Wittringhomologie

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat)

der Fakultät für Mathematik der Universität Regensburg

vorgelegt von

Manfred Schmid

aus Moosbach

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

Notationen 4

1 Wittgruppen und Randabbildungen 6 1.1 Die Randabbildung für den Wittring . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Die Wittgruppe als homogener Raum . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Der Funktor F ⟼ W̃ (F) 12 2.1 Die Kategorien (Sch/C_{fg}/k) und (C_{fg}/k) . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Der Funktor F ↦ W̃ (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Der Randhomomorphismus und Bewertungsfortsetzungen … 22 2.4 Die Homotopie-und die Reziprozitätseigenschaft . . . . . . . . 43

3 Der Wittkomplex C_{∗}(X; W̃ , L) 51 3.1 Der allgemeine Randhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Der allgemeine Randhomomorphismus, Unterschemata und Lo-

kalisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Der Komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Die Homologie des Wittkomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Push-forward und Pull-back 59 4.1 Push-forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Funktorielle Eigenschaften von C_{∗}(X; W̃ , L) 65 5.1 Pull-back und Push-forward als Komplexmorphismen . . . . . 65 5.2 Die lange exakte Homologiesequenz . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Die Wittringhomologie affiner und projektiver Räume 81 6.1 Die Homotopieeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Die Wittringhomologie projektiver Räume . . . . . . . . . . . 86

Literatur 99

\underline{1}

Einleitung

Es sei im folgenden k ein Körper der Charakteristik ≠ 2. Es sei X ein integres, normales algebraisches k−Schema, und k(X) sei der Funktionenkörper von X. Für jeden Punkt x ∈ X der Kodimension 1 ist dann der lokale Ring O_{X,x} ein diskreter Bewertungsring und definiert daher auf k(X) eine diskrete Bewertung v_{x} mit Restklassenkörper κ(x). Wählt man nun ein Primelement π_{v_{x}} zur Bewertung v_{x}, so hat man den sogenannten zweiten Randhomomorphismus δ_{2}^{π_{vx}} : W (k(X)) → W (κ(x)) vom Wittring des Funktionenkörpers k(X) in den Wittring des Restklassenkörpers κ(x). Es ist für fast alle 1-kodimensionalen Punkte x ∈ X^{(1)} und alle α ∈ W (k(X)) δ_{2}^{π_{vx}}(α) = 0, und also erhält man eine Randabbildung

d = (δ_{2}^{π_{vx}}) : W (k(X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} W (κ(x)).

Ein wichtiges Anliegen der geometrischen Theorie der quadratischen Formen ist nun die Bestimmung von Ker(d) und Koker(d) für gewisse Schemata X. So haben dies A. Pfister (in [Pf]) und R. Parimala (in [Pa]) für bestimmte algebraische Kurven, z.B. Koniken und elliptische Kurven, getan. Eine kanonische, d.h. unter anderem funktorielle, Beschreibung von Ker(d) und Koker(d) scheitert im allgemeinen aber daran, daß der zweite Randhomomorphismus von der Wahl des Primelements abhängt. Die nachfolgende Arbeit stellt eine Wittringhomologietheorie bereit, mit der dies nun möglich ist. Als Modell dient uns hierfür die von M. Rost in [Ro] entwickelte Homologietheorie für die Milnorsche K−Theorie. Der Startpunkt und das Grundproblem einer solchen Homologietheorie für Wittringe ist es, den Wittring eines Körpers so zu modifizieren, daß dieser eine kanonische Randabbildung zuläßt. Einer Idee von M. Rost folgend, gehen wir hierbei wie folgt vor: Ist F ein Körper, dieser sei endlich erzeugt über dem Grundkörper k, so betrachten wir Isometrieklassen regulärer quadratischer Formen über F mit Werten in dem eindimensionalen Vektorraum ω_{F/k} := ⋀^{dim_{F} Ω_{F/k}^{1}} Ω_{F/k}^{1} über F. Die Grothendieckgruppe der Isometrieklassen dieser quadratischen Formen modulo der Untergruppe hyperbolischer Formen

W̃ (F) := W (F, ω_{F/k})

ersetzt die Wittgruppe W (F) des Körpers F. (Diese Gruppen besitzen im allgemeinen keine Ringstruktur mehr.) Besitzt F eine diskrete Bewertung v, so existiert für diese Gruppen ein kanonisch definierter, vom üblichen zweiten Randhomomorphismus abgeleiteter, Randhomomorphismus

δ_{v} : W̃ (F) → W̃ (κ(x)),

welcher nun nicht mehr von der Wahl eines Primelements abhängt. In den Kapiteln 1 und 2 präzisieren wir obige Definition, konstruieren den Randhomomorphismus δ_{v} und etablieren das funktorielle Verhalten dieser Wittgruppen bei Körpererweiterungen. Es stellt sich heraus, daß man für endliche Körpererweiterungen E/F (jeweils endlich erzeugt über dem Grundkörper k) eine kanonische Korestriktion c_{E/F} : W̃ (E) → W̃ (F) und für separable (nicht notwendig endliche) Erweiterungen E/F eine Restriktion r_{E/F} hat, wobei bei letzterer die Zielgruppe W̃ (E) noch etwas modifiziert werden muß. Der abschließende Teil von Kapitel 2 ist dann dem Studium des Zusammenspiels von Restriktion, Korestriktion und Randhomomorphismus bei Bewertungsfortsetzungen gewidmet. Die hierbei erzielten Ergebnisse bilden die Grundlage für die geometrischen Anwendungen in den späteren Kapiteln. In Kapitel 3 definieren wir (unter Benutzung des Hauptergebnisses in [Et]) das Objekt, welcher der Wittringhomologietheorie zu Grunde liegt: In Verallgemeinerung der am Anfang unserer Ausführungen angesprochenen Konstruktion d : W (k(X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} W (κ(x)), konstruieren wir mit Hilfe

der Daten des Funktors W̃ auf einem beliebigen algebraischen k−Schema X einen Komplex der Form

0 → ⨁_{x∈X_{(n)}} W̃ (κ(x)) ⟶^{d_{X}} ⨁_{x∈X_{(n−1)}} W̃ (κ(x)) ⟶^{d_{X}} ... ⟶^{d_{X}} ⨁_{x∈X_{(0)}} W̃ (κ(x)) → 0,

(n = dim(X)) den sogenannten Wittkomplex C_{∗}(X; W̃) auf X. In den beiden nachfolgenden Kapiteln untersuchen wir das funktorielle Verhalten dieses Komplexes. Dazu etablieren wir nach Vorgabe eines Morphismus X → Y von algebraischen k−Schemata gewisse Abbildungen zwischen den Wittkomplexen auf X und Y. Zum Beispiel hat man für einen Morphismus f : X → Y eine Push-forward-Abbildung

f_{∗} : C_{∗}(X; W̃) → C_{∗}(Y; W̃),

und ist f ein glatter Morphismus von der konstanten relativen Dimension n, so existiert eine Pull-back-Abbildung

f^{∗} : C_{∗}(Y; W̃) → C_{∗+n}(X; W̃ , Ω_{X/Y}^{n});

hierbei ist der Komplex C_{∗}(X; W̃) auf X mit dem Geradenbündel Ω_{X/Y}^{n} ’getwistet.’ Die in Kapitel 2 erzielten Ergebnisse über das Verhalten des Randhomomorphismus bei Bewertungsfortsetzungen benutzen wir in Kapitel 5 um zu entscheiden, unter welchen Bedingungen an den Morphismus f die obigen Abbildungen Komplexmorphismen sind. Als Resultat erhalten wir zum Beispiel für die Homologiegruppen der jeweiligen Komplexe eigentliches Push-forward und glattes Pull-back. Im abschließenden Kapitel beweisen wir eine wichtige Eigenschaft dieser Theorie, nämlich die Homotopieinvarianz der Homologiegruppen des Wittkomplexes. Als Anwendung dieses Satzes erhalten wir eine vollständige Übersicht über die Homologiegruppen des Wittkomplexes aller affinen Räume von beliebiger Dimension über dem Körper k. Mit Hilfe dieses Ergebnisses berechnen wir abschließend die Homologiegruppen des Wittkomplexes projektiver Räume über dem Körper k. Ich möchte mich an dieser Stelle ganz herzlich bei Herrn Dr.M. ROST für die Anregung zu dieser Arbeit und seine freundliche Unterstützung bedanken. Ferner bedanke ich mich bei Herrn A. ETTNER für zahlreiche hilfreiche Gespräche. Ich bedanke mich bei Prof.Dr.G. TAMME, Dr.R. HÜBL, Dr.Th. MOSER und M. BOCKES für viele Anregungen und nützliche Hinweise zu Detailfragen.

Notationen und Konventionen:

Ist A ein kommutativer Ring mit 1 und H ein freier A−Modul vom Rang 1, so bezeichnen wir mit H^{0} die Menge der Basiselemente von H. Für eine A−Algebra B derart, daß Ω_{B/A}^{1} ein freier B− Modul von endlichem Rang ist, bezeichnen wir die maximale äußere Potenz von Ω_{B/A}^{1} immer mit ω_{B/A}.

Ist E ein Körper der Charakteristik p > 0, so bezeichnen wir mit E^{p} das Bild von E unter dem absoluten Frobenius von E.

Ist F ein Körper der Charakteristik ≠ 2 und ϕ eine reguläre quadratische Form über F, so bezeichnen wir mit ⟨ϕ⟩ das von ϕ repräsentierte Element im Wittring W (F) von F. Ist E/F eine endliche Körpererweiterung und s : E → F eine von Null verschiedene F −lineare Abbildung, so bezeichnen wir den Scharlau- Transfer zum Funktional s mit s_{∗} : W (E) → W (F).

Alle in dieser Arbeit auftretenden Körper haben, so weit nichts anderes gesagt wird, eine von 2 verschiedene Charakteristik.

Mit (E/F)_{tr} bezeichnen wir den Transzendenzgrad einer Körpererweiterung E/F.

Unter einer Bewertung eines Körpers F verstehen wir immer eine diskrete Bewertung vom Rang 1. Ist v eine solche Bewertung, so bezeichnen wir mit O_{v} den Bewertungsring von v; mit 𝔪_{v} bezeichnen wir sein maximales Ideal. π_{v} sei immer ein Primelement von v und κ(v) sei der Restklassenkörper von O_{v}. Arbeiten wir über einem fixierten Grundkörper k, und ist F endlich erzeugt über k, so sei eine Bewertung v von F (soweit nichts ausdrücklich anderes gesagt wird) zusätzlich immer von geometrischem Typ über k; d.h. O_{v} ist die Lokalisierung einer endlich erzeugten, integren k−Algebra in einem regulären Punkt der Kodimension 1.

Ist X ein Schema und p ≥ 0, so bezeichnen wir mit X_{(p)} die Menge aller Punkte x ∈ X der Dimension dim(\overline{\{x\}}) = p. Entsprechend bezeichnen wir mit X^{(d)} die Menge aller Punkte x ∈ X der Kodimension codim(\overline{\{x\}}, X) = d.

Ist L ein Geradenbündel auf X, so sei für einen Punkt x ∈ X L(x) der eindimensionale κ(x)−Vektorraum L_{x} ⊗_{O_{X,x}} κ(x). Ist f : X → Y ein Morphismus von Schemata und y ∈ Y, so bezeichnen wir mit X_{κ(y)} oder X_{y} die Faser von f in y, d.h. X_{κ(y)} = X_{y} ist das κ(y)−Schema X ×_{Y} Spec(κ(y)).

Abschließend erinnern wir an dieser Stelle an die folgende Definition: Eine endlich erzeugte Körpererweiterung E/F heißt separabel, falls E eine separierende Transzendenzbasis B über F besitzt, d.h. die Erweiterung E/F (B) ist separabel algebraisch und F (B)/F ist rein transzendent.

In der Arbeit machen wir freien Gebrauch von grundlegenden Tatsachen aus der kommutativen Algebra, der Theorie der Kähler-Differentiale (vgl. [Ku]), der Theorie der Schemata (vgl. EGA, [Ha]) und der quadratischen Formentheorie (vgl. [Sa]).

1 Wittgruppen und Randabbildungen

1.1 Die Randabbildung für den Wittring

(1.1.1) Es sei X ein integres algebraisches k−Schema und k(X) der Funktionenkörper von X. Wie in der Einleitung dieser Arbeit bereits angesprochen, ist ein Ziel dieser Arbeit eine kanonische Randabbildung

d : W̃ (k(X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} W̃ (κ(x))

zu etablieren; hierbei bezeichne W̃ (k(X)) und W̃ (κ(x)) die Wittgruppen der regulären quadratischen Formen über k(X) bzw. κ(x) mit Werten in den eindimensionalen Vektorräumen ω_{k(X)/k} bzw. ω_{κ(x)/k}.

Um zu sehen, mit welchen Daten die Zuordnung F ↦ W̃ (F) ausgestattet werden muß, um dies zu erreichen, rekapitulieren wir noch einmal im Detail die Konstruktion einer solchen Randabbildung für den üblichen Wittring. Ist X regulär in der Kodimension 1, so definiert jeder Punkt x ∈ X^{(1)} eine diskrete Bewertung v_{x} auf k(X) mit Restklassenkörper κ(x).

Allgemein hat man nun für den Wittring W (F) eines diskret bewerteten Körpers F mit (nicht notwendig geometrischer) Bewertung v nach Wahl eines Primelements π_{v} einen Gruppenhomomorphismus

δ_{2}^{π_{v}} : W (F) ⟶ W (κ(v))

⟨a⟩ ↦ \{ \begin{matrix}⟨\overline{\frac{a}{π_{v}^{v(a)}}} ⟩ , & falls & v(a) ≡ 1 mod 2 \\ 0, & falls & v(a) ≡ 0 mod 2 \end{matrix}

(a ∈ F^{∗}), den sogenannten 2. Randhomomorphismus zum Primelement π_{v}.

δ_{2}^{π_{v}} hängt aber offenbar von der Wahl des Primelements π_{v} ab.

(1.1.2) Bemerkung: Der Homomorphismus s_{v}^{π_{v}}(⟨a⟩) := δ_{2}^{π_{v}}(⟨π_{v} · a⟩) : W (F) → W (κ(v)) hängt hingegen nicht von der Wahl des Primelements ab und wird auch mit δ_{1}^{v} bezeichnet; es ist der sogenannte 1. Randhomomorphismus zur Bewertung v.

Wählen wir also zu jedem x ∈ X^{(1)} ein Primelement π_{v_{x}} der zugehörigen Bewertung auf k(X), so erhalten wir eine Randabbildung

d := (δ_{2}^{π_{vx}}) : W (k(X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} W (κ(x)).

(Beachte: Die entsprechende Konstruktion für den ersten Randhomomorphismus (vgl. (1.1.2)) führt ins direkte Produkt der W (κ(x)).) Ist nun X nicht mehr regulär in der Kodimension 1, so hat man zur Definition von d die Normalisierung π : X̃ → X zu betrachten. Ist x ∈ X^{(1)}, so definiert jeder Punkt y ∈ π^{−1}(x) eine diskrete Bewertung v_{y} auf k(X) mit Restklassenkörper κ(y). Nun ist aber i.a. κ(y) eine endliche Erweiterung von κ(x). Um also einen Homomorphismus von W (k(X)) → W (κ(x)) zu erhalten, ist es also von nöten δ_{2}^{π_{vy}} mit einer Korestriktion c_{κ(y)/κ(x)} : W (κ(y)) → W (κ(x)) zu komponieren. Für den Wittring existiert eine solche Korestriktion i.a. aber nur nach Vorgabe eines von Null verschiedenen κ(x)− linearen Funktionals s : κ(y) → κ(x). Die Wahl eines solchen Funktionals ist a priori nicht kanonisch gegeben.

Die Definition einer analogen, aber kanonischen Randabbildung

d : W̃ (k(X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} W̃ (κ(x))

erfordert also die Zuordnung F ↦ W̃ (F) für bewertete Körper mit einem kanonischen Randhomomorphismus auszustatten und für endliche Körpererweiterungen E/F eine kanonische Korestriktion c_{E/F} : W̃ (E) → W̃ (F) zu konstruieren.

(1.1.3) Bemerkung: Ist E/F eine endliche Körpererweiterung und bilden wir den separablen Abschluß F_{s} von F in E, so ist die kanonische Restriktionsabbildung r_{E/F_{s}} : W (F_{s}) → W (E) ein Isomorphismus. Mit Hilfe des Scharlau-Transfers zum Spurfunktional (tr_{F_{s}/F})_{∗} : W (F_{s}) → W (F) erhält man dann eine Korestriktion c_{E/F} : W (E) → W (F) durch die Vorschrift

c_{E/F} := (tr_{F_{s}/F})_{∗} ∘ r_{E/F_{s}}^{−1}.

In [Mo], 3.4.1 ist gezeigt, daß diese Korestriktion kontravariant funktoriell für endliche Körpererweiterungen ist. Dieser Vorgehensweise bedienen wir uns auch in Kapitel 2 bei der Konstruktion der Korestriktion für F ↦ W̃ (F).

(1.1.4) Ist ⟨Φ · h⟩ ∈ W̃ (k(X)) mit ⟨Φ⟩ ∈ W (k(X)) und h ∈ ω_{k(X)/k}^{0}, so ist (⟨Φ⟩ , h) ∈ W (k(X)) × ω_{k(X)/k}^{0} und offenbar identifiziert sich dann W̃ (k(X)) mit dem Quotientenraum von W (k(X))×ω_{k(X)/k}^{0} modulo der Diagonalaktion von F^{∗}.

Im nächsten Abschnitt stellen wir einige allgemeine Tatsachen über solche Quotientenräume zusammen, die uns schließlich einen schlagkräftigen Kalkül für quadratische Formen mit Werten in einem eindimensionalen Vektorraum liefern. Hiermit ist die Realisierung unserer oben gesteckten Ziele dann in Kapitel 2 möglich.

1.2 Die Wittgruppe als homogener Raum

Wir beginnen zunächst ganz allgemein: Sei G eine abelsche Gruppe. Wir betrachten die Kategorie der G−Mengen mit den G−Abbildungen als Morphismen.

Das für uns wichtigste Beispiel einer solchen Kategorie ist die Kategorie der F^{∗}−Mengen für einen Körper F. So sind der Wittring W (F) und H − {0} für einen F −Vektorraum H Objekte dieser Kategorie.

Wir definieren im Hinblick auf (1.1.4):

(1.2.1) Definition: Seien A und B G−Mengen. Dann sei A ⊗_{G} B := A × B/ ∼, mit (a, b) ∼ (a′, b′) :⟺ Es existiert ein Element g ∈ G mit (a′, b′) = (ga, g^{−1}b) für a, a′ ∈ A und b, b′ ∈ B.

Bezeichnung: Die durch (a, b) in A ⊗_{G} B repräsentierte Äquivalenzklasse bezeichnen wir mit a ⊗ b.

Ist A eine G−Menge und f : G → G′ ein Homomorphismus von abelschen Gruppen, so ist A ⊗_{G} G′ vermöge g′ · (a ⊗ h′) := a ⊗ g′h′ eine G′−Menge.

Alle für uns nötigen Tatsachen über diese Bildungen sind in den nachfolgenden zwei Lemmata zusammengefaßt.

(1.2.2) Lemma:

1. A ⊗_{G} B wird durch g(a ⊗ b) := ga ⊗ b = a ⊗ gb für g ∈ G, a ∈ A und b ∈ B zu einer G−Menge.

2. (universelle Eigenschaft)

Sind A, B und C G−Mengen und ist f : A×B → C eine Abbildung mit der Eigenschaft g · f(a, b) = f(ga, b) = f(a, gb) für alle g ∈ G, a ∈ A und b ∈ B, so existiert genau eine G−Abbildung h, so daß

� �  _{kan} �  ^{f} �  _{h}  C A ⊗_{G} B A × B a ⊗ b (a, b)

kommutiert.

3. Man hat einen kanonischen Isomorphismus von G−Mengen

G ⊗_{G} A ≅ A.

4. Sind G, H abelsche Gruppen, die auf C verträglich operieren (d.h. C ist G− und H−Menge mit g(hc) = h(gc) für alle h ∈ H, g ∈ G, c ∈ C) und ist A eine G−Menge und B eine H−Menge, so hat man einen kanonischen Isomorphismus von G− und H−Mengen

A ⊗_{G} (C ⊗_{H} B) ≅ (A ⊗_{G} C) ⊗_{H} B.

(1.2.3) Lemma: (Zusammenhang mit Tensorprodukten)

1. Es sei E/F eine Körpererweiterung und H ein F −Vektorraum der Dimension 1. Dann hat man einen kanonischen Isomorphismus von E^{∗}−Mengen

(E ⊗_{F} H)^{0} ≅ E^{∗} ⊗_{F^{∗}} H^{0}.

2. Es sei O ein kommutativer Ring mit 1, F ein Körper, O → F ein Ringhomomorphismus und H ein freier O− Modul vom Rang 1. Dann hat man einen kanonischen Isomorphismus von F^{∗}−Mengen

(H ⊗_{O} F)^{0} ≅ H^{0} ⊗_{O^{∗}} F^{∗}.

Beachte: H^{0} ist in kanonischer Weise eine O^{∗}−Menge.

(1.2.4) Definition: (Wittgruppe mit Werten in H) Es sei F ein Körper und H ein eindimensionaler F −Vektorraum. Dann sei W (F, H) := W (F) ⊗_{F^{∗}} H^{0}.

(1.2.5) Notiz:

1. W (F, H) besitzt eine Gruppenstruktur in der folgenden Weise:

⟨ϕ⟩ ⊗ h + ⟨ψ⟩ ⊗ h := (⟨ϕ⟩ + ⟨ψ⟩) ⊗ h;

dabei ist h ∈ H^{0} und ⟨ψ⟩ , ⟨ϕ⟩ ∈ W (F).

2. W (F, H) ist ein freier W (F)−Modul vom Rang 1.

W (F, H) heißt die Wittgruppe von F mit Werten in H.

Bemerkung: Ist ⟨Φ⟩ ⊗ h ∈ W (F, H), so ist Φ · h eine reguläre quadratische Form über F mit Werten in H. Daher identifiziert sich W (F, H) mit der üblichen Grothendieckgruppe der regulären quadratischen Formen über F mit Werten in H modulo der Untergruppe der hyperbolischen Formen mit Werten in H. Unser Zugang ermöglicht jedoch eine durchsichtigere Darstellung der funktoriellen Eigenschaften dieser Gruppen (vgl. 2.1).

Wir haben nun einen kanonischen Randhomomorphismus in der folgenden Weise:

(1.2.6) Definition: Es sei F ein Körper mit Bewertung v (nicht notwendig geometrisch.) Dann setze

� �  δ_{2}^{π_{v}}(⟨a⟩) ⊗ \overline{π}_{v}^{∗}; ⟨a⟩  W (κ(v), (𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2})^{∗}) W (F) \overline{δ}_{v} :

dabei sei a ∈ F^{∗}, π_{v} ein Primelement von v und \overline{π}_{v}^{∗} bezeichne die zu \overline{π}_{v} duale Basis des eindimensionalen κ(v)−Vektorraums 𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2}.

Es gilt:

(1.2.7) Lemma: \overline{δ}_{v} hängt nicht von der Wahl des Primelements ab.

(1.2.8) Ist F ein Körper, so operiert aufgrund der Wittrelation ⟨b^{2} · a⟩ = ⟨a⟩ für alle a, b ∈ F^{∗} die Gruppe der Quadratklassen Q(F) := F^{∗}/F^{∗}^{2} auf W (F).

Ist H ein 1-dimensionaler F −Vektorraum, so ist auch

Q(H) := H^{0} ⊗_{F^{∗}} Q(F)

eine Q(F)−Menge, und man stellt fest, daß Q(F) auf Q(H) frei und transitiv operiert. Q(H) ist also ein sogenannter Q(F)−Torseur oder Q(F)−Modul. Wir definieren daher allgemein:

(1.2.9) Definition: Es sei F ein Körper. Eine Q(F)−Menge A auf der Q(F) frei und transitiv operiert heißt Q(F)−Modul.

(1.2.10) Notiz: Nach (1.2.2) 3) ist W (F, H) = W (F) ⊗_{Q(F)} Q(H).

Für manche Fälle (z.B. bei der Konstruktion der Korestriktion in (DW̃ 2) im nächsten Kapitel) ist diese Sichtweise von W (F, H) nötig.

Es steht nun alles bereit um unsere, bereits in der Einleitung erwähnte, Zuordnung F ↦ W̃ (F) exakt zu definieren und deren funktorielle Eigenschaften zu etablieren. Dies geschieht jetzt in Kapitel 2.

2 Der Funktor F ⟼ W̃ (F)

2.1 Die Kategorien (Sch/C_{fg}/k) und (C_{fg}/k)

Wir legen zunächst die Kategorien fest, in denen wir uns nun bewegen.

Es sei k ein vollkommener Körper der Charakteristik ≠ 2.

(2.1.1) Die Kategorie (C_{fg}/k) der ’Körper’ über k sei folgendermaßen erklärt: Die Objekte der Kategorie (C_{fg}/k) sind endlich erzeugte Körpererweiterungen F von k. Ein Morphismus ϕ : F → E in (C_{fg}/k) ist ein k−Homomorphismus von Körpererweiterungen von k.

