DURCH NORMENGRUPPEN DEFINIERTE BIRATIONALE INVARIANTEN

MARKUS ROST

Zusammenfassung — Es sei Z eine eigentliche Varietät über dem Körper k. Wir zeigen den folgenden Reinheitssatz: ist ein Element der Funktionenkörpers K einer glatten und eigentlichen Varietät X über k in jedem Punkt der Codimension 1 das Produkt von einer Einheit und von Normen aus Restklassenkörpern abgeschlossener Punkte von Z_{K} = Z ×_{k} K, so gilt dies in jedem Punkt von X. Im Fall X = P_{k}^{n} findet man sogar einer solche Darstellung mit einer Einheit aus k^{∗}.

Invariants birationnels definis par des groupes de normes

Résumé — Soit Z une variété propre sur un corps k, et soit X une variété intègre, propre et lisse sur k. Nous établissons le résultat de pureté suivant: un élément du corps des fonctions K de X qui, en tout point de codimension 1 de X, peut s’écrire comme produit d’une unité et de normes de corps résiduels en les points fermés de Z_{K} = Z ×_{k} K, à la même propriété en tout point de X. Lorsque X est l’espace projectif sur k, on peut trouver une telle représentation avec une unité globale.

Birational invariants defined by norm groups

Abstract — Let Z be a complete variety over k. We prove the following purity theorem: an element of the function field K of a proper smooth variety X over k, which for any point of X of codimension 1 can be written as a unit times a product of norms from the residue classfields of closed points of Z_{K}, has the same property with respect to any point of X. If X = P_{k}^{n}, then one may find a global unit with this property.

Version Française Abrégée — Soit Z une variété algébrique propre sur le corps k. Pour toute extension de corps K/k, nous définissons le groupe N_{Z}(K) ⊂ K^{∗} comme le sous-groupe du groupe multiplicatif K^{∗} engendré par les groupes de normes N_{κ(Q)/K}(κ(Q)^{∗}), lorsque Q [de corps résiduel κ(Q)] parcourant les points fermés de la K-variété Z_{K} = Z ×_{Spec k} Spec K.

Voici deux exemples typiques de tels groupes N_{Z}(K). Si φ est une forme quadratique de Pfister [6] définie sur le corps k, et Z est la quadrique projective associée à φ, le groupe N_{Z}(K) coïncide avec le sous-groupe D_{φ}(K) ⊂ K^{∗} formé des éléments non nuls représentés par φ sur K. Par ailleurs, si A est une k-algèbre centrale simple et Z est la k-variété de Brauer-Severi associée, le groupe N_{Z}(K) coïncide avec le sous-groupe Nrd(A_{K}^{∗}) ⊂ K^{∗}, image de la norme réduite sur les éléments inversibles de la K-algèbre simple centrale A_{K} = A ⊗_{k} K.

The text appeared as: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 310 (1990), no. 4, 189–192.

Soit N_{Z}^{0}(K) ⊂ Z le sous-groupe engendré par les degrés [κ(Q):K] des points fermés Q de Z_{K}. Si v est une valuation discrète de rang 1 de K, triviale sur k, et de corps résiduel κ, on a l’inclusion v(N_{Z}(K)) ⊂ N_{Z}^{0}(κ) et v induit un homomorphisme

v̄: K^{∗}/N_{Z}(K) → Z/N_{Z}^{0}(κ).

Pour une k-schéma régulier intègre X de corps des fonctions k(X), la formation du diviseur d’une fonction induit donc une application

d̄: k(X)^{∗}/N_{Z}(k(X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} Z/N_{Z}^{0}(κ(x))

[ici x parcourt l’ensemble X^{(1)} des points de codimension 1 de X, et κ(x) est le corps résiduel en x].

Lorsque X est propre, nous montrons que le groupe Σ_{Z}(X) = Ker(d̄) ne dépend que du corps de fonctions de X. Plus précisément, Σ_{Z}(X) est égal à ∩_{v} Ker(v̄) lorsque v parcourt les valuations discrètes de rang 1 de K qui sont triviales sur k. En outre, on a l’égalité Σ_{Z}(X × P_{k}^{n}) = Σ_{Z}(X). Des cas particuliers de ces énoncés, qui permettent de montrer la non k-rationalité de certaines variétés, avaient été obtenus par Colliot-Thélène, Sansuc, Parimala et Sridharan ([1], [2], [3]).

Ces énoncés sont des conséquences du résultat principal: pour un anneau local R de X, le groupe Σ_{Z}(Spec(R)) est engendré par R^{∗}. Pour établir cela, nous suivons la démonstration de Quillen [5] de la conjecture de Gersten en K-théorie.

