⟩ ≠ 0.

d. h. A_{4} ≠ ∅.

A_{4} ≠ ∅ ⇒ A_{5} ≠ ∅:

Wähle (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{4} mit ⟨v_{3}, v_{2}⟩ ≠ 0. Dann gilt wegen Lemma 4.7 4.

P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{2})}v_{2}) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ≠ 0.

Ferner erhält man

⟨v_{1}, v_{3} − \frac{⟨v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{2})}v_{2}⟩ = ⟨v_{1}, v_{3}⟩ − \frac{⟨v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{2})}⟨v_{1}, v_{2}⟩ = 0
⟨v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{2})}v_{2}⟩ = ⟨v_{2}, v_{3}⟩ − ⟨v_{2}, v_{3}⟩ = 0.

Also ist (v_{1}, v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{2},v_{3}⟩}{N(v_{2})}v_{2}) ∈ A_{5}.

A_{5} ≠ ∅ ⇒ A_{6} ≠ ∅:

Für (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ A_{5} mit ⟨v_{3}, v_{1} × v_{2}⟩ ≠ 0 ist (v_{1}, v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{1}×v_{2},v_{3}⟩}{N(v_{1}×v_{2})}(v_{1} × v_{2})) ∈ A_{6}, denn

P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{1} × v_{2})}(v_{1} × v_{2})) = P_{3}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ≠ 0,

⟨v_{1}, v_{3} − \frac{⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{1} × v_{2})}(v_{1} × v_{2})⟩ = ⟨v_{1}, v_{3}⟩ − \frac{⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{1} × v_{2})}⟨v_{1}, v_{1} × v_{2}⟩ = 0,

⟨v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{1} × v_{2})}(v_{1} × v_{2})⟩ = ⟨v_{2}, v_{3}⟩ − \frac{⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{1} × v_{2})}⟨v_{1}, v_{1} × v_{2}⟩ = 0,

Dabei wurde die Regel (VPA 1′) benutzt. Außerdem gilt:

⟨v_{1} × v_{2}, v_{3} − \frac{⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩}{N(v_{1} × v_{2})}(v_{1} × v_{2})⟩ = ⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩ − ⟨v_{1} × v_{2}, v_{3}⟩ = 0.

Also ist A_{6} ≠ ∅ und damit ist das Lemma bewiesen.

Lemma 4.16. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F. Für v, w, z ∈ V mit N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, N(z) ≠ 0, v ⊥ w, z ⊥ V_{v,w} ist dann (V_{v,w,z}, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorprodukt-Unteralgebra von (V, ×, ⟨ , ⟩) über F.

Beweis. Um zu zeigen, daß (V_{v,w,z}, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorprodukt-Unteralgebra von (V, ×, ⟨ , ⟩) ist, wird zunächst die Orthogonalität von je zwei Vektoren nachgewiesen. Seien dazu

v_{1} := v,  v_{2} := w,  v_{3} := z,
v_{4} := v × w,  v_{5} := w × z,  v_{6} := z × v,
v_{7} := R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) = (v × w) × z.

Nach Voraussetzung ist ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨v_{1}, v_{3}⟩ = ⟨v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨v_{3}, v_{4}⟩ = 0 und wegen (VPA 1′) ist ⟨v_{1}, v_{4}⟩ = ⟨v_{1}, v_{6}⟩ = ⟨v_{2}, v_{4}⟩ = ⟨v_{2}, v_{5}⟩ = ⟨v_{3}, v_{5}⟩ = ⟨v_{3}, v_{6}⟩ = 0. Außerdem erhält man

⟨v_{1}, v_{5}⟩ = ⟨v, w × z⟩ =^{(VPA 1)} ⟨v × w, z⟩ = 0

und

⟨v_{2}, v_{6}⟩ = ⟨w, z × v⟩ = ⟨z × v, w⟩ =^{(VPA 1)} ⟨z, v × w⟩ = 0,

da z ⊥ V_{v,w}vorausgesetzt war.

Ferner gilt

⟨v_{4}, v_{5}⟩ = ⟨v × w, w × z⟩ =^{(VPA 1)} ⟨(v × w) × w, z⟩ =^{1.17} −⟨w × (v × w), z⟩

=^{(VPA 3)} −N(w)⟨v, z⟩ = 0

und analog folgt ⟨v_{5}, v_{6}⟩ = −N(z)⟨v, z⟩ = 0 und ⟨v_{6}, v_{4}⟩ = −N(v)⟨z, w⟩ = 0. Zu zeigen bleibt noch die Orthogonalität von v_{7} mit v_{i} für i ∈ {4, 5, 6}. Es ist

⟨v_{4}, v_{7}⟩ = ⟨v × w, R_{3}(v ⊗ w ⊗ z)⟩ =^{(VPA 1)} ⟨(v × w) × (v × w), z⟩ =^{(VPA 2)} 0

und, da R_{3} alternierend ist (vgl. 2.2), folgt ⟨v_{5}, v_{7}⟩ = ⟨v_{6}, v_{7}⟩ = 0. Also sind die 7 Vektoren paarweise orthogonal.