(2.1.2) Wir definieren nun die Kategorie (Sch/C_{fg}/k). Die Objekte von (Sch/C_{fg}/k) sind Schemata X, zusammen mit einem Strukturmorphismus ϕ : X → Spec(F), wobei F ∈ (C_{fg}/k) und ϕ von endlichem Typ ist. Morphismen in (Sch/C_{fg}/k) sind kommutative Diagramme

�  ^{f} �  _{ϕ} �  _{ψ}  Y X  Spec(F),

dabei ist F ∈ (C_{fg}/k) und ϕ, ψ sind von endlichem Typ.

2.2 Der Funktor F ↦ W̃ (F)

Wir definieren nun den Funktor, den wir im folgenden studieren wollen.

Für ein F ∈ (C_{fg}/k) ist der F −Vektorraum Ω_{F/k}^{1} endlichdimensional und daher haben wir zu jedem F ∈ (C_{fg}/k) den eindimensionalen F −Vektorraum ω_{F/k}.

2. Der Funktor F ⟼ W̃ (F)  13

(2.2.1) Definition: Es sei für F ∈ (C_{fg}/k) W̃ (F) := W (F, ω_{F/k}) (vgl. (1.2.5)), und ist zusätzlich H ein eindimensionaler F −Vektorraum, so sei

W̃ (F, H) := (W (F) ⊗_{F^{∗}} ω_{F/k}^{0}) ⊗_{F^{∗}} H^{0}.

Bemerkung: W̃ (F) interpretiert sich geometrisch als die Wittgruppe der regulären quadratischen Formen über F mit Werten in dem eindimensionalen F −Vektorraum ω_{F/k}.

Man hat somit eine Zuordnung F ↦ W̃ (F) von der Kategorie (C_{fg}/k) in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Wir etablieren nun das funktorielle Verhalten von W̃.

(2.2.2) Es sei ϕ : F → E ein separabler Morphismus in (C_{fg}/k). Aufgrund der Separabilität von E/F hat man eine exakte Sequenz von endlichdimensionalen E−Vektorräumen

0 → Ω_{F/k}^{1} ⊗_{F} E → Ω_{E/k}^{1} → Ω_{E/F}^{1} → 0.

Diese induziert durch Übergang zu den maximalen äußeren Potenzen einen kanonischen Isomorphismus von eindimensionalen E−Vektorräumen

ω_{F/k} ⊗_{F} E ⊗_{E} ω_{E/F} ⟶^{≅} ω_{E/k}.

Ist also d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} eine F −Basis des 1−dimensionalen Vektorraums ω_{F/k}, und ist d_{E/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t_{r} eine E−Basis von ω_{E/F}, so ist folglich

d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∧ d_{E/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}t_{r}

eine E−Basis von ω_{E/k}. Ist nun d_{E/F} t′_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t′_{r} eine weitere E−Basis von ω_{E/F}, so gibt es ein e ∈ E^{∗} mit

d_{E/F} t′_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t′_{r} = e · d_{E/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t_{r}

und also gilt

14  2.2. Der Funktor F ↦ W̃ (F)

e · d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∧ d_{E/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}t_{r} = d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∧ d_{E/k}t′_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}t′_{r}.

Diese Vorüberlegung liefert uns einen wohldefinierten Morphismus

Q(ϕ_{∗}) : Q(ω_{F/k}) → Q(ω_{E/k}) ⊗_{Q(E)} Q(ω_{E/F})

von Moduln über Q(F) → Q(E). Weiter hat man einen kanonischen Pfeil i : Q(H) → Q(H ⊗_{F} E) von Moduln über Q(F) → Q(E). Wir erhalten somit einen Gruppenhomomorphismus

ϕ_{∗} : W̃ (F, H) ⟶ W̃ (E, ω_{E/F} ⊗_{F} H)

durch

ϕ_{∗} := r_{E/F} ⊗ Q(ϕ_{∗}) ⊗ i,

wobei r_{E/F} die natürliche Restriktionsabbildung der Wittringe bezeichnet.

Bezeichnung: Wir bezeichnen ϕ_{∗} auch oft mit r_{E/F} und nennen diese Abbildung Restriktion.

Beachte: Ist ϕ : F → E endlich, separabel, so erhält man eine Restriktion ϕ_{∗} : W̃ (F, H) → W̃ (E, H ⊗_{F} E), da Ω_{E/F}^{1} = 0 ist. Für beliebige Körpererweiterungen hat man dagegen keine kanonische Restriktionsabbildung.

Nochmals zusammengefaßt haben wir also:

(DW̃ 1) Zu jedem separablen Morphismus ϕ : F → E in (C_{fg}/k) und jedem eindimensionalen F −Vektorraum H gibt es einen Gruppenhomomorphismus

ϕ_{∗} = r_{E/F} : W̃ (F, H) → W̃ (E, ω_{E/F} ⊗_{F} H).

Die Restriktion besitzt die folgende Funktorialitätseigenschaft.

(2.2.3) Proposition: Es seien ϕ : F → E und ψ : E → L separable Morphismen in (C_{fg}/k). Dann gilt:

(ψ ∘ ϕ)_{∗} = ψ_{∗} ∘ ϕ_{∗}

nach kanonischer Identifizierung der Zielgruppen.

Beweis: Definitionsgemäß ist (ψ ∘ ϕ)_{∗} durch die Abbildung

r_{L/F} ⊗ Q((ψ ∘ ϕ)_{∗}) ⊗ i

gegeben. Nun ist aber r_{L/F} = r_{L/E} ∘ r_{E/F} auf Wittringniveau und i faktorisiert sich offenbar in der Form

� � �  _{i}  Q(H ⊗_{F} L). H^{0} ⊗_{F^{∗}} Q(E) Q(H) = H^{0} ⊗_{F^{∗}} Q(F)

Wegen der Separabilität von L/E hat man die exakte Sequenz

0 → Ω_{E/F}^{1} ⊗_{E} L → Ω_{L/F}^{1} → Ω_{L/E}^{1} → 0.

Diese induziert einen kanonischen L−Vektorraumisomorphismus

ω_{L/F} ⟶^{≅} ω_{E/F} ⊗_{E} L ⊗_{L} ω_{L/E}.

Mit diesem erhält man für Q((ψ ∘ ϕ)_{∗}) eine Faktorisierung

� � �  _{Q((ψ∘ϕ)_{∗})}  Q(ω_{L/k}) ⊗ Q(ω_{L/E}) ⊗ Q(ω_{E/F}). Q(ω_{E/k}) ⊗ Q(ω_{E/F}) Q(ω_{F/k})

Ersichtlich liefert dies die behauptete Formel. □

(2.2.4) Es sei nun ϕ : F → E ein endlicher Morphismus in (C_{fg}/k) und H ein eindimensionaler F −Vektorraum. Wir konstruieren eine Korestriktion

ϕ^{∗} = c_{E/F} : W̃ (E, H ⊗_{F} E) → W̃ (F, H).

Für die Wittringe von E und F hat man gemäß (1.1.3) eine Korestriktion c_{E/F} : W (E) → W (F). Ist E/F endlich, separabel, so ist ω_{E/k} = ω_{F/k} ⊗_{F} E und nach (1.2.2) und (1.2.3) ist dann W̃ (E, H ⊗_{F} E) = W (E) ⊗_{F^{∗}} ω_{F/k}^{0} ⊗_{F^{∗}} H^{0} und in diesem Fall definieren wir ϕ^{∗} durch das kommutative Diagramm

�  ^{ϕ^{∗}} �_{kan} �  _{kan} �  _{(tr_{E/F})_{∗}⊗id}W (F) ⊗_{F^{∗}} ω_{F/k}^{0} ⊗_{F^{∗}} H^{0}. W (E) ⊗_{F^{∗}} ω_{F/k}^{0} ⊗_{F^{∗}} H^{0}  W̃ (F, H) W̃ (E, H ⊗_{F} E)

Wir konstruieren nun eine Korestriktion für endliche, total inseparable Erweiterungen. Es sei also ϕ : F → E endlich, total inseparabel, und es gelte zunächst E^{p} ⊆ F. (Es ist dann E = F ( ^{p} \sqrt{a_{1}}, ..., ^{p} \sqrt{a_{n}}) mit a_{1}, ..., a_{n} ∈ F^{∗}.)

Aus Dimensionsgründen sind die beiden nachfolgenden ersten fundamentalen exakten Sequenzen auch links exakt, nämlich

0 → Ω_{E^{p}/F^{p}}^{1} ⊗_{E^{p}} F → Ω_{F/F^{p}}^{1} → Ω_{F/E^{p}}^{1} → 0

und

0 → Ω_{F/E^{p}}^{1} ⊗_{F} E → Ω_{E/E^{p}}^{1} → Ω_{E/F}^{1} → 0;

hieraus erhält man die exakte Sequenz

(∗) 0 → Ω_{E^{p}/F^{p}}^{1} ⊗_{E^{p}} E → Ω_{F/F^{p}}^{1} ⊗_{F} E → Ω_{E/E^{p}}^{1} → Ω_{E/F}^{1} → 0.

Der absolute Frobenius F r : E → E induziert einen Isomorphismus von Q(E)−Moduln

Q(ω_{E/F}) → Q(ω_{E^{p}/F^{p}} ⊗_{E^{p}} E).

(Man beachte: F r induziert keinen Isomorphismus der E−Vektorräume ω_{E/F} und ω_{E^{p}/F^{p}} ⊗_{E^{p}} E.) Berücksichtigt man, daß in kanonischer Weise Ω_{F/k}^{1} = Ω_{F/F^{p}}^{1} und Ω_{E/k}^{1} = Ω_{E/E^{p}}^{1} gilt, so erhält man aus (∗) einen kanonischen Isomorphismus von Q(E)−Moduln

Q(F r, ϕ) : Q(ω_{F/k} ⊗_{F} E) ⟶^{≅} Q(ω_{E/k}).

c_{E/F} : W̃ (E) → W̃ (F) erhält man dann durch das kommutative Diagramm

� �  ^{c_{E/F}} �  _{id⊗Q(F r,ϕ)^{−1}} � �  _{r_{E/F}^{−1} ⊗id} W (E) ⊗_{Q(F)} Q(ω_{F/k}) W (E) ⊗_{Q(E)} Q(ω_{F/k} ⊗_{F} E). W (E) ⊗_{Q(E)} Q(ω_{E/k})  W̃ (F) W̃ (E)

(Man beachte wieder (1.2.10), (1.2.2) und (1.2.3).)

Man hat also einen Isomorphismus c_{E/F} : W̃ (E) → W̃ (F) und in ersichtlicher Weise dann auch einen, ebenso bezeichneten, Isomorphismus nach Tensorieren mit einem eindimensionalen Vektorraum H über F :

c_{E/F} : W̃ (E, H ⊗_{F} E) ⟶^{≅} W̃ (F, H).

Ist nun E/F endlich, total inseparabel und gilt nicht notwendig E^{p} ⊆ F, so existiert wenigstens eine Filtrierung F := F_{0} ⊆ F_{1} ⊆ ... ⊆ F_{k} =: E, so daß F_{i}/F_{i−1} für i = 1, ..., k jeweils endliche, total inseparable Körpererweiterungen sind, für die jeweils F_{i}^{p} ⊆ F_{i−1} gilt (i = 1, ..., k). Es sei dann c_{E/F} := c_{F_{1}/F_{0}} ∘ ... ∘ c_{F_{k}/F_{k−1}}; hierbei sei c_{F_{i}/F_{i−1}} die gerade definierte Korestriktion. Mittels vollständiger Induktion nach dem Grad der Körpererweiterung überlegt man sich leicht, daß die so definierte Korestriktion für endliche, total inseparable Erweiterungen unabhängig von der Wahl einer solchen Filtrierung ist.

Allgemein für eine beliebige endliche Erweiterung ϕ : F → E in (C_{fg}/k) bilden wir den separablen Abschluß F_{s} von F in E und erklären

ϕ^{∗} : W̃ (E, H ⊗_{F} E) → W̃ (F, H)

als die Komposition der Korestriktion für E/F_{s} und F_{s}/F.

Wir haben also:

(DW̃ 2) Ist ϕ : F → E ein endlicher Morphismus in (C_{fg}/k) und H ein eindimensionaler F −Vektorraum, so hat man einen Gruppenhomomorphismus

ϕ^{∗} = c_{E/F} : W̃ (E, H ⊗_{F} E) → W̃ (F, H),

die sogenannte Korestriktion.

Diese besitzt die folgende Funktorialitätseigenschaft.

(2.2.5) Proposition: Es seien ϕ : F → E und ψ : E → L endliche Morphismen in (C_{fg}/k). Dann gilt: (ψ ∘ ϕ)^{∗} = ϕ^{∗} ∘ ψ^{∗}.

Beweis: In [Mo], 3.4.1 ist die in Frage stehende Funktorialitätsaussage für den Wittring bewiesen. Daher genügt es nach Definition der Korestriktion die Funktorialitätsaussage für die entsprechenden Abbildungen der Q−Moduln zu beweisen. Dies geschieht schrittweise:

1. Schritt: Es seien ϕ, ψ endlich, separabel. Hier ist die behauptete Funktorialitätsaussage offensichtlich.

2. Schritt: Es seien ϕ, ψ endlich, total inseparabel. (ψ ∘ ϕ)^{∗} = ϕ^{∗} ∘ ψ^{∗} liest man sofort aus der Definition der Korestriktion für endliche, total inseparable Erweiterungen ab (vgl. (2.2.4)).

3. Schritt: Es sei ϕ : F → E endlich, total inseparabel und ψ : E → L endlich, separabel. Wegen Schritt 2 dürfen wir [E : F] = p annehmen. Es sei weiterhin F_{s} der separable Abschluß von F in L. Wir haben also die folgende Situation:

� _{sep} � _{t.ins} �  _{t.ins} �  _{sep} �  _{ψ∘ϕ}F.  F_{s} L E

Es ist E = F ( ^{p} \sqrt{a}) mit a ∈ F^{∗}, und dann ist aufgrund der Separabilität von F_{s}/F

F_{s} ⊗_{F} E = F_{s}( ^{p} \sqrt{a}) = L

und daher hat man die nachfolgenden kanonischen Identifizierungen

Ω_{E/F}^{1} ⊗_{E} L = Ω_{E/F}^{1} ⊗_{E} (F_{s} ⊗_{F} E) = Ω_{L/F_{s}}^{1}

und alsdann ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen (vgl. Definition Korestriktion)

� � � � � � � � � � � � � �  0. Ω_{E/F}^{1} ⊗_{E} L Ω_{E/k}^{1} ⊗_{E} L Ω_{F/k}^{1} ⊗_{F} L Ω_{E^{p}/F^{p}}^{1} ⊗_{E^{p}} L 0  0 Ω_{L/F_{s}}^{1} Ω_{L/k}^{1} Ω_{F_{s}/k}^{1} ⊗_{F_{s}} L Ω_{L^{p}/F_{s}^{p}}^{1} ⊗_{L^{p}} L 0

Hieraus folgt durch Übergang zu den Q−Moduln die behauptete Funktorialität.

4. Schritt: Es seien ϕ : F → E und ψ : E → L beliebige endliche Erweiterungen in (C_{fg}/k). Es sei F_{s} der separable Abschluß von F in E, E_{s} der separable Abschluß von E in L und H_{s} der separable Abschluß von F_{s} in E_{s}. Dann ist H_{s} der separable Abschluß von F in L. Zusammengefaßt haben wir also die Situation

�  _{t.ins} �_{t.ins} � _{sep} �  _{sep} �  _{sep} �  _{t.ins}E F. F_{s} E_{s} L H_{s}

Nun ist

c_{L/F} =^{Def.} c_{H_{s}/F} ∘ c_{L/H_{s}}
= (c_{F_{s}/F} ∘ c_{H_{s}/F_{s}}) ∘ (c_{E_{s}/H_{s}} ∘ c_{L/E_{s}}),

letzteres nach Schritt 1 und 2. Jetzt ist aber nach Schritt 3

c_{H_{s}/F_{s}} ∘ c_{E_{s}/H_{s}} =^{Def.} c_{E_{s}/F_{s}}
= c_{E/F_{s}} ∘ c_{E_{s}/E}

und damit erhält man abschließend

c_{L/F} = \underbrace{c_{F_{s}/F} ∘ c_{E/F_{s}}}_{=c_{E/F}} ∘ \underbrace{c_{E_{s}/E} ∘ c_{L/E_{s}}}_{=c_{L/E}} .

Damit ist die Proposition bewiesen. □

(2.2.6) Wir konstruieren nun den Randhomomorphismus zu einem bewerteten Körper für den Funktor W̃. Dieser hängt im Gegensatz zum analogen Homomorphismus des Funktors Wittring nicht mehr von der Wahl eines Primelements ab. Wir geben hier eine Konstruktion von Andreas Ettner wieder (vgl. [Et]).

Es sei also F ∈ (C_{fg}/k) ein bewerteter Körper mit Bewertung v und H ein freier O_{v}−Modul vom Rang 1. Wir stellen zunächst fest:

(2.2.7) Lemma: Ω_{O_{v}/k}^{1} ist ein freier O_{v}−Modul vom Rang (F/k)_{tr}; und zwar gilt genauer: Ist π_{v} ein Primelement der Bewertung v und ist d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1}, ..., d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} eine κ(v)−Basis von Ω_{κ(v)/k}^{1}, so sind die Elemente d_{O_{v}/k}π_{v}, d_{O_{v}/k}s_{1}, ..., d_{O_{v}/k}s_{n} eine O_{v}−Basis von Ω_{O_{v}/k}^{1}; dabei sind s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} Liftungen von \overline{s}_{1}, ..., \overline{s}_{n} ∈ κ(v)^{∗}.

Dann ist nach (1.2.2) und (1.2.3)

W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) := W (F) ⊗_{O_{v}}^{∗} ω_{O_{v}/k}^{0} ⊗_{O_{v}}^{∗} H^{0}.

Mit \overline{δ}_{v} (vgl. (1.2.6)) erhalten wir dann den Gruppenhomomorphismus

W (F) ⊗_{O_{v}}^{∗} ω_{O_{v}/k}^{0} ⟶^{\overline{δ}_{v}⊗id} (W (κ(v)) ⊗_{κ(v)}^{∗} 𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2}^{∗}^{0}) ⊗_{O_{v}}^{∗} ω_{O_{v}/k}^{0}.

(H ist hier wieder weggelassen.) Die zweite fundamentale exakte Sequenz der Differentialformen für die Situation k → O_{v} → κ(v) liefert dann den kanonischen Isomorphismus

𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2} ⊗_{κ(v)} ω_{κ(v)/k} = ω_{O_{v}/k} ⊗_{O_{v}} κ(v).

Damit erhalten wir wieder mit (1.2.2) und (1.2.3)

(W (κ(v)) ⊗_{κ(v)}^{∗} 𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2}^{∗}^{0}) ⊗_{O_{v}}^{∗} ω_{O_{v}/k}^{0} = W (κ(v)) ⊗_{κ(v)^{∗}} ω_{κ(v)/k}^{0}.

Zusammengenommen haben wir also einen Homomorphismus

δ_{v} : W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) → W̃ (κ(v), H ⊗_{O_{v}} κ(v)),

welcher offenbar folgende konkrete Beschreibung besitzt:

Ist π_{v} ein Primelement von v und sind s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} Elemente derart, daß die Elemente d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1}, ..., d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} eine κ(v)−Basis von Ω_{κ(v)/k}^{1} bilden, so gilt

δ_{v}(⟨ϕ⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}) = δ_{2}^{π_{v}}(⟨ϕ⟩) ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}.

Diese Beschreibung werden wir im Laufe der Ausführungen immer wieder benutzen.

Wir haben also das dritte Datum:

(DW̃ 3) Ist F ∈ (C_{fg}/k), v eine Bewertung auf F und H ein freier O_{v}−Modul vom Rang 1, so hat man einen Gruppenhomomorphismus

δ_{v} : W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) → W̃ (κ(v), H ⊗_{O_{v}} κ(v)).

2.3 Der Randhomomorphismus und Bewertungsfortsetzungen

Wir studieren nun den Zusammenhang zwischen Restriktion, Korestriktion und Randhomomorphismus.

Wir beginnen mit der folgenden Linearitätseigenschaft des Randhomomorphismus:

(2.3.1) Lemma: Es sei v eine Bewertung auf F ∈ (C_{fg}/k), H ein freier O_{v}−Modul vom Rang 1 und u eine v−Einheit. Dann gilt für alle α ∈ W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F)

δ_{v}(u · α) = \overline{u} · δ_{v}(α).

Beweis: Sei α = ⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h ∈ W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) gegeben. Dabei ist ⟨a⟩ ∈ W (F) eine eindimensionale Form, a ∈ F^{∗}, h ∈ H^{0}, π_{v} ein Primelement von v, und s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} sind Elemente mit der Eigenschaft, daß d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1}, ..., d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} eine Basis von Ω_{κ(v)/k}^{1} bilden. Dann ist nach Konstruktion des Randhomomorphismus (vgl. (2.2.6))

δ_{v}(u · α) = δ_{2}^{π_{v}}(⟨ua⟩) ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ⊗ h.

Es sei oE. v(a) ≡ 1 mod 2. (Sonst steht auf beiden Seiten der behaupteten Gleichheit Null.)

Nun ist δ_{2}^{π_{v}}(⟨ua⟩) = ⟨\overline{\frac{ua}{π_{v}^{v(ua)}}} ⟩ = ⟨\overline{\frac{ua}{π_{v}^{v(a)}}} ⟩ = \overline{u} ⟨\overline{\frac{a}{π_{v}^{v(a)}}} ⟩ = \overline{u}δ_{2}^{π_{v}}(⟨a⟩)

und also folgt das Lemma. □

Für Bewertungen auf einem Körper E ∈ (C_{fg}/k), deren Einschränkungen auf gewisse Teilkörper von E trivial sind, hat man die folgenden Aussagen.

(2.3.2) Lemma:

1. Sei ϕ : F → E ein separabler Morphismus in (C_{fg}/k) und v eine Bewertung auf E, welche auf F trivial ist, und es sei H ein 1dimensionaler F −Vektorraum. Weiterhin sei der induzierte Morphismus \overline{ϕ} : F → κ(v) ebenfalls separabel.

Dann gilt:

δ_{v} ∘ ϕ_{∗} = 0.

2. Es sei F ∈ (C_{fg}/k) und 𝔸_{F}^{k} = Spec(F [u_{1}, ..., u_{k}]) der k−dimensionale affine Raum über F, und es sei ϕ : F → F (u_{1}, ..., u_{k}) der kanonische Morphismus und x ∈ 𝔸_{F}^{k}^{(1)}. Es sei v die zu x gehörige Bewertung auf F (u_{1}, ..., u_{k}). Es sei abschließend H ein 1-dimensionaler F −Vektorraum und \overline{ϕ} : F → κ(v) der induzierte Morphismus (\overline{ϕ} sei nicht notwendig separabel). Dann gilt:

δ_{v} ∘ ϕ_{∗} = 0.

Beweis: 1) Sei α ∈ W̃ (F, H) gegeben. Wir können wieder annehmen, daß α die Gestalt ⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h hat; dabei ist a ∈ F^{∗}, h ∈ H^{0} und s_{1}, ..., s_{n} eine separierende Transzendenzbasis von F/k. Da die Bewertung v auf F trivial ist, so ist v auch eine geometrische Bewertung über F und also ist

ϕ_{∗}(α) =

⟨(−1)^{n}ϕ(a)⟩ ⊗ d_{E/k}π_{v} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∧ d_{E/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}t_{r}

⊗d_{E/F} π_{v} ∧ d_{E/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t_{r} ⊗ h,

dabei ist π_{v} ein Primelement von v und t_{1}, ..., t_{r} ∈ O_{v}^{∗} eine Liftung einer separierenden Transzendenzbasis von κ(v)/F. Nach Konstruktion von δ_{v} ist dann

δ_{v}(α) =

δ_{2}^{π_{v}}(⟨(−1)^{n}ϕ(a)⟩) ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{r}

⊗d_{O_{v}/F} π_{v} ∧ d_{O_{v}/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{O_{v}/F} t_{r} ⊗ h.

Nun ist δ_{2}^{π_{v}}(⟨(−1)^{n}ϕ(a)⟩) = 0, da v((−1)^{n}ϕ(a)) ≡ 0 mod 2 gilt.

2) Sei α = ⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h ∈ W̃ (F, H) wie in 1) gegeben. Es sei abkürzend K := F (u_{1}, ..., u_{k}). Dann ist

ϕ_{∗}(α) = ⟨a⟩⊗d_{K/k}s_{1}∧...∧d_{K/k}s_{n}∧d_{K/k}u_{1}∧...∧d_{K/k}u_{k}⊗d_{K/F} u_{1}∧...∧d_{K/F} u_{k}⊗h.