1. Einleitung

Es sei Z eine eigentliche Varietät über dem Körper k. Für jede Erweiterung K von k sei N_{Z}(K) ⊂ K^{∗} die von den Normengruppen N_{κ(Q)/K}(κ(Q)^{∗}) erzeugte Untergruppe, wobei Q hier alle abgeschlossenen Punkte von Z_{K} = Z ×_{Spec k} Spec K durchläuft. Als Beispiele für Z betrachte man die durch eine Pfisterform φ [6] definierte projektive Quadrik oder die zu einer einfachen zentralen Algebra A gehörende Brauer-Severi-Varietät; in diesen Fällen ist N_{Z}(K) = D(φ_{K}), die Untergruppe der von φ über K dargestellten Zahlen aus K^{∗} (vgl. hierzu [4]), bzw. es ist N_{Z}(K) = Nrd(A_{K}^{∗}), die Gruppe der reduzierten Normen von Einheiten von A_{K} = A ⊗_{k} K.

Wir definieren allgemein

Σ̃_{Z}(K) = ∩_{v}[N_{Z}(K) · U_{v}], Σ_{Z}(K) = Σ̃_{Z}(K)/N_{Z}(K),

wobei v hier alle diskreten Bewertungen vom Rang 1 von K über k durchläuft und U_{v} ⊂ K^{∗} die Einheitengruppe von v bezeichnet. [Bei endlichen Erweiterungen K von k ist dabei Σ̃_{Z}(K) = K^{∗} zu verstehen]. Für ein reguläres integres Schema X über k mit Funktionenkörper K = k(X) setzen wir

Σ̃_{Z}(X) = ∩_{x}[N_{Z}(K) · U_{x}], Σ_{Z}(X) = Σ̃_{Z}(X)/N_{Z}(K)

wobei x alle Punkte von X der Kodimension 1 durchläuft und U_{x} die Einheitengruppe der zu x gehörenden Bewertung v_{x} bezeichnet.

Ziel dieser Note ist der Beweis der folgenden Tatsachen:

I. Ist L = K(t) eine rationale Erweiterung von K, so ist die kanonische Abbil-

dung Σ_{Z}(K) → Σ_{Z}(L) bijektiv. II. Ist R ein lokaler Ring einer glatten Varietät X über k, so gilt

Σ_{Z}(Spec R) = [N_{Z}(K) · R^{∗}]/N_{Z}(K).

III. Ist X eine eigentliche glatte Varietät über k mit Funktionenkörper K, so ist

die kanonische Abbildung Σ_{Z}(K) → Σ_{Z}(X) bijektiv. Aus I. und III. ergibt sich, daß für eigentliche glatte Varietäten X die Gruppe Σ_{Z}(X) eine stabil-birationale Invariante von X ist. Diese Tatsache wurde in Spezialfällen bereits von anderen Autoren bewiesen und dazu benutzt, die Nicht-Rationalität gewisser Körpererweiterungen K|k nachzuweisen, vgl. [1], [2], [3].

Der Beweis von I. und II. ⇒ III. benutzt Standardargumente der algebraischen Geometrie, im Beweis von II. folgen wir dem Beweis der Gersten-Vermutung in der K-Theorie von Quillen.

2. Die Divisorenabbildung für N_{Z}(K)

Für eine Varietät Y sei Y_{(i)} bzw. Y^{(i)} die Menge der Punkte der Dimension i, bzw. der Codimension i, und κ(P) bezeichne den Restklassenkörper von P ∈ Y. Ist K eine Erweiterung von k, so definieren wir N_{Z}^{0}(K) ⊂ Z als die von allen Graden [κ(Q):L] von abgeschlossenen Punkten Q ∈ (Z_{K})_{(0)} erzeugte Untergruppe. Ist v eine diskrete Bewertung von K über k mit Bewertungsring O_{v} und Restklassenkörper κ(v), so gibt es ein kommutatives Diagramm

⨁_{Q∈(Z_{K})_{(0)}} κ(Q)^{∗} ⟶^{d} ⨁_{Q∈(Z_{κ(v)})_{(0)}} Z

↓^{N}  ↓_{N^{0}}
K^{∗}  ⟶^{v}  Z

wobei d hier durch die zykeltheoretische Divisorenabbildung

⨁_{Q∈(Z_{Ov})_{(1)}} κ(Q)^{∗} ⟶ ⨁_{Q∈(Z_{Ov})_{(0)}} Z

induziert ist und N, N^{0} die gewöhnlichen Normenabbildungen sind:

N((a_{Q})_{Q}) = Π_{Q}N_{κ(Q)/K}(a_{Q}), N^{0}((n_{Q})_{Q}) = Σ_{Q}[κ(Q):κ(v)]n_{Q}.

Wegen N_{Z}(K) = Bild N, N_{Z}^{0}(κ(v)) = Bild N^{0} ist also v(N_{Z}(K)) ⊂ N_{Z}^{0}(κ(v)).

Für ein integres und reguläres Schema Y über k mit Funktionenkörper K induziert somit die Divisorenabbildung d = (v_{y})_{y∈Y^{(1)}} einen Homomorphismus

d_{Z}: N_{Z}(K) → ⨁_{y∈Y^{(1)}} N_{Z}^{0}(κ(y)).

Es gilt nun folgender

Satz. Ist Y = A_{k}^{1} oder Y = Spec R das Spektrum eines lokalen Ringes einer glatten Varietät X über k, so ist d_{Z} surjektiv.