Da nach Voraussetzung N(v_{i}) ≠ 0 für i ∈ {1, 2, 3} und ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = 0 für i ≠ j mit i, j ∈ {1, 2, …, 7}, gilt auch N(v_{i}) ≠ 0 für i ∈ {4, …, 7}.

Insgesamt ist also V_{v,w,z} ein regulärer Untervektorraum von V.

Zu zeigen bleibt noch die multiplikative Abgeschlossenheit von V_{v,w,z}. Es gilt:

v_{1} × v_{1} = v × v = 0,
v_{1} × v_{2} = v × w = v_{4},
v_{1} × v_{3} = v × z = −z × v = −v_{6},
v_{1} × v_{4} = v × (v × w) = −(v × w) × v = −N(v)w = −N(v)v_{2},
v_{1} × v_{6} = v × (z × v) = N(v)z = N(v)v_{3}.

Da R_{3} alternierend ist (vgl. 2.2), folgt:

v_{1} × v_{5} = v × (w × z) = −(w × z) × v = −R_{3}(w ⊗ z ⊗ v) =
= −R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) = −v_{7},
v_{1} × v_{7} = v × R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) = v × R_{3}(w ⊗ z ⊗ v)
= v × ((w × z) × v) = N(v)w × z = N(v)v_{5}.

Durch Permutation erhält man v_{i} × v_{j} ∈ V_{v,w,z} für i ∈ {2, 3}, j ∈ {1, 2, …, 7}.

Für v_{4} gilt mit Proposition 2.2:

v_{4} × v_{5} = (v × w) × (w × z) = R_{3}(v ⊗ w ⊗ (w × z))
= −R_{3}((w × z) ⊗ w ⊗ v) = −((w × z) × w) × v
= −N(w)z × v = −N(w)v_{6},
v_{4} × v_{6} = (v × w) × (z × v) = R_{3}(v ⊗ w ⊗ (z × v))
= −R_{3}(v ⊗ (z × v) ⊗ w) = −(v × (z × v)) × w = −N(v)z × w
= N(v)w × z = N(v)v_{5},
v_{4} × v_{7} = (v × w) × ((v × w) × z) = −((v × w) × z) × (v × w) =
= −N(v × w)z = −N(v)N(w)v_{3}

und die restlichen Produkte ergeben sich durch Permutation.

Die vollständige Multiplikationstabelle lautet also für a := N(v), b := N(w), c := N(z) mit a, b, c ∈ F^{×}:

\begin{matrix}× & v & w & z \\ v & 0 & v × w & −z × v \\ w & −v × w & 0 & w × z \\ z & z × v & −w × z & 0 \\ v × w & aw & −bv & R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) \\ w × z & R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & bz & −cw \\ z × v & −az & R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & cv \\ R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & −aw × z & −bz × v & −cv × w \end{matrix} ; \begin{matrix}× & v × w & w × z & z × v & R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) \\ v & −aw & −R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & az & aw × z \\ w & bv & −bz & −R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & bz × v \\ z & −R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & cw & −cv & cv × w \\ v × w & 0 & −bz × v & aw × z & −abz \\ w × z & bz × v & 0 & −cv × w & −bcv \\ z × v & −aw × z & cv × w & 0 & −acw \\ R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) & abz & bcv & acw & 0 \end{matrix}

Damit wurde gezeigt, daß (V_{v,w,z}, ×|_{V_{v,w,z},⟨ ,⟩|_{Vv,w,z×Vv,w,z}}) eine Vektorprodukt-Unter-algebra der Vektorproduktalgebra (V, ×, ⟨ , ⟩) ist.

Satz 4.17. Sei (V, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra über F mit P_{3} ≢ 0. Dann existieren v, w, z ∈ V mit N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, N(z) ≠ 0, ⟨v, w⟩ = 0 und z ⊥ V_{v,w}, so daß V = V_{v,w,z} ist.

Beweis. Nach Lemma 4.15 existieren v, w, z ∈ V mit N(v) ≠ 0, N(w) ≠ 0, N(z) ≠ 0, v ⊥ w, z ⊥ V_{v,w} und P_{3}(v, w, z) ≠ 0.