Da 𝔸_{F}^{k} glatt ist über F, so ist d_{O_{v}/k}s_{1}∧...∧d_{O_{v}/k}s_{n}∧d_{O_{v}/k}u_{1}∧...∧d_{O_{v}/k}u_{k} eine O_{v}−Basis des O_{v}−Moduls ω_{O_{v}/k}. Folglich existiert eine v−Einheit e ∈ O_{v}^{∗} mit

d_{O_{v}/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{O_{v}/k}s_{n} ∧ d_{O_{v}/k}u_{1} ∧ ... ∧ d_{O_{v}/k}u_{k} =

e · d_{O_{v}/k}π_{v} ∧ d_{O_{v}/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{O_{v}/k}t_{n+k−1},

dabei ist π_{v} ein Primelement der Bewertung v und t_{1}, ..., t_{n+k−1} ∈ O_{v}^{∗} sind Elemente derart, daß \overline{t}_{1}, ..., \overline{t}_{n+k−1} eine separierende Transzendenzbasis von κ(v)/k ist. Daher ist

ϕ_{∗}(α) = ⟨e · a⟩ ⊗ d_{K/k}π_{v} ∧ d_{K/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{K/k}t_{n+k−1} ⊗ d_{K/F} u_{1} ∧ ... ∧ d_{K/F} u_{k} ⊗ h

und also nach Definition des Randhomomorphismus δ_{v}(ϕ_{∗}(α)) = 0.

□

(2.3.3) Definition: Es sei F ∈ (C_{fg}/k), v eine Bewertung von F, und H sei ein freier O_{v}−Modul vom Rang 1. Es sei weiter π_{v} ein Primelement von v. Dann heißt s_{v}^{π_{v}} : W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) → W̃ (κ(v), H ⊗_{O_{v}} κ(v)) mit

s_{v}^{π_{v}}(α) := δ_{v}(π_{v} · α)

für alle α ∈ W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) der Spezialisierungshomomorphismus zum Primelement π_{v} von v.

Für diesen Homomorphismus gilt:

(2.3.4) Lemma: Sei ϕ : F → E ein separabler Morphismus in (C_{fg}/k) und v eine Bewertung auf E, welche auf F trivial ist, und es sei H ein 1-dimensionaler F − Vektorraum. Es sei der von ϕ induzierte Morphismus \overline{ϕ} : F → κ(v) ebenfalls separabel. Dann gilt:

s_{v}^{π_{v}} ∘ ϕ_{∗} = (−1)^{n} · \overline{ϕ}_{∗}

für ein beliebiges Primelement π_{v} von v, nach Identifizierung mit dem durch π_{v} induzierten Isomorphismus der Zielgruppen; dabei ist n der Transzendenzgrad von F über k.

Beweis: Wir präzisieren zunächst die letzte Aussage: Die Zielgruppe von \overline{ϕ}_{∗} ist W̃ (κ(v), ω_{κ(v)/F}), während die Zielgruppe von s_{v}^{π_{v}} ∘ ϕ_{∗} aber W̃ (κ(v), ω_{O_{v}/F} ⊗_{O_{v}} κ(v)) ist. Nun ist

ω_{O_{v}/F} ⊗_{O_{v}} κ(v) = 𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2} ⊗_{κ(v)} ω_{κ(v)/F} . (∗)

Das Primelement π_{v} induziert einen Isomorphismus κ(v) ≅ 𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2}. (∗) induziert vermöge dieser Isomorphie einen κ(v)−Isomorphismus ω_{κ(v)/F} ≅ ω_{O_{v}/F} ⊗ κ(v) und alsdann einen Isomorphismus der in Frage stehenden Zielgruppen. Diesen Isomorphismus halten wir fest. Sei nun α ∈ W̃ (F, H) durch ⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h mit a ∈ F^{∗}, h ∈ H^{0} und s_{1}, ..., s_{n} eine separierende Transzendenzbasis von F/k gegeben. Dann ist wieder

ϕ_{∗}(α) =

⟨(−1)^{n}ϕ(a)⟩ ⊗ d_{E/k}π_{v} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∧ d_{E/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}t_{r}

⊗d_{E/F} π_{v} ∧ d_{E/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t_{r} ⊗ h;

dabei ist t_{1}, ..., t_{r} eine separierende Transzendenzbasis von κ(v)/F.

Folglich ist

s_{v}^{π_{v}}(ϕ_{∗}(α)) =

δ_{2}^{π_{v}}(⟨(−1)^{n} · π_{v} · ϕ(a)⟩) ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{r}

⊗d_{O_{v}/F} π_{v} ∧ d_{O_{v}/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{O_{v}/F} t_{r} ⊗ h =

δ_{2}^{π_{v}}(⟨(−1)^{n} · π_{v} · ϕ(a)⟩) ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{r} ⊗ \overline{π}

⊗d_{κ(v)/F} \overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/F} \overline{t}_{r} ⊗ h.

Andererseits ist

\overline{ϕ}_{∗}(α) =

⟨\overline{ϕ(a)}⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{t}_{r}

⊗d_{κ(v)/F} \overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/F} \overline{t}_{r} ⊗ h.

Nun ist

δ_{2}^{π_{v}}(⟨(−1)^{n} · π_{v} · ϕ(a)⟩) = ⟨\overline{(−1)^{n}ϕ(a)}⟩ ,

und beachtet man obige Identifizierung, so folgt dann die Behauptung. □

Wir untersuchen nun die Verträglichkeit von Restriktion und Korestriktion mit dem Randhomomorphismus. Die hierbei erzielten Ergebnisse sind fundamental für die geometrischen Anwendungen in den späteren Kapiteln.

(2.3.5) Satz: Es sei ϕ : F → E ein separabler Morphismus in (C_{fg}/k), und es sei v eine Bewertung auf F. w sei eine Bewertung auf E, welche v fortsetzt mit Verzweigungsindex 1. Es sei weiterhin H ein freier O_{v}−Modul vom Rang 1 und \overline{ϕ} : κ(v) → κ(w) sei der induzierte Homomorphismus der Restklassenkörper in (C_{fg}/k); dieser sei ebenfalls separabel. Dann kommutiert das Diagramm

�  ^{δ_{w}} �_{ϕ_{∗}} �  _{δ_{v}} �  _{\overline{ϕ}_{∗}} W̃ (κ(v), H ⊗_{O_{v}} κ(v)) W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F)  W̃ (κ(w), ω_{κ(w)/κ(v)} ⊗_{O_{v}} H) W̃ (E, ω_{E/F} ⊗_{O_{v}} H)

d.h. es gilt:

δ_{w} ∘ ϕ_{∗} = \overline{ϕ}_{∗} ∘ δ_{v}.

Beweis: Es ist dim_{E}Ω_{E/F}^{1} = (E/F)_{tr}. Da w und v Bewertungen von geometrischem Typ auf E bzw. F sind, so erhält man (E/F)_{tr} = (κ(w)/κ(v))_{tr} und somit dim_{E}Ω_{E/F}^{1} = dim_{κ(w)}Ω_{κ(w)/κ(v)}^{1}. Nach [Ku], 6.5 hat man eine exakte Sequenz

0 → 𝔪_{w}/(𝔪_{w}^{2} + 𝔪_{v}O_{w}) → Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ⊗_{O_{w}} κ(w) → Ω_{κ(w)/κ(v)}^{1} → 0,

dabei bezeichnet 𝔪_{v} bzw. 𝔪_{w} das maximale Ideal von O_{v} bzw. O_{w}. Aufgrund der Unverzweigtheit der Bewertungsfortsetzung liefert diese Sequenz einen Isomorphismus von κ(w)−Vektorräumen

� �  d_{κ(w)/κ(v)}\overline{t}. d_{O_{w}/O_{v}}t ⊗ 1  Ω_{κ(w)/κ(v)}^{1} Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ⊗_{O_{w}} κ(w)

Da außerdem Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ⊗_{O_{w}} E = Ω_{E/F}^{1} gilt, so ist Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ein freier Modul über O_{w} vom Rang (κ(w)/κ(v))_{tr}, denn ist t_{1}, ..., t_{r} ∈ O_{w}^{∗} ein System von Elementen derart, daß \overline{t}_{1}, ..., \overline{t}_{r} eine separierende Transzendenzbasis von κ(w)/κ(v) bildet, so ist d_{O_{w}/O_{v}}t_{1}, ..., d_{O_{w}/O_{v}}t_{r} eine O_{w}−Basis von Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1}. Also ist δ_{w} in obigem Diagramm wohldefiniert. Wir rechnen nun die Kommutativität nach. Es sei α ∈ W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F) beliebig. Es seien s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} Elemente derart, daß \overline{s}_{1}, ..., \overline{s}_{n} ∈ κ(v) eine separierende Transzendenzbasis von κ(v)/k bilden. Es sei weiterhin π_{v} ein Primelement von v und h ein Basiselement von H. Es ist dann α = ⟨ϕ⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h. Es sei oE. ⟨ϕ⟩ = ⟨a⟩ mit a ∈ F^{∗}. Zunächst sei v(a) ≡ 1 mod 2. Dann ist

\overline{ϕ}_{∗} ∘ δ_{v}(⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h) =

\overline{ϕ}_{∗}(⟨\overline{\frac{a}{π_{v}^{v(a)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ⊗ h) =

⟨\overline{\frac{ϕ(a)}{ϕ(π_{v})^{v(a)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{n} ∧ d_{κ(w)/k}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/k}\overline{t}_{r}

⊗d_{κ(w)/κ(v)}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/κ(v)}\overline{t}_{r} ⊗ h,

dabei sind t_{1}, ..., t_{r} ∈ O_{w}^{∗} derart, daß die Elemente \overline{t}_{1}, ..., \overline{t}_{r} ∈ κ(w)^{∗} eine separierende Transzendenzbasis von κ(w)/κ(v) bilden. Andererseits ist

δ_{w} ∘ ϕ_{∗}(⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ⊗ h) =

δ_{w}(⟨ϕ(a)⟩ ⊗ d_{E/k}π_{v} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∧ d_{E/k}t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}t_{r} ⊗d_{E/F} t_{1} ∧ ... ∧ d_{E/F} t_{r} ⊗ h) =

⟨\overline{\frac{ϕ(a)}{π_{v}^{w(ϕ(a))}}} ⟩ ⊗ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{n} ∧ d_{κ(w)/k}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/k}\overline{t}_{r}

⊗d_{κ(w)/κ(v)}\overline{t}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/κ(v)}\overline{t}_{r} ⊗ h.

Nun ist wegen e(w | v) = 1 π_{v} ebenfalls ein Primelement von w, und es gilt w(ϕ(a)) = v(a). Also kommutiert das Diagramm in diesem Fall. Ist v(a) ≡ 0 mod 2, so ist (\overline{ϕ}_{∗} ∘ δ_{v})(α) = (δ_{w} ∘ ϕ_{∗})(α) = 0. Damit ist der Satz bewiesen. □

Korestriktion und Randhomomorphismus verbindet der folgende Satz.

(2.3.6) Satz: Es sei ϕ : F → E ein endlicher Morphismus in (C_{fg}/k) und es sei v eine Bewertung auf F. Es seien w_{1}, ..., w_{n} die Fortsetzungen von v auf E und \overline{ϕ}_{w_{i}} : κ(v) → κ(w_{i}) die induzierten Pfeile der Restekörpererweiterungen. Es sei weiterhin H ein freier O_{v}−Modul vom Rang 1. Dann kommutiert das Diagramm

�  ^{(δ_{w_{i}})} �_{ϕ^{∗}} �  _{δ_{v}} �  _{∑_{i=1}^{n} \overline{ϕ}{∗ \atop w_{i}}} W̃ (κ(v), H ⊗_{O_{v}} κ(v)); W̃ (F, H ⊗_{O_{v}} F)  ⨁_{i=1}^{n} W̃ (κ(w_{i}), H ⊗_{O_{v}} κ(w_{i})) W̃ (E, H ⊗_{O_{v}} E)

m.a.W.: Es gilt

δ_{v} ∘ ϕ^{∗} = ∑_{w_{i}|v} \overline{ϕ}_{w_{i}}^{∗} ∘ δ_{w_{i}}.

Dem Beweis dieses Satzes schicken wir zwei Tatsachen voraus. Zunächst das folgende, leicht zu sehende, Lemma über Spuren.

(2.3.7) Lemma:

1. Es sei B eine endliche, freie A−Algebra über einem kommutativen Ring A mit 1 und A ⊂ A′ eine Ringerweiterung. Es sei B′ = B ⊗_{A} A′ die Basiserweiterung. Dann kommutiert das Diagramm

� �  ^{tr_{B′/A′}} � �  _{tr_{B/A}} �  A. B b  A′ B′ b ⊗ 1

2. Sind B_{1}, ..., B_{r} endliche, freie A−Algebren und B := ∏_{i=1}^{r} B_{i}, so ist

tr_{B/A}(b_{1}, ..., b_{r}) = ∑_{i=1}^{r} tr_{B_{i}/A}(b_{i}),

für b_{i} ∈ B_{i} und i = 1, ..., r.

(2.3.8) Bemerkung: Es sei K ∈ (C_{fg}/k) ein Körper, versehen mit einer geometrischen Bewertung v. Es sei K_{v} die Henselisierung von K bezüglich v. K_{v} ist ein bewerteter Körper mit Bewertung v̂ und es gilt e(v̂ | v) = 1. v̂ ist jedoch i.a. keine geometrische Bewertung, da K_{v} i.a. nicht endlich erzeugt über k ist. Nach Definition der Henselisierung ist K_{v}/K separabel algebraisch, so daß wir die Beziehung

Ω_{O_{v}/k}^{1} ⊗_{O_{v}} K_{v} = Ω_{K_{v}/k}^{1}

haben. Wegen 𝔪_{v}/𝔪_{v}^{2} = 𝔪v̂/𝔪2 ; v̂ gilt außerdem in kanonischer Weise

𝔪v̂/𝔪2 ; v̂ ⊗_{κ(v)} ω_{κ(v)/k} = ω_{O_{v}/k} ⊗_{O_{v}} κ(v).

Wir erhalten so analog zu (2.2.6) einen Randhomomorphismus

δv̂ : W̃ (K_{v}, H ⊗ K_{v}) → W̃ (κ(v), H ⊗ κ(v))

mit δv̂(⟨a⟩ ⊗ d_{K_{v}/k}π_{v} ∧ d_{K_{v}/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{K_{v}/k}s_{n} ⊗ h) =

δ_{2}^{π_{v}}(⟨a⟩) ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n} ⊗ h;

dabei ist π_{v} ein Primelement von v, h ∈ H^{0}, a ∈ K_{v}^{∗} und s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} sind Liftungen einer separierenden Transzendenzbasis von κ(v)/k. Offenbar ist auch eine kanonische Restriktion r_{K_{v}/K} definiert, so daß insbesondere (2.3.5) für den Morphismus K → K_{v} gilt.

Beweis von (2.3.6): Wir gehen in mehreren Schritten vor.

1. Schritt: Wir zeigen zunächst für jeden Zwischenkörper M von E/F: Ist der Satz für E/M und für M/F richtig, so ist er auch für E/F richtig. Sei dazu v eine Bewertung wie im Satz. Seien u_{1}, ..., u_{l} die Fortsetzungen von v auf M. Für i = 1, ..., l seien w_{i1}, ..., w_{in_{i}} die Fortsetzungen von u_{i} auf E. Wir betrachten das Diagramm

�  ^{(δ_{w_{ij}})} �  _{(δ_{u_{i}})} �  _{δ_{v}} �  _{c_{E/M}} �  _{c_{M/F}} �  _{∑_{j=1}^{n_{i}} c_{κ(w_{ij})/κ(u_{i})}} �  _{∑_{i=1}^{l} c_{κ(u_{i})/κ(v)}} �_{c_{E/F}}  �  _{∑_{i,j} c_{κ(w_{ij})/κ(v)}} W̃ (κ(v), H ⊗ κ(v)). W̃ (F, H ⊗ F)  ⨁_{i=1}^{l} W̃ (κ(u_{i}), H ⊗ κ(u_{i})) W̃ (M, H ⊗ M)  ⨁_{i=1}^{l} ⨁_{j=1}^{n_{i}} W̃ (κ(w_{ij}), H ⊗ κ(w_{ij})) W̃ (E, H ⊗ E)

Nimmt man an, daß der Satz für M/F gilt, so kommutiert das untere Rechteck des Diagramms. Nimmt man an, daß der Satz für E/M gilt, so kommutiert das obere Rechteck, weil es in jeder Komponente i kommutiert.

Da der linke bzw. rechte Bogen aufgrund der Funktorialitätseigenschaften der Korestriktion kommutiert (vgl. (2.2.5)) und da die w_{ij} offenbar genau die Fortsetzungen von v auf E sind, ist damit das Gewünschte gezeigt.

2. Schritt: Indem wir die Körpererweiterung E/F in eine separable und eine total inseparable Erweiterung zerlegen, so genügt es also nach dem 1. Schritt die Behauptung des Satzes für endlich, separable und endlich, total inseparable Körpererweiterungen E/F zu beweisen. Sei also zunächst ϕ : F → E endlich, total inseparabel und v eine Bewertung auf F. Wiederum nach Schritt 1 dürfen wir [E : F] = p annehmen. Es existiert genau eine Bewertungsfortsetzung w von v auf E, und es gilt e(w | v) = p oder e(w | v) = 1. Außerdem ist die Restekörpererweiterung \overline{ϕ} : κ(v) → κ(w) ebenfalls total inseparabel. Es sei zunächst e(w | v) = p. Da v eine geometrische Bewertung ist, so gilt die fundamentale Gleichung

[E : F] = p · [κ(w) : κ(v)].

Daher ist κ(w) = κ(v), und wir haben also die Kommutativität des Diagramms

�  _{δ_{w}} �  _{δ_{v}} �_{c_{E/F}} W̃ (F)  W̃ (κ(v)) W̃ (E)

zu beweisen. (Da der Modul H beim Beweis des Satzes keine Rolle spielt, lassen wir ihn ab jetzt weg.) Es genügt die Kommutativität des in Frage stehenden Diagramms auf Elementen der Form

α = ⟨a⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n} ∈ W̃ (E)

zu beweisen; hierbei ist a ∈ E^{∗}, π_{w} ein Primelement von w und s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{w}^{∗} sind Liftungen einer separierenden Transzendenzbasis \overline{s}_{1}, ..., \overline{s}_{n} ∈ κ(w)^{∗} von κ(w)/k. Ist w(a) ≡ 0 mod 2, so ist δ_{w}(α) = 0. Ist w(a) ≡ 1 mod 2, so ist

δ_{w}(α) = ⟨\overline{\frac{a}{π_{w}^{w(a)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{n}
= ⟨\overline{\frac{a^{p}}{π_{w}^{pw(a)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(w)/k}\overline{s}_{n}.

Nach [Ku], 6.7 hat man einen kanonischen κ(w)−Vektorraumisomorphismus

𝔪_{w}/𝔪_{w}^{2} ⟶^{≅} Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ⊗_{O_{w}} κ(w).

Daher ist Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ein freier O_{w}−Modul vom Rang 1 mit Basis d_{O_{w}/O_{v}}π_{w}. Damit erhält man nach Definition von c_{E/F} (vgl. (2.2.4)):

c_{E/F} (α) = ⟨a^{p}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{w}^{p} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}.

(Beachte: κ(w) = κ(v)) Da π_{w}^{p} ein Primelement von v ist, so ergibt sich:

δ_{v}(c_{E/F} (α)) =

= \{ \begin{matrix}0, & für & v(a^{p}) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{a^{p}}{π_{w}^{pv(a^{p})}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}, & für & v(a^{p}) ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

Wegen v(a^{p}) = w(a) ist daher die Kommutativität des Diagramms in diesem Fall gezeigt.

Nun sei e(w | v) = 1. Dann ist [E : F] = [κ(w) : κ(v)] = p und also dim_{κ(w)}Ω_{κ(w)/κ(v)}^{1} = 1 und dim_{E}Ω_{E/F}^{1} = 1. Nach [Ku], 6.7 hat man einen kanonischen Isomorphismus eindimensionaler κ(w)−Vektorräume

Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ⊗_{O_{w}} κ(w) ⟶^{≅} Ω_{κ(w)/κ(v)}^{1}.

Ω_{O_{w}/O_{v}}^{1} ist also wieder ein freier O_{w}−Modul vom Rang 1 mit O_{w}−Basis d_{O_{w}/O_{v}}s; hierbei ist s ∈ O_{w}^{∗} eine Liftung eines Elements \overline{s} ∈ κ(w)^{∗} mit d_{κ(w)/κ(v)}\overline{s} ≠ 0. Dann gilt für ein Element

α = ⟨a⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} ∧ d_{E/k}s ∧ d_{E/k}\overline{i}_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}\overline{i}_{r} ∈ W̃ (E)

mit a ∈ E^{∗}, s ∈ O_{w}^{∗} mit d_{κ(w)/κ(v)}\overline{s} ≠ 0 und i_{1}, ..., i_{r} ∈ O_{v}^{∗} nach Definition von c_{E/F}

c_{E/F} (α) = ⟨a^{p}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{w} ∧ d_{F/k}s^{p} ∧ d_{F/k}i_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}i_{r}

und alsdann

δ_{v}(c_{E/F} (α)) =

= \{ \begin{matrix}0, & für & v(a^{p}) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{a^{p}}{π_{w}^{v(a^{p})}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}^{p} ∧ d_{κ(v)/k}\overline{i}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{i}_{r}, & für & v(a^{p}) ≡ 1 mod 2; \end{matrix}

man beachte hierbei, daß π_{w} ebenfalls ein Primelement von v ist.

Weiter ist

c_{κ(w)/κ(v)}(δ_{w}(α)) =

= \{ \begin{matrix}0, & für & w(a) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{a^{p}}{π_{w}^{pw(a)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}^{p} ∧ d_{κ(v)/k}\overline{i}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{i}_{r}, & für & w(a) ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

Da w(a) genau dann gerade ist, wenn dies auch v(a^{p}) ist, so kommutiert das entsprechende Diagramm auch für den Fall e(w | v) = 1.

3. Schritt: Nun sei E/F endlich, separabel. Es sei F_{v} die Henselisierung von F bezüglich v. F_{v} ist ein bewerteter Körper mit Bewertung v̂, und es gilt e(v̂ | v) = 1 und κ(v̂) = κ(v). Es seien weiterhin E_{w_{i}} die Henselisierungen von E bezüglich der Bewertungen w_{i}.

Dann sind die Erweiterungen E_{w_{i}}/F_{v} alle separabel, und es gilt

E ⊗_{F} F_{v} = ∏_{w_{i}|v} E_{w_{i}}.

Wir erhalten damit den folgenden Würfel:

�  ^{δŵ_{i}} � _{r_{Ew_{i} /E}} �  _{(δ_{w_{i}})} � �  _{δv̂} � _{r_{Fv/F}} �  _{δ_{v}} � �  _{∑ c_{κ(w_{i})/κ(v)}} �  _{∑ c_{κ(w_{i})/κ(v)}} �_{c_{E/F}} �  _{∑ c_{Ew_{i} /Fv}} W̃ (κ(v), H ⊗ κ(v)). W̃ (F, H ⊗ F)  W̃ (κ(v), H ⊗ κ(v)) W̃ (F_{v}, H ⊗ F_{v}) ⨁_{i=1}^{n} W̃ (κ(w_{i}), H ⊗ κ(w_{i})) W̃ (E, H ⊗ E)  ⨁_{i=1}^{n} W̃ (κ(w_{i}), H ⊗ κ(w_{i})) ⨁_{i=1}^{n} W̃ (E_{w_{i}}, H ⊗ E_{w_{i}})

In diesem Würfel kommutiert die rechte Seitenfläche trivialerweise, Boden und Deckel kommutieren nach (2.3.5) und (2.3.8). Wir zeigen nun die Kommutativität der linken Seitenfläche. Wir haben dazu die Formel

(1) r_{F_{v}/F} ∘ c_{E/F} = ∑_{w_{i}|v} c_{E_{w_{i}}/F_{v}} ∘ r_{E_{w_{i}}/E}

zu beweisen. Im Hinblick auf die Gruppenstruktur von W̃ stellt man fest, daß (1) aus der folgenden Aussage (2) über das funktorielle Verhalten des Wittrings folgt:

(2) r_{F_{v}/F} ∘ c_{E/F} = ∑_{w_{i}|v} c_{E_{w_{i}}/F_{v}} ∘ r_{E_{w_{i}}/E} : W (E) → W (F_{v});

dabei bezeichnet r die natürliche Restriktion und c den Scharlau-Transfer zum Spurfunktional.

Nach dem Spurlemma (2.3.7) 1) gilt tr_{E⊗_{F} F_{v}}(x⊗1) = tr_{E/F} (x) für alle x ∈ E und also ist tr_{E/F} ⊗ id_{F_{v}} = tr_{E⊗_{F} F_{v}/F_{v}}. Nun ist wie bereits festgestellt E ⊗_{F} F_{v} = ∏ E_{w_{i}} und wieder folgt aus dem Spurlemma (2.3.7) 2) tr_{E_{w_{i}}/F_{v}} = tr_{E⊗_{F} F_{v}/F_{v}} | E_{w_{i}}. Daher ist (2) gerade die Aussage des Satzes 2.2 in [Ar]. Somit kommutiert auch die linke Seitenfläche des Würfels. Um also die Kommutativität der Vorderseite einzusehen, genügt es die Kommutativität der Rückseite zu beweisen.

Wir dürfen also F als henselsch mit Bewertung v und alsdann E als henselsch mit Bewertung w und E/F als separabel annehmen. Wir beweisen nun die Aussage des Satzes für eine unverzweigte Erweiterung mit separabler Restekörpererweiterung und für eine total verzweigte Erweiterung, deren Verzweigungsindex nicht von p = char(k) geteilt wird. Dies wird in den beiden folgenden Schritten erledigt.