Wir zeigen zunächst, daß dieser Satz die oben aufgestellten Behauptungen impliziert. Zum Beweis von II. sei b ∈ Σ̃(Spec R). Es ist dann v_{y}(b) ∈ N_{Z}^{0}(κ(y)) für alle y ∈ (Spec R)^{(1)} und daher ist y ∈ N_{Z}(K) · R^{∗} nach dem Satz. Zum Beweis von I. überlegt man sich zuerst auf ähnliche Weise Σ̃_{Z}(A_{k}^{1}) = N_{Z}(K) · k^{∗} mit Hilfe des Satzes. Wendet man dies auf die Varietät Z_{K} über K an und betrachtet die Inklusionen [mit L = K(A^{1})]

Σ̃_{Z}(K) ⊂ Σ̃_{Z}(L) ⊂ Σ̃_{Z_{K}} (L) ⊂ Σ̃_{Z_{K}} (A_{K}^{1}) = N_{Z}(L) · K^{∗},

so erhält man, daß Σ_{Z}(K) → Σ_{Z}(L) surjektiv ist; die Injektivität, d. h.

N_{Z}(L) ∩ K^{∗} = N_{Z}(K)

erhält man durch Spezialisierung. Zum Beweis von III. sei v eine diskrete Bewertung von K. Weil X eigentlich ist, dominiert O_{v} einen lokalen Ring R von X, R ⊂ O_{v}. Ferner ist Σ̃(X) ⊂ Σ̃(Spec R) und II. zeigt Σ̃(Spec R) ⊂ Σ̃(Spec O_{v}). Also folgt

Σ̃(X) ⊂ ∩_{v}Σ̃(Spec O_{v}) = Σ̃(K).

3. Beweis des Satzes

Wir verwenden das Normenprinzip. Für jeden Punkt y ∈ Y^{(1)} ist N_{Z}^{0}(κ(y)) ⊂ d_{Z}(N_{Z}(K)) zu zeigen.

Im Fall Y = A_{k}^{1} = Spec k[t], K = k(t) ist die kanonische Liftung von y nach Y_{κ(y)} durch einen Parameter α = t−t_{y}, t_{y} ∈ κ(y) gegeben. Ist nun Q ein abgeschlossener Punkt von Z_{κ(y)} und L = K ⊗_{k} κ(Q), so definiert Q einen Punkt in Z_{K} mit Restklassenkörper L und daher ist N_{L/K}(α) ∈ N_{Z}(K). Andererseits ist N_{L/K}(α) ∈ k[t] ein Polynom, das nur in y verschwindet und zwar von der Ordnung [κ(Q):κ(y)]. Da Q beliebig war, folgt die Behauptung aus der Definition von N_{Z}^{0}(κ(y)).

Im zweiten Fall folgen wir [5] (§7; Lemma 5.12 auf S. 133 + folgende Zeilen). Es sei R = O_{X,x} und W ⊂ X das zu y gehörende abgeschlossene Unterschema. Nach Verkleinern von X kann man annehmen, daß X affin ist und daß W durch einen globalen Parameter definiert ist. Es gibt dann einen in x glatten Morphismus X → U (mit U = A_{k}^{n−1}, n = dim X), so daß W über U endlich ist. Es sei y′ das Bild von y unter der kanonischen (Diagonal-) Abbildung W → X′ = X ×_{U} W; ferner sei π: X′ → X die Projektion. Wegen der Glattheit von X′ über W in den (endlich vielen) Punkten von π^{−1}(x), wird der Zykel y′ lokal um π^{−1}(x) durch einen Parameter α definiert. Mit K′ = K ⊗_{k(U)} κ(y) ist dann N_{K′/K}(α) = π_{∗}(α) lokal um x ein Parameter für y = π_{∗}(y′). Für einen abgeschlossenen Punkt Q von Z_{κ(y)} erhält man nun wie oben mit N_{L/K}(α) (L = K ⊗_{k(U)} κ(Q)) ein Element aus N_{Z}(K) mit Divisor [κ(Q):κ(y)] · y bzgl. Spec R.

Literatur

[1] J.-L. Colliot-Thélène, Formes quadratiques multiplicatives et variétés algébriques, Bull. Soc. math. France, 106, 1978, S. 113–151; deux compléments, ibid., 108, 1980, S. 213–227.

[2] J.-L. Colliot-Thélène und J.-J. Sansuc, Fibrés quadratiques et composantes connexes réelles, Math. Ann., 244, 1979, S. 105–134.

[3] J.-L. Colliot-Thélène, R. Parimala und R. Sridharan, Un théorème de pureté locale, C. R. Acad. Sci. Paris, 309, Reihe I, 1989, S. 857–862.

[4] M. Knebusch, Ein Satz über die Werte von quadratischen Formen über Körpern, Inventiones math., 12, 1971, S. 300–303

[5] D. Quillen, Higher algebraic K-theory, I. Algebraic K-theory, I, Proc. Conf. Seattle 1972, Lecture Notes in Math. Nr. 341, Springer-Verlag, 1973, S. 85–147.

[6] W. Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 270, Springer-Verlag, 1985.

NWF I - Mathematik, Universität Regensburg, D-93040 Regensburg, Germany

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