Also ist auch R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) ≠ 0. Nach Lemma 4.16 ist (V_{v,w,z}, ×, ⟨ , ⟩) eine Vektorproduktalgebra.

Da R_{4} ≡ 0 ist (vgl. Satz 2.4 3.), ist auch P_{4} = N(R_{4}) ≡ 0. Wähle t ∈ V_{v,w,z}^{⊥}, dann gilt:

0 = P_{4}(v, w, z, t) = N (R_{4}(v ⊗ w ⊗ z ⊗ t)) = N (R_{3}(v ⊗ w ⊗ z) × t)
= P_{3}(v, w, z)N(t) − ⟨R_{3}(v ⊗ w ⊗ z), t⟩^{2}
= P_{3}(v, w, z)N(t).

Da P_{3}(v, w, z) ≠ 0 ist, folgt also N(t) = 0, d. h. N |_{V_{v,w,z}}_{⊥}≡ 0, also V_{v,w,z} = {0}. Da nach Lemma 1.6 V = V_{v,w,z} ⊕ V_{v,w,z}^{⊥} ist, folgt also V = V_{v,w,z}.

Die Multiplikationstabellen für Kompositionsalgebren erhält man dann direkt aus den in diesem Kapitel gezeigten Aussagen:

Die Multiplikationstabelle für Quaternionenalgebren (C, ·, N) mit der Standarbasis e, i, j, k und α := N(i), β := N(j) lautet:

\begin{matrix}· & e & i & j & k \\ e & e & i & j & k \\ i & i & −αe & k & −αj \\ j & j & −k & −βe & βi \\ k & k & αj & −βi & −αβe \end{matrix}

und die Multiplikationstabelle für Cayley-Algebren (C, ·, N) mit der Standarbasis e, e_{1}, …, e_{7} und α := N(e_{1}), β := N(e_{2}), γ := N(e_{3}) ist:

\begin{matrix}· & e & e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} \\ e & e & e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} \\ e_{1} & e_{1} & −αe & e_{4} & −e_{6} & −αe_{2} & −e_{7} & αe_{3} & αe_{5} \\ e_{2} & e_{2} & −e_{4} & −βe & e_{5} & βe_{1} & −βe_{3} & −e_{7} & βe_{6} \\ e_{3} & e_{3} & e_{6} & −e_{5} & −γe & −e_{7} & γe_{2} & −γe_{1} & γe_{4} \\ e_{4} & e_{4} & αe_{2} & βe_{1} & e_{7} & −αβe & −βe_{6} & αe_{5} & −αβe_{3} \\ e_{5} & e_{5} & e_{7} & βe_{3} & −γe_{2} & βe_{6} & −βγe & −γe_{4} & −βγe_{1} \\ e_{6} & e_{6} & −αe_{3} & e_{7} & γe_{1} & −αe_{5} & γe_{4} & −αγe & −αγe_{2} \\ e_{7} & e_{7} & −αe_{5} & −βe_{6} & −γe_{4} & αβe_{3} & βγe_{1} & αγe_{2} & −αβγe \end{matrix}

Literaturverzeichnis

[1] F. van der Blij und T. A. Springer, The arithmetics of octaves and the group G_{2}, Indag. Math. 21 (1959), 406–418.

[2] C. Chevalley, The algebraic theory of spinors, Columbia University Press, New York, 1954, auch: Collected Works, vol. 2, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1996.

[3] H.-D. Ebbinghaus et al., Zahlen, Grundwissen Mathematik, vol. 1. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1983.

[4] B. Eckmann, Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon ueber die Komposition quadratischer Formen, Comment. Math. Helv. 15 (1943), 358–366.

[5] A. Hurwitz, Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, Gött. Nachrichten (1898), 309–316.

[6] N. Jacobson, Composition algebras and their automorphims, Circ. Math. Palermo Rend. Serie 2, 7 (1958), 55–80.

[7] A. S. Merkurjev, M.-A. Knus, M. Rost, and J.-P. Tignol, The book of involutions, AMS Coll. Pub., ca. 600 S., in Vorbereitung.

[8] J. Milnor, D. Husemoller, Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 73, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1973.

[9] M. Rost, On the dimension of a composition algebra, Doc. Math. 1 (1996), 209–214.

[10] W. Scharlau, Quadratic and hermitian forms, Grundlehren math. Wiss, vol. 270, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1985.

[11] T. A. Springer, Oktaven, Jordan-Algebren und Ausnahmegruppen, Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1963.