4. Schritt: Es sei nun ϕ : F → E endlich, separabel und F henselsch mit Bewertung v. w sei die eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf E. w | v sei unverzweigt. Dann ist [E : F] = [κ(w) : κ(v)]. Ist O_{v} der diskrete Bewertungsring von v, so ist der diskrete Bewertungsring O_{w} von w der ganze Abschluß von O_{v} in E. Es gelten die folgenden Tatsachen:

1. O_{w} ist ein freier O_{v}−Modul vom Rang [E : F]

2. O_{w} ⊗_{O_{v}} κ(v) = O_{w}/𝔪_{v}O_{w} = κ(w)

3. O_{w} ⊗_{O_{v}} F = E.

Es sei nun s ∈ O_{w}^{∗} beliebig vorgegeben. Wir setzen

� �  sx^{2} x  O_{w} O_{w} Φ :

und

� �  tr_{O_{w}/O_{v}}(sx^{2}). x  O_{v} O_{w} Φ̃ := tr_{O_{w}/O_{v}} ∘ Φ :

Φ̃ ist eine reguläre quadratische Form über O_{v}. Φ und Φ̃ induzieren reguläre Formen auf dem E− bzw. F −Vektorraum E und auf dem κ(w)− bzw. κ(v)−Vektorraum κ(w), nämlich

� �  sx^{2} ⊗ y^{2} x ⊗ y  E O_{w} ⊗_{O_{v}} F = E Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} :

� �  sx^{2} ⊗ \overline{y}^{2} x ⊗ \overline{y}  κ(w) O_{w} ⊗_{O_{v}} κ(v) = κ(w) Φ_{O_{w}⊗_{Ov} κ(v)} :

� �  tr_{O_{w}/O_{v}}(sx^{2})y^{2} x ⊗ y  O_{v} ⊗_{O_{v}} F = F O_{w} ⊗_{O_{v}} F = E Φ̃_{F} :

und

� �  tr_{O_{w}/O_{v}}(sx^{2})\overline{y}^{2}. x ⊗ \overline{y}  O_{v} ⊗_{O_{v}} κ(v) = κ(v) O_{w} ⊗_{O_{v}} κ(v) = κ(w) Φ̃_{κ(v)} :

Aus (2.3.7) erhält man über diese Formen folgende Aussagen:

1. Φ̃_{F} = tr_{O_{w}⊗_{Ov} F/F} ∘ Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F}

2. Φ̃_{κ(v)} = tr_{O_{w}⊗_{Ov} κ(v)/κ(v)} ∘ Φ_{O_{w}⊗_{Ov} κ(v)}.

Mit diesen Aussagen zeigen wir die Kommutativität des Diagramms

�  ^{δ_{w}} �  _{δ_{v}} �_{c_{E/F}} �  _{c_{κ(w)/κ(v)}} W̃ (κ(v)). W̃ (F)  W̃ (κ(w)) W̃ (E)

Es sei also α = ⟨ϕ⟩⊗d_{F/k}π_{v}∧d_{F/k}s_{1}∧...∧d_{F/k}s_{n} ∈ W̃ (E) beliebig vorgegeben. Es sind wie üblich hierbei s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} Elemente derart, daß \overline{s}_{1}, ..., \overline{s}_{n} eine separierende Transzendenzbasis von κ(v)/k bilden, und weiter sei π_{v} ein Primelement von v. π_{v} ist dann auch ein Primelement von w. Offenbar dürfen wir ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩ oder ⟨ϕ⟩ = ⟨sπ_{v}⟩ mit s ∈ O_{w}^{∗} annehmen.

Es sei zunächst ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩ .

Es ist dann δ_{w}(α) = 0. Mit obigen Bezeichnungen ist ⟨s⟩ = ⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} ⟩ und nach 1) geht diese Form unter c_{E/F} auf Φ̃_{F} . Also ist insgesamt

c_{E/F} (α) = c_{E/F} (⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} ⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n})
= \left⟨{ \atop Φ̃_{F}}\right⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}.

Da aber nach Konstruktion Φ̃_{F} über O_{v} definiert ist, läßt Φ̃_{F} eine Diagonalisierung mit Elementen aus O_{v}^{∗} zu. Also ist δ_{v}(c_{E/F} (α)) = 0. Somit kommutiert das in Frage stehende Diagramm für ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩ .

Nun sei ⟨ϕ⟩ = ⟨sπ_{v}⟩ .

Es ist ⟨sπ_{v}⟩ = ⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} · π_{v}⟩ . Nach 1) ist wieder c_{E/F} (⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} · π_{v}⟩) = ⟨Φ̃_{F} · π_{v}⟩.

Also ist

c_{E/F} (⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} · π_{v}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}) =

⟨Φ̃_{F} · π_{v}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}.

Nun ist

δ_{v}(⟨Φ̃_{F} · π_{v}⟩⊗d_{F/k}π_{v}∧d_{F/k}s_{1}∧...∧d_{F/k}s_{n}) = \left⟨{ \atop Φ̃_{κ(v)}}\right⟩⊗d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1}∧...∧d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}.

Andererseits ist

δ_{w}(⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} F} · π_{v}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}) =

⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} κ(v)}⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}.

Nach 2) ist c_{κ(w)/κ(v)}(⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} κ(v)}⟩) = \left⟨{ \atop Φ̃_{κ(v)}}\right⟩ .

Also hat man abschließend

c_{κ(w)/κ(v)}(⟨Φ_{O_{w}⊗_{Ov} κ(v)}⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}) =

\left⟨{ \atop Φ̃_{κ(v)}}\right⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}.

Damit kommutiert das in Frage stehende Diagramm auch in diesem Fall, und also ist der 4. Schritt erledigt.

5. Schritt: Es sei nun ϕ : F → E endlich, separabel (F wie üblich henselsch) mit Bewertung v und w die eindeutige Fortsetzung von v auf E. Die Erweiterung sei totalverzweigt, d.h. es gelte e(w | v) = [E : F]. Dann ist κ(w) = κ(v), und wir haben die Kommutativität des Diagramms

�  _{δ_{w}} �  _{δ_{v}} �_{c_{E/F}}  W̃ (κ(v)) W̃ (F) W̃ (E)

zu beweisen. Wir betrachten in diesem Schritt den Fall char(k) ∤ e(w | v). Es sei π_{w} ein Primelement von w und π_{v} ein Primelement von v. Dann gibt es ein ϵ ∈ O_{w}^{∗} mit ϵπ_{w}^{e} = π_{v}. Durch Multiplikation von π_{v} mit einer Einheit in F, welche zu ϵ^{−1} kongruent ist, kann man annehmen, daß \overline{ϵ} = 1 ist. Das Polynom T^{e} − ϵ hat nach dem Henselschen Lemma eine Nullstelle ϵ′ in E. Es ist dann π_{v} = (π_{w}ϵ′)^{e}. Ersetzen wir π_{w} durch π_{w}ϵ′, so können wir annehmen, daß π_{w}^{e} = π_{v} gilt. Aufgrund von κ(w) = κ(v) und dem Henselschen Lemma gilt für jede Form ⟨s⟩ ∈ W (E) mit s ∈ O_{w}^{∗} ⟨s⟩ = ⟨t⟩ in W (E) mit einer Einheit t ∈ O_{v}^{∗}. Weiter ist E = F (π_{w}) und also ist 1, π_{w}, ..., π_{w}^{e−1} eine F −Basis von E. Es sei s : E → F das durch s(1) = 1 und s(π_{w}^{i}) = 0 für 1 ≤ i ≤ e − 1 definierte, von Null verschiedene, lineare Funktional. Für das Spurfunktional tr_{E/F} : E → F gilt definitionsgemäß tr_{E/F} (1) = e und tr_{E/F} (π^{i}) = 0 für 1 ≤ i ≤ e − 1. Also gilt s(e · x) = tr_{E/F} (x) für alle x ∈ E. Beachte: char(k) ist kein Teiler von e. Somit gilt für den Scharlau-Transfer zu diesen beiden Funktionalen

s_{∗}(e · ⟨ϕ⟩) = tr_{E/F}_{∗}(⟨ϕ⟩)

für alle Elemente ⟨ϕ⟩ ∈ W (E). Mit Hilfe dieser Vorüberlegungen beweisen wir jetzt die Kommutativität des in Frage stehenden Diagramms.

1. Fall: e(w | v) ≡ 1 mod 2.

Nach [Sa], 2, 5.8 gilt dann s_{∗}(⟨1⟩) = ⟨1⟩ und also tr_{E/F}_{∗}(⟨1⟩) = ⟨e⟩ . Es sei α = ⟨ϕ⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ∈ W̃ (E) beliebig vorgegeben. Es sind wie üblich hierbei s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗} Elemente derart, daß \overline{s}_{1}, ..., \overline{s}_{n} eine separierende Transzendenzbasis von κ(v)/k bilden. Aufgrund obiger Vorüberlegungen genügt es zum Beweis der Kommutativität die Fälle ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩ mit s ∈ O_{v}^{∗} und ⟨ϕ⟩ = ⟨sπ_{v}⟩ mit s ∈ O_{v}^{∗} und π_{v} wie oben zu betrachten.

Es sei zunächst ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩ . Dann ist

δ_{w}(α) = δ_{w}(⟨s⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w}^{e} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n})
= δ_{w}(⟨es⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n})
= \{ \begin{matrix}0, & falls & w(es) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{es}{π_{v}^{v(es)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}, & falls & w(es) ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

(Beachte auch hier p ∤ e.) Andererseits ist

δ_{v}(c_{E/F} (α)) = δ_{v}((⟨s⟩ ⊗ tr_{E/F}_{∗}(⟨1⟩)) ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n})
= δ_{v}(⟨es⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n})
= \{ \begin{matrix}0, & für & v(es) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{es}{π_{v}^{v(es)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}, & für & v(es) ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

Da nun v(es) ≡ x mod 2 ⇔ w(es) ≡ x mod 2 (x = 0, 1) gilt, so kommutiert das Diagramm in diesem Fall. Nun sei ⟨ϕ⟩ = ⟨sπ_{v}⟩ . Es ist

δ_{w}(α) = δ_{w}(⟨sπ_{v}⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w}^{e} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n})
= δ_{w}(⟨esπ_{v}⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ d_{E/k}s_{n})
= \{ \begin{matrix}0, & falls & w(esπ_{v}) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{esπ_{v}}{π_{v}^{v(esπ_{v})}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}, & falls & w(esπ_{v}) ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

Andererseits ist

δ_{v}(c_{E/F} (α)) = δ_{v}((⟨sπ_{v}⟩ ⊗ tr_{E/F}_{∗}(⟨1⟩)) ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n})
= δ_{v}(⟨esπ_{v}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n})
= \{ \begin{matrix}0, & f. & v(esπ_{v}) ≡ 0 mod 2 \\ ⟨\overline{\frac{esπ_{v}}{π_{v}^{v(esπ_{v})}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}, & f. & v(esπ_{v}) ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

Auch in diesem Fall kommutiert das Diagramm.

2. Fall: Nun sei e(w | v) ≡ 0 mod 2. Nach [Sa], 2, 5.8 gilt in diesem Fall

tr_{E/F}_{∗}(⟨1⟩) = es_{∗}(⟨1⟩) = ⟨e, eπ_{v}⟩

und

tr_{E/F}_{∗}(⟨π_{w}⟩) = 0.

Wir haben die beiden Fälle ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩ mit s ∈ O_{v}^{∗} und ⟨ϕ⟩ = ⟨sπ_{w}⟩ zu betrachten. Sei zunächst ⟨ϕ⟩ = ⟨s⟩. Es ist

δ_{w}(α) = δ_{w}(⟨esπ_{w}⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n})
= ⟨\overline{\frac{es}{π_{v}^{v(es)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n},

da w(esπ_{w}) ≡ 1 mod 2 ist. Andererseits ist

δ_{v}(c_{E/F} (α)) = δ_{v}(⟨es, esπ_{v}⟩ ⊗ d_{F/k}π_{v} ∧ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n})
= ⟨\overline{\frac{es}{π_{v}^{v(es)}}} ⟩ ⊗ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(v)/k}\overline{s}_{n}.

Nun sei ⟨ϕ⟩ = ⟨sπ_{w}⟩ . Es ist

δ_{w}(α) = δ_{w}(⟨es⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} ∧ d_{E/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{E/k}s_{n})
= 0,

da w(es) ≡ 0 mod 2.

Weiterhin ist

δ_{v}(c_{E/F} (α)) = δ_{v}(0)
= 0.

Damit kommutiert das Diagramm auch in diesem Fall.

Der 5. Schritt ist jetzt erledigt.

6. Schritt: Im Fall char(k) = p > 0 ist zum Beweis des Satzes noch der Fall einer separablen Erweiterung E/F mit Verzweigungsindex p^{k} (k ∈ ℕ) und total inseparabler Restekörpererweiterung κ(w)/κ(v) zu betrachten. Nach eventueller Adjunktion von Elementen s_{1}, ..., s_{n} ∈ O_{v}^{∗}, deren Bilder in κ(v) eine separierende Transzendenzbasis von κ(v)/k bilden, zu k und nach Übergang zu einem vollkommenem Abschluß von k(s_{1}, ..., s_{n}), dürfen wir κ(w) = κ(v) und κ(v)/k als endlich annehmen. Alsdann ist [E : F] = e(w | v) = p^{k}. Ist π_{w} ein Primelement von w, so ist E = F (π_{w}) und das Minimalpolynom P (t) von π_{w} über F ist ein Eisenstein-Polynom. Nun ist π_{v} := −N_{E/F} (−π_{w}) ein Primelement von v und es gilt π_{w}^{e} = π_{v}u′ mit u′ ∈ O_{w}^{∗} und \overline{u′} = 1. Die Identität d_{E/k}P (π_{w}) = 0 liefert die Gleichheit

d_{E/k}π_{w} = uP′(π_{w})^{−1}d_{E/k}π_{v}

mit u ∈ O_{w}^{∗} und \overline{u} = 1. Zum Beweis der Kommutativität des Diagramms

�  _{δ_{w}} �  _{δ_{v}} �_{c_{E/F}}  W̃ (κ(v)) W̃ (F) W̃ (E)

betrachten wir Formen ⟨s⟩ und ⟨sπ_{w}⟩ in W (E) mit s ∈ O_{w}^{∗}. Es ist wieder ⟨s⟩ = ⟨t⟩ in W (E) mit einer Einheit t ∈ O_{v}^{∗}. Dann ist α = ⟨s⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} = ⟨t⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w} = ⟨t · P′(π_{w})^{−1} · u⟩ ⊗ d_{E/k}π_{v} = ⟨t · P′(π_{w})^{−1}⟩ ⊗ d_{E/k}π_{v}. Es ist δ_{w}(⟨s⟩ ⊗ d_{E/k}π_{w}) = 0. Wegen tr_{E/F}_{∗}(⟨P′(π_{w})^{−1}⟩) = ⟨1⟩ ist aber auch δ_{v}(c_{E/F} (α)) = 0. Damit kommutiert das in Frage stehende Diagramm in diesem Fall. Analog verfährt man mit der Form ⟨sπ_{w}⟩ . Damit ist der 6. Schritt beendet und (2.3.6) bewiesen.

□

2.4 Die Homotopie-und die Reziprozitätseigenschaft

(2.4.1) Es sei F ∈ (C_{fg}/k) und 𝔸_{F}^{1} = Spec(F [u]) der eindimensionale affine Raum über F. Weiter sei H ein 1-dimensionaler F −Vektorraum. Nach (DW̃ 2) hat man für die Körpererweiterung F (u)/F die Restriktion

r_{F (u)/F} : W̃ (F, H) → W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H).

Jeder Punkt x ∈ 𝔸_{F (0)}^{1} definiert eine Bewertung v_{x} auf F (u). Nach (DW̃ 3) hat man daher den Homomorphismus

δ_{x} := δ_{v_{x}} : W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H) → W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} ⊗_{F} H ⊗_{O_{x}} κ(x));

O_{x} ist dabei eine abkürzende Schreibweise für den diskreten Bewertungsring O_{𝔸_{F}^{1} ,x}. Nun ist δ_{x}(α) = 0 für fast alle x ∈ 𝔸_{F (0)}^{1} und beliebige Elemente α aus W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H) (vgl. (3.1.2)), so daß wir also einen Homomorphismus

d := (δ_{x}) : W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H) → ⨁_{x∈𝔸_{F (0)}^{1}} W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} ⊗_{F} H ⊗_{O_{x}} κ(x))

erhalten.

Wir beweisen nun den folgenden fundamentalen Satz:

(2.4.2) Satz: (Homotopieeigenschaft des 𝔸^{1})

Unter den Voraussetzungen von (2.4.1) ist die Sequenz

0 → W̃ (F) ⟶^{r_{F (u)/F}} W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ) ⟶^{d} ⨁_{x∈𝔸_{F (0)}^{1}} W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} (x)) → 0

exakt und spaltet. (Wir haben hier den Vektorraum H weggelassen und wir setzen Ω_{O_{x}/F}^{1} (x) := Ω_{O_{x}/F}^{1} ⊗_{O_{x}} κ(x).)

Beweis: Wir führen (2.4.2) durch Wahl geeigneter Isomorphismen auf einen entsprechenden Satz von Milnor für Wittringe zurück.

Es sei s_{1}, ..., s_{n} eine separierende Transzendenzbasis von F/k und h ≠ 0 ein Element aus H. Dann induziert die Wahl der F −Basis d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} von ω_{F/k} und h von H einen Isomorphismus

i_{1} : W (F) ⟶^{≅} W̃ (F, H).

Nun ist d_{F (u)/F} u eine F (u)−Basis von Ω_{F (u)/F}^{1} und also ist

d_{F (u)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F (u)/k}s_{n} ∧ d_{F (u)/k}u

eine F (u)−Basis von ω_{F (u)/k}. Durch diese Basiswahlen erhält man einen Isomorphismus

i_{2} : W (F (u)) ⟶^{≅} W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H).

Aufgrund dieser Wahlen kommutiert dann das Diagramm

�_{i_{1}} �  _{i_{2}} �  ^{r_{F (u)/F}} �  _{r_{F (u)/F}}  W (F (u)). W (F)  W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H) W̃ (F, H)

Da 𝔸_{F}^{1} glatt ist über F, so ist für jedes x ∈ 𝔸_{F (0)}^{1} d_{O_{x}/k}s_{1}∧...∧d_{O_{x}/k}s_{n}∧d_{O_{x}/k}u eine Basis des freien O_{x}−Moduls ω_{O_{x}/k}. Ist nun \overline{t}_{x1}, ..., \overline{t}_{xn} eine separierende Transzendenzbasis von κ(x)/k und π_{x} ein Primelement der Bewertung v_{x}, so ist d_{O_{x}/k}π_{x}∧d_{O_{x}/k}t_{x1}∧...∧t_{xn} ebenfalls eine O_{x}−Basis von ω_{O_{x}/k}; hierbei sind t_{x1}, ..., t_{xn} ∈ O_{x}^{∗} Liftungen von \overline{t}_{x1}, ..., \overline{t}_{xn}. Folglich existiert eine Einheit e_{x} ∈ O_{x}^{∗} mit

e_{x} · d_{O_{x}/k}π_{x} ∧ d_{O_{x}/k}t_{x1} ∧ ... ∧ t_{xn} = d_{O_{x}/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{O_{x}/k}s_{n} ∧ d_{O_{x}/k}u

Die Wahl der κ(x)−Basis \overline{e}_{x} · d_{κ(x)/k}\overline{t}_{x1} ∧ ... ∧ \overline{t}_{xn} von ω_{κ(x)/k} induziert dann einen Isomorphismus

i_{x} : W (κ(x)) ⟶^{≅} W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} ⊗_{F} H ⊗_{O_{x}} κ(x)).

Da δ_{2}^{π_{x}} : W (F (u)) → W (κ(x)) O_{x}^{∗}−linear ist, so kommutiert dann das Diagramm

�_{i_{2}} �  _{i_{x}} �  ^{δ_{x}} �  _{δ_{2}^{πx}}  W (κ(x)). W (F (u))  W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} ⊗_{F} H ⊗_{O_{x}} κ(x)) W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ⊗_{F} H)

Zusammengenommen hat man also das kommutative Diagramm (wir lassen dabei H wieder weg und bezeichnen Ω_{O_{x}/F}^{1} ⊗_{O_{x}} κ(x) mit Ω_{O_{x}/F}^{1} (x))

� �  ^{r_{F (u)/F}} �  ^{d} � � �  _{r_{F (u)/F}} �  _{(δ_{2}^{πx})} � �  _{i_{1}} �  _{i_{2}} �  _{(i_{x})}  0. ⨁_{x∈𝔸_{F (0)}^{1}} W (κ(x)) W (F (u)) W (F) 0  0 ⨁_{x∈𝔸_{F (0)}^{1}} W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} (x)) W̃ (F (u), Ω_{F (u)/F}^{1} ) W̃ (F) 0

Nach [Mi], Th. 5.3 ist die untere Zeile exakt und spaltet, also tut dies auch die obere. □

(2.4.3) Es sei weiterhin F ∈ (C_{fg}/k) und es sei 𝔸_{F}^{1} = Spec(F [u]) =: X. Es sei L ein beliebiges Geradenbündel auf X. Wir betrachten den Homomorphismus

W̃ (κ(η), L(η)) ⟶^{d:=(δ_{x})} ⨁_{x∈X_{(0)}} W̃ (κ(x), L(x));

dabei ist η der generische Punkt von X. Es ist Pic(X) = 0 und also hat man für ein beliebiges Geradenbündel L einen globalen O_{X}−Isomorphismus L ⟶^{≅} O_{X}. Dieser induziert ein kommutatives Diagramm

�  ^{d} �  _{d} � �  ⨁_{x∈X_{(0)}} W̃ (κ(x), Ω_{O_{x}/F}^{1} (x)). W̃ (κ(η), Ω_{κ(η)/F}^{1} )  ⨁_{x∈X_{(0)}} W̃ (κ(x), L(x)) W̃ (κ(η), L(η))

Nach dem vorhergehenden Satz ist daher der Kern der oberen Randabbildung isomorph zu W̃ (F). Diese Isomorphie ist i. a. nicht kanonisch, sondern hängt vom Geradenbündel und der Wahl des trivialisierenden Isomorphismus ab. (Für eine präzisere Aussage vgl. (3.4.3).)

(2.4.4) Nun sei X ein integres Schema aus (Sch/C_{fg}/k), η der generische Punkt von X und L ein Geradenbündel auf X. Ist X außerdem normal, so ist für jeden Punkt x ∈ X^{(1)} der lokale Ring O_{X,x} ein diskreter Bewertungsring und definiert somit eine (geometrische) Bewertung auf dem Körper κ(η). Nach (DW̃ 3) haben wir somit den Gruppenhomomorphismus

δ_{x} : W̃ (κ(η), L(η)) → W̃ (κ(x), L(x)).

Wir betrachten nun die Gesamtheit der Homomorphismen δ_{x} für alle x ∈ X^{(1)}. Es gilt, wie schon an der entsprechenden Stelle in (2.4.1) erwähnt, δ_{x}(α) = 0 für ein beliebiges Element α ∈ W̃ (κ(η), L(η)) und fast alle x ∈ X^{(1)} (vgl. (3.1.2)).

Ist nun speziell X eine eigentliche Kurve, so erhalten wir die folgende Reziprozitätseigenschaft:

(2.4.5) Satz: Es sei X ∈ (Sch/C_{fg}/k) eine integre, eigentliche und normale Kurve über Spec(F), und η sei der generische Punkt von X. Außerdem sei H ein 1-dimensionaler F −Vektorraum. Dann ist die kanonische Sequenz

W̃ (κ(η), H(η)) ⟶^{(δ_{x})} ⨁_{x∈X_{(0)}} W̃ (κ(x), H(x)) \underrightarrow{∑ c_{κ(x)/F}} W̃ (F, H)

ein Komplex; hierbei ist H(x) := H ⊗_{F} κ(x).

Beweis: Wir lassen im Fortgang des Beweises den Vektorraum H weg. Nach dem Satz von Riemann-Roch ist X projektiv, daher gibt es nach dem projektiven Noetherschen Normalisierungslemma (vgl. [Li], App.A, A.1) einen endlichen Morphismus π : X → ℙ_{F}^{1} . Dieser induziert das Diagramm

�  ^{(δ_{x})} �  ^{∑ c_{κ(x)/F}} �  _{(δ_{y})} �  _{∑ c_{κ(y)/F}} �_{c_{κ(η)/κ(ξ)}} �  _{⨁_{y∈ℙ{1 \atop F (0)}} ∑_{x|y} c_{κ(x)/κ(y)}} �  W̃ (F); ⨁_{y∈ℙ_{F (0)}^{1}} W̃ (κ(y)) W̃ (κ(ξ))  W̃ (F) ⨁_{x∈X_{(0)}} W̃ (κ(x)) W̃ (κ(η))

ξ bezeichnet dabei den generischen Punkt von ℙ_{F}^{1} . Ist nun y ∈ ℙ_{F (0)}^{1} und v_{y} die zugehörige Bewertung auf κ(ξ), so durchlaufen die Bewertungen v_{x} für alle x ∈ π^{−1}(y) die gesamten Fortsetzungen von v_{y} auf κ(η), da π als endlicher Morphismus insbesondere eigentlich ist. Daher kommutiert das linke Viereck nach (2.3.6). Das rechte Viereck kommutiert aufgrund der Funktorialität der Korestriktion. Somit genügt es die Aussage des Satzes für X = ℙ_{F}^{1} zu beweisen. Zum Beweis der Gleichheit

∑_{y∈ℙ_{F (0)}^{1}} c_{κ(y)/F} ∘ δ_{y} = 0

definieren wir für jedes x ∈ ℙ_{F (0)}^{1} − {∞} die Abbildung

Φ^{x} : W̃ (κ(x)) → W̃ (κ(ξ))

wie folgt: Es sei u ∈ κ(ξ)^{∗} eine Transzendenzbasis von κ(ξ) = F (u) über F. Dann induziert die κ(x)(u)−Basis d_{κ(x)(u)/κ(x)}u einen Isomorphismus

i : W̃ (κ(x)(u), Ω_{κ(x)(u)/κ(x)}^{1}) ⟶^{≅} W̃ (κ(x)(u))

und dann sei

Φ^{x}(μ) = c_{κ(x)(u)/F (u)}(⟨u − u(x)⟩ · i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ)))

für alle μ ∈ W̃ (κ(x)).

Sei nun x′ ∈ ℙ_{F (0)}^{1} − {∞} und x′ ≠ x gegeben. Dann gilt:

δ_{x′} ∘ Φ^{x}(μ) = δ_{x′}(c_{κ(x)(u)/F (u)}(⟨u − u(x)⟩ · i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))))
=^{(2.3.6)} ∑_{w|v_{x′}} c_{κ(w)/κ(x′)}(δ_{w}(⟨u − u(x)⟩ i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ)))).

Für jede Bewertung w über v_{x′} ist u − u(x) eine w−Einheit; daher ist jeder Summand nach (2.3.1) von der Form

c_{κ(w)/κ(x′)}(⟨\overline{u − u(x)}⟩ δ_{w}(i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ)))).

Jede Bewertung w über v_{x′} ist aber auf κ(x) trivial, so daß also

δ_{w}(i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))) = 0

gilt. Insgesamt ist also δ_{x′} ∘ Φ^{x} = 0. Weiter ist

δ_{x} ∘ Φ^{x}(μ) = δ_{x}(c_{κ(x)(u)/F (u)}(⟨u − u(x)⟩ · i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))))
= ∑_{w|v_{x}} c_{κ(w)/κ(x)}(δ_{w}(⟨u − u(x)⟩ i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))))
= δ_{w_{0}}(⟨u − u(x)⟩ i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))),

dabei ist w_{0} die Fortsetzung von v_{x} zum Primelement u − u(x) ∈ κ(x)[u]. (Beachte dabei: κ(w_{0}) = κ(x)) Nun ist

δ_{w_{0}}(⟨u − u(x)⟩ i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))) = s_{w_{0}}^{u−u(x)}(i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ)))
= (−1)^{n} · μ,

letzteres wegen d_{κ(x)(u)/κ(x)}(u−u(x)) = d_{κ(x)(u)/κ(x)}u; dabei ist n = (κ(x)/k)_{tr} (vgl. dazu (2.3.4)). Insgesamt haben wir also

δ_{x} ∘ Φ^{x} = (−1)^{n} · id.

Folglich genügt es

∑_{y∈ℙ_{F (0)}^{1}} c_{κ(y)/F} ∘ δ_{y} ∘ Φ^{x} = 0

für alle x ∈ ℙ_{F (0)}^{1} − {∞} zu beweisen. Es ist

∑_{y∈ℙ_{F (0)}^{1}} c_{κ(y)/F} ∘ δ_{y} ∘ Φ^{x} = (−1)^{n}c_{κ(x)/F} + δ_{∞} ∘ Φ^{x}

(n = (κ(x)/k)_{tr}) und wir berechnen

δ_{∞} ∘ Φ^{x}(μ) = δ_{∞}(c_{κ(x)(u)/F (u)}(⟨u − u(x)⟩ · i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))))
= ∑_{w|∞} c_{κ(w)/F} (δ_{w}(⟨u − u(x)⟩ i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))))
= c_{κ(∞)/F} (δ_{∞}(⟨u − u(x)⟩ i(r_{κ(x)(u)/κ(x)}(μ))))
= (−1)^{n+1}c_{κ(x)/F} (μ).

Damit ist der Satz bewiesen. □

Bemerkung: (2.4.5) steht in Parallele zu einem von Geyer, Harder, Knebusch und Scharlau im Jahre 1970 bewiesenen Residuensatz für quadratische Formen über einem algebraischen Funktionenkörper (vgl. [GH], 2). Ist F ein algebraischer Funktionenkörper in einer Variablen mit vollkommenem Konstantenkörper K, so betrachten sie ebenfalls die Wittgruppe W (F, Ω_{F/K}^{1}) der regulären quadratischen Formen über F mit Werten in Ω_{F/K}^{1}. Ist 𝔭 eine Primstelle von F/K, so definieren sie eine kanonische, vom üblichen zweiten Randhomomorphismus abgeleitete, Residuenabbildung

res_{𝔭} : W (F, Ω_{F/K}^{1}) → W (κ(𝔭))

und zeigen dann

∑_{𝔭}(tr_{κ(𝔭)/K})_{∗}(res_{𝔭}(b)) = 0

für alle b ∈ W (F, Ω_{F/K}^{1}). Hierbei durchläuft 𝔭 alle Primstellen von F/K und κ(𝔭) bezeichnet, wie üblich, den Restklassenkörper der Primstelle 𝔭.

3. Der Wittkomplex C_{∗}(X; W̃ , L)  51

3 Der Wittkomplex C_{∗}(X; W̃ , L)

3.1 Der allgemeine Randhomomorphismus

Es sei X ein Objekt aus (Sch/C_{fg}/k). Weiterhin sei L ein Geradenbündel auf X.

Ist x ∈ X ein Punkt, so schreiben wir abkürzend W̃ (x, L) für W̃ (κ(x), L(x)) bzw. W̃ (x) für W̃ (κ(x)).

Ist X ein integres Schema, so bezeichnen wir mit ξ oder ξ_{X} den generischen Punkt von X. Ist X zusätzlich normal, so ist für jeden 1-kodimensionalen Punkt x, d.h. x ∈ X^{(1)}, der lokale Ring O_{X,x} ein diskreter Bewertungsring und definiert folglich eine Bewertung auf O_{X,ξ}.

(3.1.1) Definition: Es sei δ_{x} : W̃ (ξ, L) → W̃ (x, L) für x ∈ X^{(1)} der zugehörige Randhomomorphismus gemäß (DW̃ 3) (vgl. (2.2.6)).

Es gilt nun der folgende Satz.

(3.1.2) Satz: Ist X ∈ (Sch/C_{fg}/k) normal und integer, L ein Geradenbündel auf X und α ∈ W̃ (ξ, L) beliebig, so ist

δ_{z}(α) = 0

für fast alle z ∈ X^{(1)}.

Beweis: Dies ist eine einfache Konsequenz der analogen Aussage für die Divisorabbildung auf X (vgl. [Ha], 6.1). Die Details sind in [Et] ausgeführt.

□

(3.1.3) Für x, y ∈ X definieren wir nun

δ_{y}^{x} : W̃ (x, L) → W̃ (y, L)

wie folgt: Es sei Z := \overline{\{x\}} mit der reduzierten Unterschemastruktur versehen. Wir setzen δ_{y}^{x} = 0, falls y ∉ Z^{(1)} ist. Sonst sei π : Z̃ → Z die Normalisierung von Z; π ist ein endlicher Morphismus (EGA IV, 2, 7.8.6, ii)). Jeder Punkt y′ 52 3.2. Der allgemeine Randhomomorphismus, Unterschemata und

Lokalisierungen

aus der Faser π^{−1}(y) definiert eine Bewertung von κ(x). Die Komposition des zugehörigen Randhomomorphismus (3.1.1) mit der Korestriktion c_{κ(y′)/κ(y)} (DW̃ 2) liefert einen Homomorphismus W̃ (x, L) → W̃ (y, L). Summiert man über alle Punkte y′ der Faser π^{−1}(y), so erhält man den gewünschten Homomorphismus δ_{y}^{x}, also

δ_{y}^{x} := ∑_{y′|y} c_{κ(y′)/κ(y)} ∘ δ_{y′}.

Aus (3.1.2) folgt:

(3.1.4) Lemma: Für jedes x ∈ X und α ∈ W̃ (x, L) gilt δ_{y}^{x}(α) = 0 für fast alle y ∈ X; dabei ist X ∈ (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X.

Bemerkung: Wollen wir das Schema besonders betonen, auf dem der allgemeine Randhomomorphismus berechnet wird, so schreiben wir auch ausführlicher δ_{X} |_{y}^{x} an Stelle von δ_{y}^{x}.

Eine weitere wichtige Eigenschaft des allgemeinen Randhomomorphismus δ_{y}^{x} ist die folgende Geschlossenheitsrelation.

(3.1.5) Satz: Es sei X ein integres Schema aus (Sch/C_{fg}/k) und Z die Lokalisierung von X in einem Punkt der Kodimension 2. L sei ein Geradenbündel auf X. Dann gilt:

0 = ∑_{z∈Z^{(1)}} δ_{z_{0}}^{z} ∘ δ_{z}^{ξ} : W̃ (ξ, L) → W̃ (z_{0}, L);

dabei ist ξ der generische und z_{0} der abgeschlossene Punkt von Z.

Beweis: vgl. [Et]. □

3.2 Der allgemeine Randhomomorphismus, Unterschemata und Lokalisierungen

Es sei X ein Schema in (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X. In diesem Abschnitt stellen wir einige nützliche Beobachtungen über das Verhalten des allgemeinen Randhomomorphismus beim Übergang zu offenen Teilmengen, Lokalisierungen und Fasern zusammen.

(3.2.1) Sind x, y ∈ X Punkte, so hat man nach (3.1.3) den Gruppenhomomorphismus

δ_{y}^{x} : W̃ (x, L) → W̃ (y, L).

Es sei Z := \overline{\{x\}}. Z sei mit der reduzierten Unterschemastruktur von X versehen. Es sei weiterhin y ∈ Z^{(1)}. Wir setzen Y := Spec(O_{Z,y}) und betrachten den kanonischen Morphismus Y → Z. Y ist ein eindimensionales, integres Schema mit den Punkten y und x. Aus der Konstruktion des allgemeinen Randhomomorphismus entnimmt man dann die Gleichheit

δ_{X} |_{y}^{x}= δ_{Y} |_{y}^{x} .

Zur Berechnung von δ_{y}^{x} dürfen wir also zur Lokalisierung Spec(O_{Z,y}) übergehen.

(3.2.2) Nun sei π : Y → X ein Morphismus in (Sch/C_{fg}/k). Es seien x, y ∈ Y Punkte mit π(x) = π(y) =: z; x und y liegen also in derselben Faser Y_{κ(z)} = Y ×_{X} Spec(κ(z)) → Spec(κ(z)). Bezeichnet Z′ den Abschluß von x in Y_{κ(z)} und Z den Abschluß von x in Y, so gilt nach EGA IV, 2, 5.6.1.1

y ∈ Z^{′(1)} ⟺ y ∈ Z^{(1)},

und alsdann folgt wieder δ_{Y_{κ(z)}} |_{y}^{x}= δ_{Y} |_{y}^{x} . Der allgemeine Randhomomorphismus ist damit verträglich mit der Einschränkung auf Fasern.

(3.2.3) Es sei abschließend X ∈ (Sch/C_{fg}/k) und U ⊆ X eine offene Teilmenge, versehen mit der induzierten Unterschemastruktur. Es seien weiter x, y ∈ U ⊆ X. Bezeichnet wiederum Z′ den Abschluß von x ∈ U, und Z den von x in X, so gilt diesmal klarerweise

y ∈ Z^{′(1)} ⟺ y ∈ Z^{(1)}.

Daher gilt

δ_{U} |_{y}^{x}= δ_{X} |_{y}^{x} .

Der allgemeine Randhomomorphismus ist damit verträglich mit der Einschränkung auf offene Teilmengen.

3.3 Der Komplex

Es sei X aus (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X.

(3.3.1) Definition: Für ein p ∈ ℤ setze

C_{p}(X; W̃ , L) := ⨁_{x∈X_{(p)}} W̃ (x, L);

(ist X_{(p)} = ∅, so sei C_{p}(X; W̃ , L) = 0.) Ist L = O_{X}, so schreiben wir für C_{p}(X; W̃ , O_{X}) auch einfach C_{p}(X; W̃). d = d_{X} : C_{p}(X; W̃ , L) → C_{p−1}(X; W̃ , L) sei komponentenweise durch d_{y}^{x} := δ_{y}^{x} (vgl. (3.1.3)) definiert.

Bemerkungen:

1. Die Definition von d_{X} ist wegen (3.1.4) sinnvoll.

2. Es ist dim(x, X) = dim(\overline{\{x\}}) = (κ(x)/F)_{tr}, falls X von endlichem Typ über Spec(F) ist.

3. Nach kanonischer Identifizierung ist C_{p}(X; W̃) = ⨁_{x∈X_{(p)}} W̃ (x).

4. Wollen wir die Stelle des Komplexes genauer spezifizieren, an der d_{X} gebildet wird, so schreiben wir manchmal auch d_{X,n}.

(3.1.6) hat nun folgende wichtige Konsequenz.

(3.3.2) Satz: Es gilt d_{X} ∘ d_{X} = 0.

Beweis: (vgl. [Ro], 3.3) Wir betrachten die Folge

... → ⨁_{x∈X_{(p+1)}} W̃ (x, L) ⟶^{d_{X}} ⨁_{x∈X_{(p)}} W̃ (x, L) ⟶^{d_{X}} ⨁_{x∈X_{(p−1)}} W̃ (x, L) → ...

Für beliebige p haben wir d_{X} ∘ d_{X} |_{z}^{x}= 0 für alle x ∈ X_{(p+1)} und z ∈ X_{(p−1)} zu zeigen.

Sei x ∈ X_{(p+1)} und z ∈ X_{(p−1)} beliebig, aber fest. Nach Definition von d_{X} haben wir nun

∑_{y∈X_{(p)}} δ_{z}^{y} ∘ δ_{y}^{x} = 0

zu beweisen. Um ∑_{y∈X_{(p)}} δ_{z}^{y} ∘ δ_{y}^{x} = 0 zu beweisen, brauchen wir nur über solche Punkte

y ∈ X_{(p)} zu summieren, für die z ∈ \overline{\{y\}} und y ∈ \overline{\{x\}} gilt. Es sei Y = Spec(O_{\overline{\{x\}},z}). Y ist integer und lokal. Da alle Schemata aus (Sch/C_{fg}/k) katenarisch sind, so folgt

codim(z, x) = codim(z, y) + codim(y, x)

und also ist dim(Y) = 2. Weiter gilt X_{(p)} ∩ Y = Y_{(1)}. Aufgrund der Verträglichkeit des allgemeinen Randhomomorphismus mit Lokalisierungen, vgl. (3.2.1), und (3.1.5) gilt dann

∑_{y∈X_{(p)}} δ_{z}^{y} ∘ δ_{y}^{x} = ∑_{y∈Y_{(1)}} δ_{z}^{y} ∘ δ_{y}^{x} = 0

und damit ist der Satz bewiesen. □

(3.3.3) Der Komplex

C_{∗}(X; W̃ , L) = (C_{p}(X; W̃ , L), d_{X})_{p∈ℤ}

heißt Wittkomplex auf X mit Werten in L.

(3.3.4) Ist dim(X) = d und wollen wir den Kodimensionsindex benutzen, dann setzen wir

C^{p}(X; W̃ , L) := ⨁_{x∈X^{(p)}} W̃ (x, L) = ⨁_{x∈X_{(d−p)}} W̃ (x, L) = C_{d−p}(X; W̃ , L)

und

d_{X} : C^{p}(X; W̃ , L) = C_{d−p}(X; W̃ , L) → C_{d−p−1}(X; W̃ , L) = C^{p+1}(X; W̃ , L).

Wir bezeichnen diesen Komplex mit C^{∗}(X; W̃ , L).

(3.3.5) Es sei nun k für einen Augenblick nicht mehr vollkommen. (Es sei aber weiterhin char(k) ≠ 2.) Es sei F eine endlich erzeugte Körpererweiterung von k, X ein algebraisches F −Schema und L ein Geradenbündel auf X. Wir wollen nun in Verallgemeinerung von (3.3.1) den Wittkomplex auf X mit Werten in L erklären. Dies geschieht wie folgt: Es sei k′ ein vollkommener Abschluß von k und F′ das eindeutig bestimmte Kompositum von F und k′ über k. F′ ist eine endlich erzeugte Körpererweiterung von k′ und wir bilden die Basiserweiterung X′ = X⊗_{F} F′; die Projektion p : X ⊗_{F} F′ → X ist ein radizieller Morphismus, also insbesondere injektiv und damit auch bijektiv. Darüberhinaus gilt p(X′_{(q)}) = X_{(q)}. Es sei nun

C_{∗}(X; W̃ , L) := C_{∗}(X′; W̃ , p^{∗}L).

Studieren wir im folgenden Wittkomplexe auf beliebigen algebraischen F − Schemata, und ist F endlich erzeugt über einem Grundkörper k, so können wir im Sinne von (3.3.5) k immer als vollkommen annehmen.

3.4 Die Homologie des Wittkomplexes

Ist X ein Schema aus (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X, so haben wir also auf X den Wittkomplex C_{∗}(X; W̃ , L) mit Werten in L,

... → ⨁_{x∈X_{(p+1)}} W̃ (x, L) ⟶^{d_{X}} ⨁_{x∈X_{(p)}} W̃ (x, L) ⟶^{d_{X}} ⨁_{x∈X_{(p−1)}} W̃ (x, L) → ...

(3.4.1) Definition: Für alle p ∈ ℤ sei HW_{p}(X; W̃ , L) :=p-te Homologiegruppe des Wittkomplexes C_{∗}(X; W̃ , L) mit Werten in L. Ferner sei HW^{p}(X; W̃ , L) :=p-te Kohomologiegruppe von C^{∗}(X; W̃ , L).

(3.4.2) Notiz: Ist dim(X) = d, so ist HW_{p}(X; W̃ , L) = HW^{d−p}(X; W̃ , L).

Nun ist also der Wittkomplex etabliert, und in der weiteren Arbeit wird es nun darum gehen die funktoriellen Eigenschaften des Komplexes und seiner Homologiegruppen zu studieren und den Komplex für gewisse Schemata zu verstehen.

Einen speziellen Wittkomplex haben wir nebenbei schon studiert, nämlich den der affinen Geraden.

(3.4.3) Es sei 𝔸_{F}^{1} = Spec(F [u]) ∈ (Sch/C_{fg}/k) der 1-dimensionale affine Raum über einem Körper F. Betrachten wir den Wittkomplex auf 𝔸_{F}^{1} mit Werten in dem Geradenbündel Ω_{𝔸_{F}^{1}/F}^{1} , so liefert die exakte Sequenz in

(2.4.2) eine vollständige Beschreibung der Homologie von C_{∗}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , Ω_{𝔸_{F}^{1}/F}^{1} ), nämlich

HW_{i}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , Ω_{𝔸_{F}^{1}/F}^{1} ) = \{ \begin{matrix}0 & für i = 0 \\ W̃ (F) & für i = 1. \end{matrix}

Gemäß (2.4.3) bleibt obiges Ergebnis auch richtig, wenn wir Ω_{𝔸_{F}^{1}/F}^{1} durch ein beliebiges anderes Geradenbündel L auf 𝔸_{F}^{1} ersetzen, d.h. es gilt

HW_{0}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , L) = 0

und

HW_{1}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , L) ≅ W̃ (F).

Allerdings ist letztere Isomorphie nicht kanonisch, sondern hängt vom Geradenbündel und dem gewählten, L trivialisierenden, Isomorphismus ab. Präziser heißt das: Fixiert man eine Trivialisierung t : O_{𝔸_{F}^{1}} ⟶^{≅} L, so induziert diese, wie in

(2.4.3) beschrieben, einen Isomorphismus j : W̃ (F) ⟶^{≅} HW_{1}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , L). t induziert aber auch in offensichtlicher Weise einen Isomorphismus m :

Aut_{O_{𝔸^{1}_{F}}} (L) ⟶^{≅} F^{∗}.

Aut_{O_{𝔸^{1}_{F}}} (L) operiert dann vermöge j auf W̃ (F) in der folgenden Weise:

Ist f ∈ Aut_{O_{𝔸^{1}_{F}}} (L), und bezeichnet \overline{f} den induzierten Automorphismus von

HW_{1}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , L), so kommutiert das Diagramm

�_{m(f)} �  ^{j} �  _{\overline{f}} �  _{j}  HW_{1}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , L); W̃ (F)  HW_{1}(𝔸_{F}^{1} ; W̃ , L) W̃ (F)

dabei ist der linke vertikale Pfeil die Multiplikation mit m(f) ∈ F^{∗}.

4 Push-forward und Pull-back

In diesem Kapitel etablieren wir alle Typen von Operationen, die wir beim Studium des Wittkomplexes immer wieder brauchen werden.

4.1 Push-forward

Es sei f : X → Y ein Morphismus in (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf Y. Wir definieren für alle p ∈ ℤ

f_{∗} : C_{p}(X; W̃ , f^{∗}L) → C_{p}(Y; W̃ , L)

komponentenweise wie folgt:

(f_{∗})_{y}^{x} = \{ \begin{matrix}c_{κ(x)/κ(y)}, & falls & y = f(x) \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Beachte: Für y = f(x) und dim(x, X) = dim(y, Y) ist κ(x)/κ(y) automatisch endlich, und wir haben also die Korestriktion c_{κ(x)/κ(y)} gemäß (DW̃ 2) (vgl. (2.2.4)).

Push-forward besitzt die folgende Funktorialitätseigenschaft:

(4.1.1) Satz: Es seien f : X → Y und g : Y → Z Morphismen in (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf Z. Dann gilt:

(g ∘ f)_{∗} = g_{∗} ∘ f_{∗}.

Beweis: Da Push-forward komponentenweise durch die Korestriktion gegeben ist, so folgt die behauptete Funktorialität aus der Funktorialität der Korestriktion (vgl. (2.2.5)). □

4.2 Pull-back

In diesem Abschnitt etablieren wir zu einem gegebenem glatten Morphismus von Schemata aus (Sch/C_{fg}/k) von konstanter relativer Dimension eine Pull-back- Abbildungen zwischen den entsprechenden Wittkomplexen. Dies erfordert etwas mehr Anstrengung.

Es sei also f : X → Y ein Morphismus in (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf Y.f sei nun glatt von der relativen Dimension n. Dann ist Ω_{X/Y}^{1} ein lokalfreier O_{X}−Modul vom Rang n. Folglich ist für x ∈ X

dim_{κ(x)}Ω_{X/Y}^{1} (x) = dim_{κ(x)}Ω_{O_{X,x}/O_{Y,f(x)}}^{1} ⊗_{O_{X,x}} κ(x)
= n.

Sei y := f(x) ∈ Y. Dann hat man die Körpererweiterung κ(y) → κ(x). Ist nun y ∈ Y_{(p)} und x ∈ X_{(p+n)}, so ist wegen der Glattheit von f die Körpererweiterung κ(x)/κ(y) separabel. Nach (DW̃ 1) (vgl. (2.2.2)) hat man für solche Erweiterungen eine Restriktion

r_{κ(x)/κ(y)} : W̃ (y, L(y)) → W̃ (x, ω_{κ(x)/κ(y)} ⊗ (f^{∗}L)(x)).

Wir suchen nun ein Geradenbündel Ω auf X, so daß Ω(x) gerade ω_{κ(x)/κ(y)} ist.

Dazu stellen wir einen Zusammenhang zwischen Ω_{X/Y}^{1} (x) und Ω_{κ(x)/κ(y)}^{1} her.

Für y = f(x) kommutiert das Diagramm

� � � �  κ(x) κ(y)  O_{X,x} O_{Y,y}

und in dieser Situation gilt die folgende allgemeine Tatsache: (4.2.1) Lemma: Sei (A, 𝔪) ⟶^{f} (B, 𝔫) ein lokaler Homomorphismus lokaler Ringe A und B mit den maximalen Idealen 𝔪 bzw. 𝔫. Wir betrachten das kommutative Diagramm

�  ^{f} � � �  _{\overline{f}} l := B/𝔫. k := A/𝔪  B A

Dann hat man eine k−Derivation

�  ^{d} �  d_{B/A}(b) mod (𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)) \overline{b}  Ω_{B/A}^{1}/(𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)) l

(b ist dabei ein Repräsentant von \overline{b} in B) und einen kanonischen Isomorphismus von l−Vektorräumen

�  Ω_{l/k}^{1}, Ω_{B/A}^{1}/(𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫))

welcher das Diagramm

�  _{d} � �  _{d_{l/k}}  Ω_{l/k}^{1} Ω_{B/A}^{1}/(𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)) l

kommutativ macht. M.a.W.: Ω_{B/A}^{1}/(𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)) ist der Differentialmodul von l/k.

Beweis: Es sei Ω′ := 𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫) und Ω := Ω_{B/A}^{1}/Ω′. Weiter sei

�  ^{d} �  d_{B/A}(b) mod (𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)); \overline{b}  Ω_{B/A}^{1}/(𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)) l

dabei ist b ein Repräsentant von \overline{b} in B. Man überzeugt sich nun, daß der Reihe nach gilt:

1. d ist wohldefiniert

2. d ist k−linear

3. d erfüllt die Produktregel.

d ist somit eine k−Derivation.

Es sei nun d_{l/k} ∈ Der_{k}(l, Ω_{l/k}^{1}) die universelle Derivation. Aufgrund der universellen Eigenschaft von Ω_{l/k}^{1} hat man einen eindeutig bestimmten l−Vektorraummorphismus

v : Ω_{l/k}^{1} → Ω_{B/A}^{1}/(𝔫Ω_{B/A}^{1} + Bd_{B/A}(𝔫)),

so daß v ∘ d_{l/k} = d gilt.

Wir betrachten die Komposition

z : B → l ⟶^{d_{l/k}} Ω_{l/k}^{1}

und ersichtlicherweise gilt z ∈ Der_{A}(B, Ω_{l/k}^{1}); hierbei ist Ω_{l/k}^{1} mit der kanonischen B−Modulstruktur versehen. Folglich existiert ein Morphismus von B−Moduln

w : Ω_{B/A}^{1} → Ω_{l/k}^{1}

mit w ∘ d_{B/A} = z. Man hat dann das kommutative Diagramm

� ^{d_{B/A}} �  ^{f} �  _{w} � � �  _{\overline{f}} �  _{d_{l/k}} Ω_{l/k}^{1}  k. l  A B Ω_{B/A}^{1}

Es gilt nun Ω′ ⊆ Ker(w) und also induziert w einen Morphismus

\overline{w} : Ω → Ω_{l/k}^{1}

von l−Vektorräumen mit d_{l/k} = \overline{w} ∘ d. Mit Hilfe der Tatsache, daß Ω als l−Vektorraum von d(l) erzeugt wird, stellt man fest, daß v und \overline{w} zueinander invers sind. \overline{w} macht offenbar das Diagramm in der Behauptung des Lemmas kommutativ. □

(4.2.1) liefert also für unsere Situation

Ω_{κ(x)/κ(y)}^{1} = Ω_{O_{X,x}/O_{Y,y}}^{1}/𝔪_{O_{X,x}}Ω_{O_{X,x}/O_{Y,y}}^{1} + O_{X,x}d_{O_{X,x}}(𝔪_{O_{X,x}}).

Folglich hat man eine kanonische Surjektion

Ω_{X/Y}^{1} (x) → Ω_{κ(x)/κ(y)}^{1}.

Ist nun y ein Punkt der Dimension p und x ein Punkt der Dimension p + n, so gilt (κ(x)/κ(y))_{tr} = n. Da κ(x)/κ(y) eine separable Körpererweiterung ist, so gilt nach [Ku], 5.8 dim_{κ(x)}Ω_{κ(x)/κ(y)}^{1} = (κ(x)/κ(y))_{tr}. Daher ist dim_{κ(x)}Ω_{κ(x)/κ(y)}^{1} = n und also obiger Pfeil ein Isomorphismus. Für solche Punkte lautet die Restriktion also

r_{κ(x)/κ(y)} : W̃ (y, L(y)) → W̃ (x, (Ω_{X/Y}^{n} ⊗ f^{∗}L)(x)).

Wir definieren nun f^{∗} : C_{p}(Y; W̃ , L) → C_{p+n}(X; W̃ , (Ω_{X/Y}^{n} ⊗ f^{∗}L)) für alle p ∈ ℤ komponentenweise durch

(f^{∗})_{x}^{y} = \{ \begin{matrix}r_{κ(x)/κ(y)}, & falls & f(x) = y \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(4.2.2) Sei f : X → Y ein taler Morphismus in (Sch/C_{fg}/k). Dann ist f glatt von der relativen Dimension 0 (EGA IV, 4, 17.11.1). Insbesondere ist Ω_{X/Y}^{1} = 0. Ist L ein Geradenbündel auf Y, dann hat man nach dem gerade Gesagten das Pull-back

f^{∗} : C_{p}(Y; W̃ , L) → C_{p}(X; W̃ , f^{∗}L).

Pull-back ist in der folgenden Weise funktoriell:

(4.2.3) Satz: Es seien g : Y → X und f : Z → Y Morphismen in (Sch/C_{fg}/k). g sei glatt von der relativen Dimension n und f sei glatt von der relativen Dimension m. Dann ist g ∘ f glatt von der relativen Dimension n + m und es gilt:

(g ∘ f)^{∗} = f^{∗} ∘ g^{∗}.

Beweis: Es gilt kanonisch f^{∗}Ω_{Y/X}^{n} ⊗_{O_{Z}} Ω_{Z/Y}^{m} = Ω_{Z/X}^{n+m} (vgl. [AK], ch.VII, 3.12); daher folgt die Behauptung aus der Funktorialität der Restriktion (vgl. (2.2.3)). □

5. Funktorielle Eigenschaften von C_{∗}(X; W̃ , L)  65

5 Funktorielle Eigenschaften von C_{∗}(X; W̃ , L)

Dieses Kapitel beinhaltet die zentralen technischen Resultate dieser Theorie, nämlich das Verhalten von Push-forward und Pull-back bei kartesischen Quadraten und die Verträglichkeit dieser Morphismen mit den Differentialen des Wittkomplexes.

5.1 Pull-back und Push-forward als Komplexmorphismen

Das folgende Resultat über kartesische Quadrate ist in Zykeltheorien wohlbekannt (vgl. [Fu], 1.7 und [Ro], 4.1).

(5.1.1) Satz: Es sei

�  ^{g′} �  _{f} �_{f′} �  _{g} □  X Y  Z Y ×_{X} Z = U

ein kartesisches Quadrat in (Sch/C_{fg}/k); dabei sei g glatt von der relativen Dimension n und f sei ein beliebiger Morphismus in (Sch/C_{fg}/k). Weiterhin sei L ein Geradenbündel auf X. Dann kommutiert für jedes p ∈ ℤ das Diagramm

�  ^{g′^{∗}} �_{f′_{∗}} �  _{f_{∗}} �  _{g^{∗}}  C_{p}(X; W̃ , L), C_{p+n}(Y; W̃ , Ω_{Y/X}^{n} ⊗ g^{∗}L)  C_{p}(Z; W̃ , f^{∗}L) C_{p+n}(U; W̃ , Ω_{U/Z}^{n} ⊗ (fg′)^{∗}L)

d.h. es gilt:

g^{∗} ∘ f_{∗} = f′_{∗} ∘ g′^{∗}.

Beweis: Es sei δ := g^{∗} ∘ f_{∗} − f′_{∗} ∘ g′^{∗}. Wir haben δ_{y}^{z} = 0 für alle z ∈ Z_{(p)} und y ∈ Y_{(p+n)} zu zeigen.

1. Fall: Es sei f(z) ≠ g(y). Dann ist g^{∗} |_{y}^{f(z)} ∘f_{∗} |_{f(z)}^{z}= 0, da g^{∗} |_{y}^{f(z)}= 0 nach Definition von g^{∗} gilt. Weiterhin ist f′_{∗} |_{y}^{u} ∘g′^{∗} |_{u}^{z}= 0 für alle u ∈ U_{z}, da f′(u) ≠ y gilt.

2. Fall: Nun sei x := f(z) = g(y). Es gilt dim(x, X) ≤ dim(z, Z) = p. Nun ist g von der relativen Dimension n und also ist dim(y, Y) ≤ dim(x, X)+ n, so daß auch dim(x, X) ≥ p ist, so daß wir schließlich p = dim(x, X) = dim(z, Z) erhalten. Somit ist κ(z) endlich über κ(x). Da Push-forward und Pull-back lokale Konstruktionen sind, können wir offenbar Z = Spec(κ(z)) und X = Spec(κ(x)) annehmen. Dann ist f : Z → X flach und endlich. Nach Konstruktion von g^{∗} können wir auch Y durch Spec(κ(y)) ersetzen, so daß wir Y = Spec(κ(y)) annehmen. Alsdann genügt es nach EGA I^{∗}, 3.2.7.1 das folgende kartesische Quadrat zu betrachten

�  ^{g′} �_{f′} �  _{g} �  _{f} □ Spec(κ(x)). Spec(κ(y))  Spec(κ(z)) Spec(κ(y) ⊗_{κ(x)} κ(z))

Wir setzen zur Abkürzung K := κ(x), K′ := κ(y), L := κ(z). Bezeichnen wir des weiteren die Körper K′ ⊗_{K} L/𝔪_{i} (𝔪_{i} durchläuft hierbei die endlich vielen maximalen Ideale von K′ ⊗_{K} L) mit L_{i}, so haben wir die Kommutativität des Diagramms

�  ^{r_{L_{i}/L}} �_{∑_{i} c_{L_{i}/K′}} �  _{c_{L/K}} �  _{r_{K′/K}} W̃ (K) W̃ (K′, ω_{K′/K})  W̃ (L) ⨁_{i} W̃ (L_{i}, ω_{L_{i}/L})

nachzuweisen. (Wir haben die von dem Geradenbündel L stammenden Vektorräume in diesem Diagramm weggelassen.) Dies geschieht in mehreren Schritten.

1. Schritt: Es sei L separabel über K. Dann ist R := K′ ⊗_{K} L eine endliche, separable Algebra über K′ und nach dem chinesischen Restsatz gilt

R = ∏_{i} R/𝔪_{i} = ∏_{i} L_{i},

wobei 𝔪_{i} die endlich vielen maximalen Ideale von R durchläuft. Wir haben die Formel

(∗) r_{K′/K} ∘ c_{L/K} = ∑_{L_{i}|K′} c_{L_{i}/K′} ∘ r_{L_{i}/L}

zu beweisen. Dazu betrachten wir die Körperdiagramme

� � � �  K. K′  L L_{i}

Im Hinblick auf die Gruppenstruktur von W̃ , stellt man (wie im dritten Beweisschritt von (2.3.6)) fest, daß sich (∗) aus der folgenden Aussage (∗∗) über das funktorielle Verhalten des Wittrings ergibt:

(∗∗) r_{K′/K} ∘ c_{L/K} = ∑_{L_{i}|K′} c_{L_{i}/K′} ∘ r_{L_{i}/L} : W (L) → W (K′).

r ist dabei die natürliche Restriktion und c der Scharlau-Transfer zum Spurfunktional. Nach dem Spurlemma (2.3.7) gilt tr_{R/K′}(x ⊗ 1) = tr_{L/K}(x) für alle x ∈ L und also ist tr_{L/K} ⊗ id_{K′} = tr_{R/K′}. Nun ist wie bereits festgestellt R = ∏ L_{i} und wieder folgt aus dem Spurlemma (2.3.7) tr_{L_{i}/K′} = tr_{R/K′} | L_{i}. Daher ist (∗∗) gerade die Aussage des Satzes 2.2 in [Ar].

2. Schritt: Es sei L/K eine total inseparable Körpererweiterung vom Grad p := char(k). Es ist also L = K( ^{p} \sqrt{a}) mit einem a ∈ K. Da K′/K separabel ist, so ist L′ := L ⊗_{K} K′ = K′( ^{p} \sqrt{a}) ein Körper. Die Verträglichkeit von Differentialmoduln mit Basiserweiterungen liefert einen kanonischen Isomorphismus von eindimensionalen L′−Vektorräumen

Ω_{L/K}^{1} ⊗_{L} L′ ⟶^{≅} Ω_{L′/K′}^{1}.

Mit Hilfe dieser Vorüberlegungen überprüft man nun anhand der Definition von c_{L/K} für total inseparable Erweiterungen (vgl. (2.2.4)) und der Restriktion r_{K′/K} für separable Erweiterungen die Kommutativität von

�  ^{r_{L′/L}} �  _{r_{K′/K}} �_{c_{L′/L}} �  _{c_{L/K}} W̃ (K) W̃ (K′, ω_{K′/K})  W̃ (L) W̃ (L′, ω_{L′/L})

(vgl. dazu auch den zweiten Beweisschritt von (2.3.6)).

3. Schritt: Es sei nun L/K eine beliebige endliche Erweiterung. Wir bilden den separablen Abschluß K_{s} von K in L. Dann ist K_{s}/K endlich, separabel und L/K_{s} endlich, total inseparabel. Ist K_{s} ≠ L, so zerlegen wir L/K_{s} in eine Folge von total inseparablen Erweiterungen K_{s} =: K_{0} ⫋ K_{1} ⫋ ... ⫋ K_{n} := L, wobei für alle i = 1, ..., n [K_{i} : K_{i−1}] = p gilt. Für die Tensorprodukte K′⊗_{K}L_{i} und K′⊗_{K}L_{i−1} ist die induzierte Abbildung auf den Spektren

Spec(K′ ⊗_{K} L_{i}) → Spec(K′ ⊗_{K} L_{i−1})

bijektiv. Beachtet man außerdem, daß für eine beliebige separable Erweiterung Z/F und eine Erweiterung M/F, welche endlich, separabel oder total inseparabel vom Grad p ist, alle Komposita von Z und M über F separable Erweiterungen von M sind, so folgt die Kommutativität des in Frage stehenden Diagramms aus den beiden vorhergehenden Schritten. Damit ist der Satz bewiesen. □

Dieser Satz ist ein entscheidendes Hilfsmittel beim Beweis der Verträglichkeit von Pull-back mit dem Differential des Wittkomplexes.

Wir kommen nun zur Verträglichkeit von Push-forward mit dem Differential des Wittkomplexes.

(5.1.2) Satz: Es sei f : X → Y ein eigentlicher Morphismus in der Kategorie (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf Y. Dann kommutiert für alle p ∈ ℤ das Diagramm

�  ^{f_{∗}} �  _{f_{∗}} �_{d_{X}} �  _{d_{Y}} C_{p−1}(Y; W̃ , L), C_{p−1}(X; W̃ , f^{∗}L)  C_{p}(Y; W̃ , L) C_{p}(X; W̃ , f^{∗}L)

d.h. es gilt: d_{Y} ∘ f_{∗} = f_{∗} ∘ d_{X}.

Beweis: Es sei δ(f_{∗}) = d_{Y} ∘ f_{∗} − f_{∗} ∘ d_{X}. Wir haben δ(f_{∗})_{y}^{x} = 0 für alle x ∈ X_{(p)} und y ∈ Y_{(p−1)} zu zeigen. Es sei z := f(x) und dim(z, Y) =: q.

1. Fall: Es sei y ∉ \overline{\{z\}}. Dann ist d_{Y} ∘ f_{∗} |_{y}^{x}= 0 nach Definition von d_{Y} .

Außerdem ist auch f_{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}= 0, denn für x′ ∈ \overline{\{x\}}^{(1)} gilt f(x′) ≠ y, denn sonst wäre f(x′) = y ∈ \overline{\{f(x)\}} = \overline{\{z\}}.

2. Fall: Nun sei y = z = f(x). Dann ist d_{Y} ∘ f_{∗} |_{y}^{x}= 0. Zum Beweis von f_{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}= 0 betrachten wir nun die Komposition

\overline{\{x\}} → X →^{f} Y.

Es ist f(\overline{\{x\}}) ⊆ \overline{\{z\}}. Versehen wir \overline{\{x\}} und \overline{\{z\}} jeweils mit der reduzierten Unterschemastruktur, so hat man nach EGA I, 4.1.9 das kommutative Diagramm von Morphismen von Schemata

�  ^{f} � � �  \overline{\{z\}}, \overline{\{x\}}  Y X

und wir bezeichnen den unteren horizontalen Pfeil wieder mit f. Nach EGA II, 5.4.3 ist f : \overline{\{x\}} → \overline{\{z\}} eigentlich. Wir dürfen also Y = \overline{\{z\}} und X = \overline{\{x\}} annehmen. Da sich das Differential des Wittkomplexes auf Fasern einschränkt (vgl. (3.2.2)), so dürfen wir X = \overline{\{x\}} durch X_{κ(y)} und Y durch Spec(κ(y)) ersetzen. Dann ist aber die Normalisierung des Abschlusses von x in X_{κ(y)} eine integre, eigentliche und normale Kurve über κ(y) und alsdann folgt f_{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}= 0 aus der Reziprozitätseigenschaft für Kurven (vgl. (2.4.4)).

3. Fall: Nun sei y ∈ \overline{\{z\}} und y ≠ z, q = dim(z, Y), p = dim(x, X). Es ist p ≥ q und dann p = q, wegen y ∈ \overline{\{z\}} und y ≠ z. Folglich ist κ(x)/κ(z) endlich. Wir dürfen wieder Y = \overline{\{z\}} und X = \overline{\{x\}} annehmen. Wir betrachten das Diagramm

�  ^{g} �_{f̃} �  _{h} �  _{f} Y, Ỹ  X X̃

dabei sind g und h die Normalisierungen von X und Y. Es seien x̃ ∈ X̃ und z̃ ∈ Ỹ die generischen Punkte (welche dann über x ∈ X bzw. z ∈ Y liegen). Wir betrachten

δ(g_{∗}) = d_{X} ∘ g_{∗} − g_{∗} ∘ dX̃

und behaupten

(1) δ(g_{∗}) | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L) = 0.

Es gilt nämlich für alle α ∈ W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)

δ(g_{∗})(α) = d_{X} ∘ g_{∗}(α) − g_{∗} ∘ dX̃(α)
= d_{X}(g_{∗}(α)) − g_{∗} ∘ ( ∑_{x∈X̃^{(1)}} δ_{x}(α))
= d_{X}(g_{∗}(α)) − ∑_{w∈X^{(1)}} c_{κ(x)/κ(w)}(δ_{x}(α));

hierbei sind die w ∈ X^{(1)} mit g(x) = w und x ∈ X̃^{(1)}. Weiter haben wir dann

δ(g_{∗})(α) = d_{X}(g_{∗}(α)) − ∑_{w∈X^{(1)}} c_{κ(x)/κ(w)}(δ_{x}(α))
= d_{X}(α) − ∑_{w∈X^{(1)}} c_{κ(x)/κ(w)}(δ_{x}(α))
= 0,

letzteres nach Definition von d_{X}.

Analog erhält man für

δ(h_{∗}) = d_{Y} ∘ h_{∗} − h_{∗} ∘ dỸ
(2) δ(h_{∗}) | W̃ (z̃, h^{∗}L) = 0.

Die Funktorialität von Push-forward zusammen mit (1) und (2) liefert dann

δ(f_{∗}) ∘ g_{∗} | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L) = (d_{Y} ∘ f_{∗} − f_{∗} ∘ d_{X}) ∘ g_{∗} | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)
= (d_{Y} ∘ f_{∗} ∘ g_{∗} − f_{∗} ∘ d_{X} ∘ g_{∗}) | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)
= (d_{Y} ∘ (h ∘ f̃)_{∗} − f_{∗} ∘ d_{X} ∘ g_{∗}) | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)
= (d_{Y} ∘ h_{∗} ∘ f̃_{∗} − f_{∗} ∘ d_{X} ∘ g_{∗}) | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)
=^{(1),(2)} (h_{∗} ∘ dỸ ∘ f̃_{∗} − h_{∗} ∘ f̃_{∗} ∘ dX̃) | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)
= h_{∗} ∘ δ(f̃_{∗}) | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L)

Nun ist g_{∗} | W̃ (x̃, (fg)^{∗}L) ein Isomorphismus auf W̃ (x, f^{∗}L), so daß es also genügt

δ(f̃)x̃ ; ỹ = 0

für ỹ ∈ Ỹ_{(p−1)} zu zeigen. Es sei nun ũ ∈ X̃ ein Punkt über ỹ. Es ist ũ ∈ X̃^{(1)}. Der lokale Ring in ỹ und alle Urbilder ũ sind diskrete Bewertungsringe, da X̃ und Ỹ normal sind. Da f̃ eigentlich ist, so besteht f̃^{−1}(ỹ) aus allen Bewertungsfortsetzungen von O_{Ỹ ,ỹ} auf O_{X̃,x̃}.

Dann ist

δ(f̃)x̃ ; ỹ = dỸ ∘ f̃_{∗} − f̃_{∗} ∘ dX̃ |x̃ ; ỹ
= δỹ ∘ c_{κ(x̃)/κ(z̃)} − ∑_{ũ} c_{κ(ũ)/κ(ỹ)} ∘ δũ
= 0,

dabei gilt die letzte Gleichheit nach (2.3.6). Damit ist der Satz bewiesen. □

Wir kommen nun zur Verträglichkeit von Pull-back mit dem Differential des Wittkomplexes. Dies behandelt das folgende Resultat.

(5.1.3) Satz: Sei g : Y → X glatt von der relativen Dimension n in (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X. Dann kommutiert für jedes p ∈ ℤ das Diagramm

�  ^{g^{∗}} �  _{g^{∗}} �_{d_{X}} �  _{d_{Y}} C_{p−1+n}(Y; W̃ , Ω_{Y/X}^{n} ⊗ g^{∗}L), C_{p−1}(X; W̃ , L)  C_{p+n}(Y; W̃ , Ω_{Y/X}^{n} ⊗ g^{∗}L) C_{p}(X; W̃ , L)

also gilt: g^{∗} ∘ d_{X} = d_{Y} ∘ g^{∗}.

Ist g zusätzlich noch unverzweigt (von der relativen Dimension 0), so ist g tale (vgl. EGA IV, 4, 17.6.1) und wir erhalten in diesem Spezialfall:

(5.1.4) Satz: Sei g : Y → X ein taler Morphismus in (Sch/C_{fg}/k) und sei L ein Geradenbündel auf X. Dann kommutiert für jedes p ∈ ℤ

�  ^{g^{∗}} �  _{g^{∗}} �_{d_{X}} �  _{d_{Y}} C_{p−1}(Y; W̃ , g^{∗}L). C_{p−1}(X; W̃ , L)  C_{p}(Y; W̃ , g^{∗}L) C_{p}(X; W̃ , L)

(5.1.3) ergibt sich u.a. aus (5.1.4), so daß wir beide Sätze ein Stück weit simultan beweisen.

Beweis von (5.1.3) und (5.1.4):

1. Schritt: Es sei δ(g^{∗}) := d_{Y} ∘ g^{∗} − g^{∗} ∘ d_{X}. Wir haben δ(g^{∗})_{y}^{x} = 0 für x ∈ X_{(p)} und y ∈ Y_{(p+n−1)} zu zeigen. Ist g glatt von der relativen Dimension n, so existiert eine endliche, offene Überdeckung (U_{i})_{1≤i≤k} von Y, so daß sich die Einschränkungen g | U_{i} :

U_{i} → X in der Form U_{i} ⟶^{g′_{i}} 𝔸_{X}^{n} ⟶^{p} X faktorisieren; hierbei ist p jeweils der Projektionsmorphismus, und die g′_{i} sind tale Morphismen (vgl. [AK], ch.VII, 1.1). Gilt nun g′_{i}^{∗} ∘ d_{𝔸_{X}^{n}} = d_{U_{i}} ∘ g′_{i}^{∗} für ein i und p^{∗} ∘ d_{X} = d_{𝔸_{X}^{n}} ∘ p^{∗}, so folgt aus der Funktorialität von Pull-back (vgl. (4.2.3)) (g | U_{i})^{∗} ∘ d_{X} = d_{U_{i}} ∘ (g | U_{i})^{∗}. Gilt (g | U_{i})^{∗} ∘ d_{X} = d_{U_{i}} ∘ (g | U_{i})^{∗} für alle i, so gilt auch d_{Y} ∘ g^{∗} = g^{∗} ∘ d_{X}.

Dies folgt so: Wie gesagt haben wir dazu δ(g^{∗})_{y}^{x} = 0 für x ∈ X_{(p)} und y ∈ Y_{(p+n−1)} zu zeigen. Nun ist y ∈ U_{i}_{(p+n−1)} für mindestens ein i und dann ist g^{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}= (g | U_{i})^{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x} . Weiter gilt für Elemente u ∈ Y_{x} mit d_{Y} |_{y}^{u}≠ 0 notwendig u ∈ U_{i}, so daß nach (3.2.3) d_{Y} |_{y}^{u}= d_{U_{i}} |_{y}^{u} ist. Also ist d_{Y} ∘ g^{∗} |_{y}^{x}= d_{U_{i}} ∘ (g | U_{i})^{∗} |_{y}^{x} . Damit folgt δ(g^{∗})_{y}^{x} = 0.

Um sich von der Richtigkeit von (5.1.3) zu überzeugen, genügt es also (5.1.4) zu beweisen und die Aussage von (5.1.3) für den (glatten) Projektionsmorphismus p : 𝔸_{X}^{n} → X zu verifizieren.

2. Schritt: Es sei nun g : Y → X tale. Wir zeigen δ(g^{∗})_{y}^{x} = 0 für x ∈ X_{(p)} und y ∈ Y_{(p−1)}. Es sei z := g(y).

1. Fall: Es gelte zunächst z ∉ \overline{\{x\}}. Dann ist g^{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}= 0 nach Definition von d_{X} und d_{Y} ∘ g^{∗} |_{y}^{x}= 0, da für alle y′ ∈ Y_{x} y ∉ \overline{\{y′\}} gilt.

2. Fall: Es sei nun z ∈ \overline{\{x\}}. Es ist dim(z, X) = dim(y, Y) = p − 1. Folglich ist z ≠ x und z ∈ \overline{\{x\}}^{(1)}. Wir können als nächstes X = \overline{\{x\}} annehmen und alsdann Y durch Y\overline{\{x\}} = Y ×_{X} \overline{\{x\}} = g^{−1}(\overline{\{x\}}) ersetzen (vgl. (3.1.2)).

Nun sei X̃ ⟶^{f̃} X die Normalisierung von X. Wir betrachten das kartesische Diagramm

�  ^{g′} �  _{g} �_{f̃′} �  _{f̃} X. Y  X̃ Z := Y ×_{X} X̃

Dann gilt nach dem Satz über kartesische Quadrate (vgl. (5.1.1)):

f̃′_{∗} ∘ g^{′∗} = g^{∗} ∘ f̃_{∗}.

Setzen wir nun δ(g^{′∗}) := d_{Z} ∘ g^{′∗} − g^{′∗} ∘ dX̃ und beachten wir, daß f̃ eigentlich ist, so ergibt sich

f̃′_{∗} ∘ δ(g^{′∗}) = f̃′_{∗} ∘ d_{Z} ∘ g^{′∗} − f̃′_{∗} ∘ g^{′∗} ∘ dX̃
=^{(5.1.2)} d_{Y} ∘ f̃′_{∗} ∘ g^{′∗} − f̃′_{∗} ∘ g^{′∗} ∘ dX̃
=^{(5.1.1)} d_{Y} ∘ g^{∗} ∘ f̃_{∗} − g^{∗} ∘ f̃_{∗} ∘ dX̃
=^{(5.1.2)} d_{Y} ∘ g^{∗} ∘ f̃_{∗} − g^{∗} ∘ d_{X} ∘ f̃_{∗}
= δ(g^{∗}) ∘ f̃_{∗}.

Ist x̃, ỹ ∈ X̃ mit f̃(x̃) = x und f̃(ỹ) = y, so induziert f̃_{∗} einen Isomorphismus von W̃ (κ(x̃)) auf W̃ (κ(x)). (Das Geradenbündel ist hier weggelassen.) Es genügt also δ(g^{′∗})x̃ ; ỹ = 0 zu zeigen. Wir dürfen somit X als normal annehmen. Es sei U := \{u ∈ Y_{x}^{(0)} | y ∈ \overline{\{u\}}\}. U ist endlich, und es ist notwendig y ∈ \overline{\{u\}}^{(1)}. Dann ist

δ(g^{∗})_{y}^{x} = ∑_{u∈U} δ_{y}^{u} ∘ g^{∗} |_{u}^{x} −g^{∗} |_{y}^{z} ∘δ_{z}^{x}.

Wir dürfen nun wie üblich X durch Spec(O_{X,z}) und Y durch Spec(O_{Y,y}) ersetzen (vgl. (3.2.1)). Da X normal ist, so ist R := O_{X,z} ein diskreter Bewertungsring und dann S := O_{Y,y} ein lokaler Ring der Dimension ≤ 1.

Es sei \overline{g} : \overline{Y} := Spec(S) → \overline{X} := Spec(R) der von g induzierte lokale Homomorphismus. Da g tale ist, so ist \overline{g} flach und unverzweigt, so daß nach EGA IV, 1, 17.3.3 S ebenfalls ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei κ(u) der Funktionenkörper von \overline{Y} und κ(x) der Funktionenkörper von \overline{X}; des weiteren seien κ(y) bzw. κ(z) die Restekörper von S bzw. R. δ(g^{∗})_{y}^{x} ist dann definitionsgemäß gleich

δ_{u} ∘ r_{κ(u)/κ(x)} − r_{κ(y)/κ(z)} ∘ δ_{z}.

Da \overline{g} wie schon gesagt unverzweigt ist, so besagt (2.3.5) gerade δ(g^{∗})_{y}^{x} = 0. Mithin ist (5.1.4) bewiesen.

3. Schritt: Nun sei p : 𝔸_{X}^{n} → X die Projektion. p ist glatt von der relativen Dimension n. Wegen der Faktorisierung

� � � � �  _{p}  X, 𝔸_{X}^{1} ... 𝔸_{X}^{n−1} 𝔸_{X}^{n}

der Funktorialität von Pull-back und 𝔸_{X}^{k} = 𝔸_{𝔸_{X}^{k−1}}^{1} dürfen wir zum Beweis der Aussage d_{𝔸_{X}^{n}} ∘ p^{∗} = p^{∗} ∘ d_{X} annehmen, daß n = 1 ist. Es sei nun Y := 𝔸_{X}^{1}. Wir betrachten wieder δ(p^{∗}) := d_{Y} ∘ p^{∗} − p^{∗} ∘ d_{X} und wollen δ(p^{∗})_{y}^{x} = 0 für alle x ∈ X_{(p)} und y ∈ Y_{(p)} nachweisen. Es sei z := p(y).

1. Fall: Es gelte z ∉ \overline{\{x\}}. Hier gilt δ(p^{∗})_{y}^{x} = 0 nach denselben Überlegungen, wie an der entsprechenden Stelle im 2. Schritt.

2. Fall: Es sei z = x. Dann ist p^{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}= 0 und

d_{Y} ∘ p^{∗} |_{y}^{x} = ∑_{y′∈Y_{x}} d_{Y} |_{y}^{y′} ∘p^{∗} |_{y′}^{x}
= ∑_{y′∈Y_{x}} d_{Y} |_{y}^{y′} ∘r_{κ(y′)/κ(x)}
= 0,

letzteres, da jeder Summand nach (2.3.2 (2)) gleich Null ist, weil für sämtliche y′ ∈ Y_{x} alle Bewertungen auf κ(y′) mit Zentrum y auf κ(x) trivial sind.

3. Fall: Es sei z ∈ \overline{\{x\}} und z ≠ x. Es ist dann z ∈ \overline{\{x\}}^{(1)}. Wie im zweiten Schritt überzeugt man sich dann davon, daß man X = \overline{\{x\}} und alsdann X als normal annehmen kann. Es ist dann R := O_{X,z} ein diskreter Bewertungsring. Mit dem kanonischen Morphismus f : Spec(R) → X bilden wir das kartesische Diagramm

�  ^{p′} �_{f′} �  _{f} �  _{p}  X. 𝔸_{X}^{1}  Spec(R) 𝔸_{R}^{1}

Nach EGA I^{∗}, 3.2.7 gilt f′(𝔸_{R}^{1}) = p^{−1}(f(Spec(R))) und für u ∈ 𝔸_{R}^{1} induziert f′ einen kanonischen Isomorphismus der Halme O_{𝔸_{X}^{1},f′(u)} →^{≅} O_{𝔸_{R}^{1},u}, und a fortiori einen kanonischen Isomorphismus der Wittgruppen

W̃ (κ(u), ((pf′)^{∗}L)(u)) ⟶^{≅} W̃ (κ(f′(u)), (p^{∗}L)(f′(u))).

Modulo dieser kanonischen Identifizierungen gilt dann für alle u ∈ p^{′−1}(x)

d_{𝔸_{X}^{1}} |_{y}^{u}= d_{𝔸_{R}^{1}} |_{y}^{u}

(vgl. auch (3.2.3)), und wir erhalten schließlich

δ(p^{∗}) |_{y}^{x} = d_{𝔸_{X}^{1}} ∘ p^{∗} − p^{∗} ∘ d_{X} |_{y}^{x}
= d_{𝔸_{R}^{1}} ∘ p^{′∗} − p^{′∗} ∘ d_{R} |_{y}^{x} .

Man beachte hierbei: Obwohl Spec(R) und dann auch 𝔸_{R}^{1} i.a. nicht aus (Sch/C_{fg}/k) sind, so sind in diesem Fall offenbar die Wittkomplexe auf Spec(R) und 𝔸_{R}^{1} gemäß Kapitel 3 erklärt. Ebenfalls ist das Pull-back für den glatten Morphismus p′ wie in (4.2) erklärt.

Es genügt somit die Aussage von (5.1.3) für die Projektion p : 𝔸_{R}^{1} → Spec(R) zu beweisen.

4. Schritt: Wir betrachten nun den glatten Morphismus

p : 𝔸_{R}^{1} := Spec(R[t]) → X := Spec(R),

dabei sei R ein diskreter Bewertungsring. (Alle Restklassenkörper von R und 𝔸_{R}^{1} seien endlich erzeugt über k.) Wir haben d_{𝔸_{R}^{1}} ∘ p^{∗} = p^{∗} ∘ d_{R} zu beweisen.Wir betrachten dazu die Wittkomplexe

�_{d_{𝔸^{1}_{R}}} � � �  _{δ_{z}} � �  _{p^{∗}} �  _{p^{∗}}  0, W̃ (κ(z)) W̃ (K) 0 ⨁_{x∈𝔸_{R(0)}^{1}} W̃ (κ(x)) ⨁_{x∈𝔸_{R(1)}^{1}} W̃ (κ(x)) W̃ (K(t))

dabei ist K = Quot(R) und z der abgeschlossene Punkt von Spec(R). (Die Geradenbündel sind wie üblich weggelassen.) Es ist

p^{−1}(z) = Spec(R[t] ⊗_{R} κ(z))
= Spec(κ(z)[t]).

p^{−1}(z) enthält also genau einen 1−dimensionalen Punkt η, nämlich den generischen Punkt von p^{−1}(z).

Es ist dim(O_{𝔸_{R}^{1},η}) = 1, folglich ist O_{𝔸_{R}^{1},η} ein diskreter Bewertungsring und R → O_{𝔸_{R}^{1},η} ist gerade unverzweigt. Daher folgt d_{𝔸_{R}^{1}} ∘ p^{∗} = p^{∗} ∘ d_{R} wie im 2. Schritt wieder aus (2.3.5). Damit ist (5.1.3) vollständig bewiesen. □

5.2 Die lange exakte Homologiesequenz

Ist X ∈ (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X, so haben wir auf X den Wittkomplex C_{∗}(X; W̃ , L) mit Werten in L (vgl. dazu Kapitel 3). Wir haben mit HW_{p}(X; W̃ , L) seine p−te Homologiegruppe bezeichnet (vgl. (3.4.1)).

(5.2.1) Nun sei i : Y → X eine abgeschlossene Immersion in der Kategorie (Sch/C_{fg}/k). Weiter sei j : U := X − Y → X die offene Immersion des offenen Komplements von i(Y) in X. Wir bezeichnen (Y, i, X, j, U) als das Rand-Tripel zur abgeschlossenen Immersion i : Y → X.

Ist nun L ein Geradenbündel auf X, so haben wir in kanonischer Weise die Wittkomplexe C_{∗}(X; W̃ , L), C_{∗}(Y; W̃ , i^{∗}L) und C_{∗}(U; W̃ , j^{∗}L). Die mengentheoretische Zerlegung

X_{(p)} = i(Y_{(p)}) ∪ U_{(p)}

der p−dimensionalen Punkte von X induziert offenbar eine exakte Sequenz

0 → C_{p}(Y; W̃ , L | Y) →^{i_{∗}} C_{p}(X; W̃ , L) →^{j^{∗}} C_{p}(U; W̃ , L | U) → 0

von abelschen Gruppen für jedes p ∈ ℤ.

Da i_{∗} und j^{∗} nach den Sätzen (5.1.2) und (5.1.4) mit den Differentialen der jeweiligen Komplexe kommutieren, so erhält man folgenden fundamentalen Satz.

(5.2.2) Satz: Es sei X ∈ (Sch/C_{fg}/k), L ein Geradenbündel auf X und (Y, i, X, j, U) das Rand-Tripel zur abgeschlossenen Immersion i : Y → X. Dann hat man eine kurze exakte Sequenz von Komplexen

0 → C_{∗}(Y; W̃ , L | Y) →^{i_{∗}} C_{∗}(X; W̃ , L) →^{j^{∗}} C_{∗}(U; W̃ , L | U) → 0

und folglich eine lange exakte Sequenz der Homologiegruppen

... → HW_{p}(Y; W̃) →^{i_{∗}} HW_{p}(X; W̃) →^{j^{∗}} HW_{p}(U; W̃) →^{δ} HW_{p−1}(Y; W̃) → ...

(Wir haben dabei die jeweiligen Geradenbündel weggelassen.)

6 Die Wittringhomologie affiner und projektiver Räume

6.1 Die Homotopieeigenschaft

Es sei X ein Objekt aus (Sch/C_{fg}/k), L ein Geradenbündel auf X und E ein lokalfreier O_{X}−Modul vom Rang n. Wir bilden das zu E assoziierte lineare Faserbündel 𝕍(E). 𝕍(E) ist ein über X affines Schema, und der Strukturmorphismus π : 𝕍(E) → X ist glatt (EGA IV, 4, 17.3.8) von der relativen Dimension n. Nach (4.2) hat man dann das Pull-back

π^{∗} : C_{p}(X; W̃ , L) → C_{p+n}(𝕍(E); W̃ , Ω_{𝕍(E)/X}^{n} ⊗ π^{∗}L)

für jedes p ∈ ℤ. Da π^{∗} nach (5.1.3) mit den Differentialen der jeweiligen Wittkomplexe kommutiert, so induziert dieser einen, ebenfalls mit π^{∗} bezeichneten, Homomorphismus der Homologiegruppen

π^{∗} : HW_{p}(X; W̃ , L) → HW_{p+n}(𝕍(E); W̃ , Ω_{𝕍(E)/X}^{n} ⊗ π^{∗}L)

für jedes p ∈ ℤ.

Bemerkung: Da E ein lokalfreier O_{X}−Modul von endlichem Rang ist, so hat man einen kanonischen O_{𝕍(E)}−Modulisomorphismus π^{∗}E →^{≅} Ω_{𝕍(E)/X}^{1}. Daher ist kanonisch Ω_{𝕍(E)/X}^{n} ⊗ π^{∗}L = π^{∗}((⋀^{n} E) ⊗_{O_{X}} L).

Unser Hauptergebnis in diesem Abschnitt ist:

(6.1.1) Satz: (Homotopieinvarianz) Es sei X ∈ (Sch/C_{fg}/k), L ein Geradenbündel auf X und E ein lokalfreier O_{X}−Modul vom Rang n. Dann ist

π^{∗} : HW_{p}(X; W̃ , L) → HW_{p+n}(𝕍(E); W̃ , Ω_{𝕍(E)/X}^{n} ⊗ π^{∗}L)

ein Isomorphismus für jedes p ∈ ℤ.

Speziell erhält man dann:

(6.1.2) Korollar: Es sei X ∈ (Sch/C_{fg}/k) und L ein Geradenbündel auf X. Dann ist

π^{∗} : HW_{p}(X; W̃ , L) → HW_{p+n}(𝔸_{X}^{n}; W̃ , Ω_{𝔸_{X}^{n}/X}^{n} ⊗ π^{∗}L)

ein Isomorphismus für jedes p ∈ ℤ.

Beweis von (6.1.2): Die Aussage folgt aus (6.1.1) mit E = O_{X}^{n}. □

Beweis von (6.1.1): Für jede abgeschlossene Teilmenge Z von X, versehen mit der reduzierten Unterschemastruktur von X, ist die Einschränkung

π^{−1}(Z) = 𝕍(E) ×_{X} Z = 𝕍(E | Z) ⟶ Z

glatt von der relativen Dimension n. Zum Beweis des Satzes können wir mittels noetherscher Induktion annehmen, daß der Satz für alle abgeschlossenen Z ⫋ X richtig ist, denn sei nämlich E die Menge aller abgeschlossenen Z ⫋ X, für welche der Satz nicht gilt. Angenommen es gelte E ≠ ∅; dann enthält E ein (bzgl. Inklusion) minimales Element Z_{0}. Dann gilt der Satz für alle abgeschlossenen Y ⫋ Z_{0} und daher auch für Z_{0}; dies ist aber ein Widerspruch.

Es sei U eine E trivialisierende offene Menge von X und Y = X −U das abgeschlossene Komplement, versehen mit der reduzierten Unterschemastruktur. Für jedes p ∈ ℤ haben wir dann nach (5.2.2) ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

�  _{(π|Z)^{∗}} �  _{π^{∗}} �  _{(π|U)^{∗}} � � � �  → HW_{p+n}(𝕍(E | U); W̃) HW_{p+n}(𝕍(E); W̃) HW_{p+n}(𝕍(E | Z); W̃)  ⟶ HW_{p}(U; W̃) HW_{p}(X; W̃) HW_{p}(Z; W̃) ⟶

(Wir haben in diesem Diagramm die jeweiligen Geradenbündel aus Notationsgründen weggelassen. Wir tun dies für die Dauer des Beweises auch weiterhin.)

Nun ist 𝕍(E | U) ≅ 𝕍(O_{X}^{n}) = 𝔸_{X}^{n}. Folglich genügt es nach dem 5-Lemma (6.1.2) zu beweisen.

Wegen der Faktorisierung

� � � � �  _{π}  X, 𝔸_{X}^{1} ... 𝔸_{X}^{n−1} 𝔸_{X}^{n}

der Funktorialität von Pull-back und 𝔸_{X}^{k} = 𝔸_{𝔸_{X}^{k−1}}^{1} sieht man iterativ, daß es genügt die Aussage für

π : 𝔸_{X}^{1} → X

zu beweisen. Es ist π^{−1}(x) = 𝔸_{X}^{1} ×_{X} Spec(κ(x)) = 𝔸_{κ(x)}^{1} für alle x ∈ X, und hieraus liest man für die Menge der p−dimensionalen Punkte von 𝔸_{X}^{1} die Zerlegung

𝔸_{X}^{1}_{(p)} = ⋃_{x∈X_{(p)}} 𝔸_{κ(x)(0)}^{1} ∪ ⋃_{x∈X_{(p−1)}} 𝔸_{κ(x)(1)}^{1}

ab. Es ist definitionsgemäß

C_{p}(𝔸_{X}^{1}; W̃) := ⨁_{x′∈𝔸_{X}^{1}_{(p)}} W̃ (x′).

Obige Zerlegung von 𝔸_{X}^{1}_{(p)} induziert dann offenbar eine Zerlegung

C_{p}(𝔸_{X}^{1}; W̃) = ⨁_{x∈X_{(p)}}( ⨁_{x′∈𝔸_{κ(x)(0)}^{1}} W̃ (x′)) ⊕ ⨁_{x∈X_{(p−1)}}( ⨁_{x′∈𝔸_{κ(x)(1)}^{1}} W̃ (x′))
= ⨁_{x∈X_{(p)}} C_{0}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) ⊕ ⨁_{x∈X_{(p−1)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃). (∗)

Diese Situation stellt sich nun in folgendem Diagramm dar:

�  ^{d′} �  ^{d′} �  _{d′′} �  _{d′′} �  _{d_{X}} �  _{d_{X}} �_{π^{∗}} �  _{π^{∗}} �  _{π^{∗}} ⨁_{x∈X_{(p−2)}} W̃ (x); ⨁_{x∈X_{(p−1)}} C_{0}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) ⨁ ⨁_{x∈X_{(p−2)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) ⨁_{x∈X_{(p−1)}} W̃ (x) ⨁_{x∈X_{(p)}} C_{0}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) ⨁ ⨁_{x∈X_{(p−1)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) ⨁_{x∈X_{(p)}} W̃ (x) ⨁_{x∈X_{(p+1)}} C_{0}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) ⨁ ⨁_{x∈X_{(p)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃)

dabei sei d_{𝔸_{X}^{1}} | ⨁_{x∈X_{(p)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) = d′ + d′′ für jedes p.

Nach (3.2.2) gilt d′′ = ⨁_{x∈X_{(p)}} d_{𝔸_{κ(x)}^{1}} für jedes p und nach Definition von π^{∗},

(5.1.3) und (2.4.2) gilt

(1) π^{∗} ∘ d_{X} = d_{𝔸_{X}^{1}} ∘ π^{∗}
= d′ ∘ π^{∗}.

(2) Aufgrund der Definition von π^{∗} und nach (2.4.2) ist π^{∗} an jeder Stelle von C_{∗}(X; W̃) injektiv, so daß wir

Ker(d_{X}) = Ker(π^{∗} ∘ d_{X})
=^{(1)} Ker(d′ ∘ π^{∗})

erhalten. Außerdem induziert π^{∗} einen Isomorphismus Ker(d_{X}) ≅ π^{∗}(Ker(d_{X})).

(3) Aus (1) erhält man weiterhin

π^{∗}(Im(d_{X})) = Im(π^{∗} ∘ d_{X})
= Im(d′ ∘ π^{∗}).

Aufgrund von (2) und (3) hat man also zum Beweis des Satzes die Isomorphie des kanonischen Morphismus

i : π^{∗}(Ker(d′ ∘ π^{∗}))/Im(d′ ∘ π^{∗}) → Ker(d_{𝔸_{X}^{1}})/Im(d_{𝔸_{X}^{1}})

an jeder Stelle p zu zeigen.

(4) Wir zeigen zunächst die Surjektivität von i : Sei also \overline{α} ∈ HW_{p}(𝔸_{X}^{1}; W̃) beliebig vorgegeben. Es sei α ∈ C_{p}(𝔸_{X}^{1}; W̃) ein Repräsentant dieses Elements. Es ist α = α_{1} + α_{2} gemäß obiger Zerlegung (∗). Da nach (2.4.2) d′′ surjektiv ist, so gibt es ein γ ∈ C_{(p+1)}(𝔸_{X}^{1}; W̃) mit d_{𝔸_{X}^{1}}(γ) = δ + α_{2}.

Dann gilt:

ρ := α − d_{𝔸_{X}^{1}}(γ) ∈ ⨁_{x∈X_{(p−1)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃)

im Sinne der Zerlegung (∗) und weiter gilt

d_{𝔸_{X}^{1}}(ρ) = d_{𝔸_{X}^{1}}(α − d_{𝔸_{X}^{1}}(γ))
= d_{𝔸_{X}^{1}}(α) − d_{𝔸_{X}^{1}}(d_{𝔸_{X}^{1}}(γ))
= 0.

Folglich ist ρ ∈ Ker(d′′) und also nach (2.4.2) ρ ∈ π^{∗}(Ker(d′ ∘ π^{∗})). Nun ist i(ρ) = \overline{α} nach Definition von ρ, so daß i surjektiv ist.

Nun zur Injektivität von i : Sei \overline{α} ∈ π^{∗}(Ker(d′ ∘ π^{∗}))/Im(d′ ∘ π^{∗}) repräsentiert durch α = α_{1} + 0 ∈ C_{p}(𝔸_{X}^{1}; W̃). (Man beachte wieder obige Zerlegung.) Es sei nun α ∈ Im(d_{𝔸_{X}^{1}}). Also existiert ein γ ∈ C_{(p+1)}(𝔸_{X}^{1}; W̃) mit d_{𝔸_{X}^{1}}(γ) = α. Wir schreiben wieder γ = γ_{1} + γ_{2} gemäß (∗). Aufgrund der Surjektivität von d′′ existiert somit ein ϵ ∈ C_{(p+2)}(𝔸_{X}^{1}; W̃) mit d_{𝔸_{X}^{1}}(ϵ) = δ + γ_{2}.

Dann ist γ − d_{𝔸_{X}^{1}}(ϵ) ∈ ⨁_{x∈X_{(p)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃) und es gilt d_{𝔸_{X}^{1}}(γ − d_{𝔸_{X}^{1}}(ϵ)) = α.

Nun ist α ∈ ⨁_{x∈X_{(p−1)}} C_{1}(𝔸_{κ(x)}^{1}; W̃), so daß notwendig γ − d_{𝔸_{X}^{1}}(ϵ) ∈ Ker(d′′)

ist. Nach (2.4.2) ist dann γ − d_{𝔸_{X}^{1}}(ϵ) ∈ Im(π^{∗}) und damit also α ∈ Im(d′ ∘ π^{∗}). Damit ist i injektiv, insgesamt also ein Isomorphismus. Somit ist (6.1.1) vollständig bewiesen. □

(6.1.3) Korollar: (Wittringhomologie des affinen Raums) Es sei F ∈ (C_{fg}/k) und 𝔸_{F}^{n} = Spec(F [t_{1}, ..., t_{n}]) der n−dimensionale affine Raum über F. Es sei L ein Geradenbündel auf 𝔸_{F}^{n} . Wir betrachten den Wittkomplex C_{∗}(𝔸_{F}^{n}; W̃ , L) auf 𝔸_{F}^{n} . Dann gilt:

HW_{p}(𝔸_{F}^{n}; W̃ , L) ≅ \{ \begin{matrix}0 & für & p ≠ n \\ W̃ (F) & für & p = n. \end{matrix}

Beweis: Da Pic(𝔸_{F}^{n}) = 0 ist, und jeder ’globale’ O_{𝔸_{F}^{n}}−Modulmorphismus L ⟶^{≅} O_{𝔸_{F}^{n}} einen Komplexisomorphismus C_{∗}(𝔸_{F}^{n}; W̃) ⟶^{≅} C_{∗}(𝔸_{F}^{n}; W̃ , L) induziert, so dürfen wir L = O_{𝔸_{F}^{n}} annehmen. Dann folgt das Korollar mit (6.1.2) iterativ aus der Homotopieeigenschaft des 𝔸_{F}^{1} (vgl. (2.4.2)). □

Bemerkung: Man beachte, daß die Isomorphie in (6.1.3) i.a. nicht kanonisch ist, sondern von der Wahl des Geradenbündels und der Wahl des trivialisierenden Isomorphismus abhängt. Über die Operation von Aut_{𝔸_{F}^{n}}(L) auf W̃ (F) gilt das gleiche wie für den eindimensionalen affinen Raum (vgl. (3.4.3)).

6.2 Die Wittringhomologie projektiver Räume

Wir studieren in diesem Abschnitt den Wittkomplex projektiver Räume über einem Körper. (6.2.1) Sei also F ∈ (C_{fg}/k) und ℙ_{F}^{1} = Proj(F [x_{0}, x_{1}]) der 1-dimensionale projektive Raum über F. Wir studieren nun Randabbildungen auf dem Funktionenkörper κ(η) = F (\frac{x_{1}}{x_{0}} ) von ℙ_{F}^{1} = D_{+}(x_{0}) ∪ {∞}; dabei ist η der generische Punkt von ℙ_{F}^{1} .

Wir betrachten die beiden Gruppenhomomorphismen

d : W̃ (κ(η)) → ⨁_{x∈ℙ_{F}^{1}_{(0)}} W̃ (κ(x))

mit

d_{x} = δ_{x} für alle x ∈ ℙ_{F}^{1}_{(0)},

und

d′ : W̃ (κ(η)) → ⨁_{x∈ℙ_{F}^{1}_{(0)}} W̃ (κ(x))

mit

d′ = \{ \begin{matrix}δ_{x} & für & x ∈ ℙ_{F}^{1}_{(0)} − \{∞\} \\ s^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} & für & x = ∞. \end{matrix}

Es ist s^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (α) = δ_{∞}(\frac{x_{0}}{x_{1}} · α) für alle α ∈ W̃ (κ(η)) und s^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (α) = δ_{1}^{∞}(α) für alle α ∈ W (κ(η)). Definitionsgemäß ist d das Differential des Wittkomplexes auf ℙ_{F}^{1} mit Werten in O_{ℙ_{F}^{1}}.

Es gilt nun:

(6.2.2) Proposition:

1. Ker(d) ≅ W̃ (F)

2. Koker(d) = W̃ (F)

3. d′ ist ein Isomorphismus.

Beweis: Wir gehen aus von der exakten Sequenz (vgl. 2.4.3)

0 → W̃ (F) ⟶^{i} W̃ (κ(η)) ⟶^{(δ_{x})} ⨁_{x∈ℙ_{F}^{1}_{(0)}−{∞}} W̃ (κ(x)) → 0,

dabei ist i die Komposition

W̃ (F) ⟶^{r_{κ(η)/F}} W̃ (κ(η), Ω_{κ(η)/F}^{1} ) ⟶^{≅} W̃ (κ(η)),

wobei der letzte Isomorphismus durch den F [\frac{x_{1}}{x_{0}} ]−Modulisomorphismus

� �  d(\frac{x_{1}}{x_{0}} ) 1  Ω_{F [ \frac{x_{1}}{x_{0}} ]/F}^{1} F [_{\frac{x_{1}}{x_{0}}} ]

induziert ist. Im folgenden bezeichne α : W̃ (κ(η)) → ⨁_{x∈ℙ_{F}^{1}_{(0)}} W̃ (κ(x)) entweder d oder d′.

Mit obiger kurzer exakter Sequenz erhalten wir dann das kommutative Diagramm

� � � � � � �  _{α} � � �  _{i} �  _{(δ_{x})} � � � � � � � � � � � �  _{pr} � � �  0 Koker(α) W̃ (κ(∞))  0 ⨁_{{x∈ℙ^{1}_{F}_{(0)} \atop x≠∞}} W̃ (κ(x)) ⨁_{x∈ℙ_{F (0)}^{1}} W̃ (κ(x)) W̃ (κ(∞)) 0  0 W̃ (κ(η)) W̃ (κ(η)) 0 0  0 W̃ (F) Ker(α) 0 0  0 0 0

mit exakter zweiter und dritter Zeile und exakter dritter Spalte. Das Schlangenlemma liefert dann die exakte Sequenz

0 → Ker(α) → W̃ (F) →^{δ} W̃ (κ(∞)) → Koker(α) → 0.

Wir berechnen nun δ für α = d oder α = d′.

Es sei β = ⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n} ∈ W̃ (F) mit a ∈ F^{∗}, und s_{1}, ..., s_{n} sei eine separierende Transzendenzbasis von F/k. Dann ist

i(β) = ⟨(−1)^{n}a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k} \frac{x_{1}}{x_{0}} ∧ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{n}
= ⟨(−1)^{n+1}(\frac{x_{1}}{x_{0}} )^{2}a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{n}

= ⟨(−1)^{n+1}a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{n},

also folgt δ_{∞}(i(W̃ (F))) = 0.

Außerdem ist nach (2.4.3) δ_{x}(i(W̃ (F))) = 0 für alle x ∈ ℙ^{1}_{F (0)} − {∞}.

Weiter ist kanonisch κ(∞) ≅ F. Vermöge dieser Isomorphie gilt für i(β) = ⟨(−1)^{n+1}a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{n} ∈ W̃ (κ(η)) mit a ∈ F^{∗} :

s^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (i(β)) = δ2^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (⟨(−1)^{n+1} \frac{x_{0}}{x_{1}} a⟩) ⊗ d_{κ(∞)/k}\overline{s}_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(∞)/k}\overline{s}_{n}
= δ_{1}^{∞}(⟨(−1)^{n+1}a⟩) ⊗ d_{κ(∞)/k}\overline{s}_{1} ∧ .... ∧ d_{κ(∞)/k}\overline{s}_{n}
= (−1)^{n+1} ⟨a⟩ ⊗ d_{F/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{F/k}s_{n}
= (−1)^{n+1} · β.

Also ist

δ = \{ \begin{matrix}(−1)^{n+1} · id & für & α = d′ \\ 0 & für & α = d. \end{matrix}

Die exakte Sequenz aus dem Schlangenlemma liefert dann die Behauptung.

□

(6.2.3) Bemerkung: (6.2.2) besagt also

HW_{0}(ℙ_{F}^{1} ; W̃) ≅ HW_{1}(ℙ_{F}^{1} ; W̃) ≅ W̃ (F).

Dieses Ergebnis gliedert sich in die Aussage des nachfolgenden Satzes ein, der die Homologie des Wittkomplexes auf ℙ_{F}^{1} mit Werten in einem beliebigen Geradenbündel angibt.

(6.2.4) Ist L ein beliebiger invertierbarer Modul auf ℙ_{F}^{n} , so ist L ≅ O_{ℙ_{F}^{n}}(m) für ein m ∈ ℤ (vgl. [Ha], II, 6.16). Daher liefert der folgende Satz eine vollständige Übersicht über die Homologie des Wittkomplexes auf ℙ_{F}^{1} mit Werten in einem beliebigen Geradenbündel auf ℙ_{F}^{1} .

Offenbar ist von vornherein für die Homologie des Wittkomplexes auf dem projektiven Raum ℙ_{F}^{n} lediglich eine Abhängigkeit von Pic(ℙ_{F}^{n})/2 zu erwarten.

(6.2.5) Satz: Sei F ∈ (C_{fg}/k) und ℙ_{F}^{1} = Proj(F [x_{0}, x_{1}]). Wir betrachten für jedes n ∈ ℤ den Wittkomplex C_{∗}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) auf ℙ_{F}^{1} mit Werten in dem invertierbaren Modul O_{ℙ_{F}^{1}}(n). Dann gilt:

HW_{0}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) ≅ HW_{1}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n))
≅ \{ \begin{matrix}W̃ (F), & falls & n ≡ 0 mod 2 \\ 0, & falls & n ≡ 1 mod 2. \end{matrix}

Dieser Satz ergibt sich aus (6.2.2) zusammen mit der folgenden einfachen Beobachtung über den zweiten Randhomomorphismus des Wittrings eines bewerteten Körpers. Obwohl einfach zu sehen, ist sie fundamental für die Wittringhomologie projektiver Räume.

(6.2.6) Lemma: Es sei F ein Körper mit Bewertung v (v sei nicht notwendig geometrisch) und Primelement π_{v}. Dann gilt in W (κ(v)) für alle a ∈ F^{∗}

δ_{2}^{π_{v}}(⟨π_{v}^{n} · a⟩) = δ_{2}^{π_{v}}(⟨a⟩), falls n ≡ 0 mod 2

und

δ_{2}^{π_{v}}(⟨π_{v}^{n} · a⟩) = s_{v}^{π_{v}}(⟨a⟩) = δ_{1}^{v}(⟨a⟩), falls n ≡ 1 mod 2

ist.

Beweis von (6.2.5): Es ist

ℙ_{F}^{1} = D_{+}(x_{0}) ∪ V_{+}((x_{0}))
= D_{+}(x_{0}) ∪ {∞}
= Spec(F [\frac{x_{1}}{x_{0}} ]) ∪ \{∞\}.

Das homogene Primideal (x_{0}) von F [x_{0}, x_{1}] sei also der unendlich ferne Punkt von ℙ_{F}^{1} . Die Multiplikation mit x_{0}^{n} liefert für jedes n ∈ ℤ und alle z ∈ D_{+}(x_{0}) κ(z)−Vektorraumisomorphismen

x_{0}^{n} : κ(z) ⟶^{≅} O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(z).

An dem Punkt ∞ tut dies die Multiplikation mit x_{1}^{n}, also

x_{1}^{n} : κ(∞) ⟶^{≅} O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(∞).

Diese Isomorphismen induzieren in der gewohnten Weise Isomorphismen der Wittgruppen

x_{0}^{n} : W̃ (z) ⟶^{≅} W̃ (z, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(z))

bzw.

x_{1}^{n} : W̃ (∞) ⟶^{≅} W̃ (∞, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(∞)).

Dann kommutiert für alle n ∈ ℤ und z ∈ ℙ_{F}^{1}_{(0)} − {∞} das Diagramm

�  ^{δ_{z}} �  _{δ_{z}} �_{x_{0}^{n}} �  _{x_{0}^{n}} W̃ (z); W̃ (η)  W̃ (z, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(z)) W̃ (η, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(η))

dabei ist η der generische Punkt von ℙ_{F}^{1} . An der unendlichen Stelle kommutiert für jedes n ∈ ℤ das Diagramm

�  ^{δ_{∞}} �  _{δ_{∞}} �_{x_{1}^{n}} �  _{x_{1}^{n}} W̃ (∞). W̃ (η)  W̃ (∞, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(∞)) W̃ (η, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(η))

Nun sei n ∈ ℤ beliebig aber fest und α = ⟨a⟩⊗d_{κ(η)/k}s_{1} ∧...∧d_{κ(η)/k}s_{k} ⊗x_{0}^{n} ∈ W̃ (η, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(η)) vorgegeben. Hierbei ist a ∈ κ(η)^{∗} und s_{1}, ..., s_{k} ∈ κ(η)^{∗} sind Elemente derart, daß das alternierende Produkt d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{k} eine κ(η)−Basis von ω_{κ(η)/k} ist. Dann ist

α = ⟨a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{k} ⊗ (\frac{x_{0}}{x_{1}} )^{n} · x_{1}^{n}
= ⟨(\frac{x_{0}}{x_{1}} )^{n}a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{k} ⊗ x_{1}^{n}
= ⟨(\frac{x_{0}}{x_{1}} )^{n}ba⟩ ⊗ d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧ d_{κ(η)/k}t_{2} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}t_{k} ⊗ x_{1}^{n},

wobei b ∈ κ(η)^{∗} und t_{2}, ..., t_{k} eine separierende Transzendenzbasis von F/k ist. Daher ist

d_{ℙ_{F}^{1}} |_{∞} (α) = δ2^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (⟨(\frac{x_{0}}{x_{1}} )^{n}ba⟩) ⊗ d_{F/k}t_{2} ∧ ... ∧ d_{F/k}t_{k} ⊗ x_{1}^{n}

=^{(6.2.6)} \{ \begin{matrix}δ2^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (⟨ba⟩) ⊗ d_{F/k}t_{2} ∧ ... ∧ d_{F/k}t_{k} ⊗ x_{1}^{n} & für & n ≡ 0 mod 2 \\ δ_{1}^{∞}(⟨ba⟩) ⊗ d_{F/k}t_{2} ∧ ... ∧ d_{F/k}t_{k} ⊗ x_{1}^{n} & für & n ≡ 1 mod 2 \end{matrix}

Es ist

⟨a⟩ ⊗ d_{κ(η)/k}s_{1} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}s_{k} = ⟨ba⟩ ⊗ d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧ d_{κ(η)/k}t_{2} ∧ ... ∧ d_{κ(η)/k}t_{k}.

Dann ist

d |_{∞} (⟨ba⟩⊗d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧d_{κ(η)/k}t_{2}∧...∧d_{κ(η)/k}t_{k}) = δ2^{\frac{x_{0}}{x_{1}}} (⟨ba⟩)⊗d_{F/k}t_{2}∧...∧d_{F/k}t_{k}

bzw.

d′ |_{∞} (⟨ba⟩⊗d_{κ(η)/k} \frac{x_{0}}{x_{1}} ∧d_{κ(η)/k}t_{2}∧...∧d_{κ(η)/k}t_{k}) = δ_{1}^{∞}(⟨ba⟩)⊗d_{F/k}t_{2}∧...∧d_{F/k}t_{k}.

Zusammengenommen haben wir also für n ≡ 0 mod 2 das kommutative Diagramm

�  ^{d_{ℙ^{1}}} �  _{d} � �  ⨁_{x∈ℙ_{F (0)}^{1}} W̃ (x); W̃ (η)  ⨁_{x∈ℙ_{F (0)}^{1}} W̃ (x, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(x)) W̃ (η, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(η))

dabei ist der linke vertikale Isomorphismus x_{0}^{n}, der rechte vertikale Isomorphismus ist in den Summanden der endlichen Stellen ebenfalls x_{0}^{n} und an der unendlichen Stelle x_{1}^{n}. d ist wie in (6.2.1) definiert.

Für n ≡ 1 mod 2 haben wir das kommutative Diagramm

�  ^{d_{ℙ^{1}}} �  _{d′} � �  ⨁_{x∈ℙ_{F (0)}^{1}} W̃ (x); W̃ (η)  ⨁_{x∈ℙ_{F (0)}^{1}} W̃ (x, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(x)) W̃ (η, O_{ℙ_{F}^{1}}(n)(η))

dabei sind die vertikalen Isomorphismen die gleichen wie im vorhergehenden Diagramm und d′ ist wie in (6.2.1) definiert. Jetzt liefert (6.2.2) die Behauptung des Satzes. □

(6.2.7) Bemerkung: Die im Beweis von (6.2.5) gewählte lokale Trivialisierung von O_{ℙ_{F}^{1}}(n) induziert, in Verallgemeinerung der entsprechenden Tatsache für den 𝔸_{F}^{1} (vgl. (3.4.3)), einen Isomorphismus

m : Aut_{O_{ℙ^{1}_{F}}} (O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) ⟶^{≅} F^{∗}.

Es sei n ≡ 0 mod 2. Ist j : W̃ (F) ⟶^{≅} HW_{0}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) ein Isomorphismus, f ∈ Aut_{O_{ℙ^{1}_{F}}} (O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) und \overline{f} der induzierte Automorphismus von

HW_{0}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)), so kommutiert das Diagramm

�  ^{j} �  _{j} �  _{\overline{f}} �_{m(f)}  HW_{0}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)); W̃ (F)  HW_{0}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) W̃ (F)

dabei ist der linke vertikale Pfeil die Multiplikation mit m(f) ∈ F^{∗}. Entsprechendes gilt für HW_{1}(ℙ_{F}^{1} ; W̃ , O_{ℙ_{F}^{1}}(n)) ≅ W̃ (F).

Wir benutzen nun den in den Kapiteln 4 und 5 entwickelten Homologieapparat um eine vollständige Übersicht über alle Wittkomplexe projektiver Räume über einem Körper F ∈ (C_{fg}/k) von höherer Dimension zu erhalten.

Man hat:

(6.2.8) Satz: Sei ℙ_{F}^{n} = Proj(F [x_{0}, ..., x_{n}]) der n−dimensionale projektive Raum über F ∈ (C_{fg}/k) (n ≥ 1) und C_{∗}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) der Wittkomplex auf ℙ_{F}^{n} mit Werten in O_{ℙ_{F}^{n}}(m), und es gelte m ≡ 0 mod 2. Dann gilt für dessen Homologie:

HW_{i}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) ≅ \{ \begin{matrix}W̃ (F), & für & i = 0 \\ 0, & für & 1 ≤ i ≤ n − 1 \\ W̃ (F), & für & i = n & und & n ≡ 1 mod 2 \\ 0, & für & i = n & und & n ≡ 0 mod 2. \end{matrix}

Für ungeraden Twist hat man:

(6.2.9) Satz: Ist m ≡ 1 mod 2, so gilt für die Homologie des Komplexes C_{∗}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) (n ≥ 1):

HW_{i}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) ≅ \{ \begin{matrix}0, & für & i = 0 \\ 0, & für & 1 ≤ i ≤ n − 1 \\ 0, & für & i = n & und & n ≡ 1 mod 2 \\ W̃ (F), & für & i = n & und & n ≡ 0 mod 2. \end{matrix}

Wir beweisen beide Sätze simultan.

Beweis von (6.2.8) und (6.2.9): Es ist

ℙ_{F}^{n} = Proj(F [x_{0}, ..., x_{n}]) = V_{+}((x_{n})) ∪ D_{+}(x_{n})
= Proj(F [x_{0}, ..., x_{n−1}]) ∪ D_{+}(x_{n})
= ℙ_{F}^{n−1} ∪ 𝔸_{F}^{n} .

Die kanonische abgeschlossene Immersion i : ℙ_{F}^{n−1} ↪ ℙ_{F}^{n} und die kanonische offene Immersion j : 𝔸_{F}^{n} ↪ ℙ_{F}^{n} induzieren nach (5.2.2) eine kurze exakte Sequenz von Wittkomplexen

0 → C_{∗}(ℙ_{F}^{n−1}; W̃) →^{i_{∗}} C_{∗}(ℙ_{F}^{n}; W̃) →^{j^{∗}} C_{∗}(𝔸_{F}^{n}; W̃) → 0

und somit eine lange exakte Sequenz der Homologiegruppen

→ HW_{p+1}(𝔸_{F}^{n}) →^{δ} HW_{p}(ℙ_{F}^{n−1}) →^{i_{∗}} HW_{p}(ℙ_{F}^{n}) →^{j^{∗}} HW_{p}(𝔸_{F}^{n}) →^{δ} HW_{p−1}(ℙ_{F}^{n−1}).

(Bei Aussagen innerhalb dieses Beweises, welche von dem gerade betrachteten Geradenbündel unabhängig sind, lassen wir dieses, zur Vereinfachung der Notation, meistens weg.)

Nach (6.1.3) gilt HW_{p}(𝔸_{F}^{n}) = 0, für p ≠ n und jedes Geradenbündel auf 𝔸_{F}^{n} . Daher ist für 1 ≤ p < n − 1 HW_{p}(𝔸_{F}^{n}) = HW_{p+1}(𝔸_{F}^{n}) = 0 und man erhält aus obiger exakter Sequenz

(1) HW_{p}(ℙ_{F}^{n−1}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n−1}}(m)) ≅ HW_{p}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) für 1 ≤ p < n − 1 und alle m.

Wir betrachten nun den niedrigdimensionalen Teil der langen exakten Sequenz der Homologiegruppen:

... → HW_{1}(𝔸_{F}^{n}) →^{δ} HW_{0}(ℙ_{F}^{n−1}) → HW_{0}(ℙ_{F}^{n}) → HW_{0}(𝔸_{F}^{n}).

Nach (6.1.3) ist wieder HW_{1}(𝔸_{F}^{n}) = HW_{0}(𝔸_{F}^{n}) = 0 (für n ≠ 1) und damit

(2) HW_{0}(ℙ_{F}^{n−1}) ≅ HW_{0}(ℙ_{F}^{n}).

Die lange exakte Sequenz liefert für die hochdimensionalen Punkte die exakte Sequenz

(3) 0 → HW_{n}(ℙ_{F}^{n}) → HW_{n}(𝔸_{F}^{n}) →^{δ} HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n−1}) → HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n}) → 0;

hierbei haben wir wieder (6.1.3) benutzt. Wiederum nach (6.1.3) ist HW_{n}(𝔸_{F}^{n}) ≅ W̃ (F). Wir berechnen nun δ in obiger Sequenz (3). Wir betrachten dazu das folgende kommutative Diagramm mit exakter zweiter und dritter Zeile

� � � � � � � � � � � � �  _{kan} �  _{r} � �  _{d_{ℙ^{n}_{F} ,n}} �  _{d_{𝔸^{n}_{F} ,n}} � � � �  0; HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n}) HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n−1})  0 Ker(d_{𝔸_{F}^{n} ,n−1}) Ker(d_{ℙ_{F}^{n} ,n−1}) Ker(d_{ℙ_{F}^{n−1},n−1}) 0  0 C_{n}(𝔸_{F}^{n}; W̃) C_{n}(ℙ_{F}^{n}; W̃) 0 0  W̃ (F) HW_{n}(ℙ_{F}^{n}) 0

dabei ist r durch die Restriktion induziert (vgl. auch (2.4.3)). Man erhält die in Frage stehende Sequenz (3) aus vorstehendem Diagramm durch Anwendung des Schlangenlemmas auf die zweite und dritte Zeile. Definitionsgemäß ist δ in der Sequenz (3) von dem Randhomomorphismus δ_{ξ} induziert, wobei ξ ∈ ℙ_{F}^{n}^{(1)} der generische Punkt von ℙ_{F}^{n−1} gemäß der Zerlegung ℙ_{F}^{n} = ℙ_{F}^{n−1} ∪ 𝔸_{F}^{n} vom Anfang ist. In Spec(F [\frac{x_{0}}{x_{n−1}} , ..., \frac{x_{n−2}}{x_{n−1}} , \frac{x_{n}}{x_{n−1}} ]) = D_{+}(x_{n−1}) entspricht ξ dem von \frac{x_{n}}{x_{n−1}} erzeugten Primideal.

Ein α ∈ W̃ (F) wird unter r in C_{n}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) auf

⟨a⟩ ⊗ ds_{1} ∧ ... ∧ ds_{k} ∧ d(\frac{x_{0}}{x_{n}}) ∧ d(\frac{x_{1}}{x_{n}}) ∧ ... ∧ d(\frac{x_{n−1}}{x_{n}}) ⊗ x_{n}^{m}

abgebildet; dabei ist a ∈ F^{∗}, s_{1}, ..., s_{k} eine separierende Transzendenzbasis von F/k und d bezeichnet abkürzend d_{κ(η)/k}, wobei η der generische Punkt von ℙ_{F}^{n} ist. Nun ist ⟨a⟩ ⊗ ds_{1} ∧ ... ∧ ds_{k} ∧ d(\frac{x_{0}}{x_{n}}) ∧ d(\frac{x_{1}}{x_{n}}) ∧ ... ∧ d(\frac{x_{n−2}}{x_{n}}) ∧ d(\frac{x_{n−1}}{x_{n}}) ⊗ x_{n}^{m} = ⟨−a⟩ ⊗ ds_{1} ∧ ... ∧ ds_{k} ∧ d(\frac{x_{0}}{x_{n}}) ∧ d(\frac{x_{1}}{x_{n}}) ∧ ... ∧ d(\frac{x_{n−2}}{x_{n}}) ∧ d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ) ⊗ x_{n}^{m}. Für i = 0, ..., n − 2 gilt

d(\frac{x_{i}}{x_{n−1}} ) ∧ d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ) = d((\frac{x_{i}}{x_{n}})(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )) ∧ d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )
= \frac{x_{n}}{x_{n−1}} · d(\frac{x_{i}}{x_{n}}) ∧ d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ).

Hieraus erhält man in ω_{κ(η)/F} die Identität

d(\frac{x_{0}}{x_{n−1}} )∧...∧d(\frac{x_{n−2}}{x_{n−1}} )∧d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ) = (\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )^{n−1}·d(\frac{x_{0}}{x_{n}})∧...∧d(\frac{x_{n−2}}{x_{n}})∧d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ).

Somit erhält man

(4) r(α) = ⟨(−1)^{n+k}a(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )^{−n+1}⟩ ⊗ d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ) ∧ ds_{1} ∧ ... ∧ ds_{k}

∧d(\frac{x_{0}}{x_{n−1}} ) ∧ d(\frac{x_{1}}{x_{n−1}} ) ∧ ... ∧ d(\frac{x_{n−2}}{x_{n−1}} ) ⊗ (\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )^{m}x_{n−1}^{m}

= ⟨(−1)^{n+k}a(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )^{−n+1}(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} )^{m}⟩ ⊗ d(\frac{x_{n}}{x_{n−1}} ) ∧ ds_{1} ∧ ... ∧ ds_{k} ∧d(\frac{x_{0}}{x_{n−1}} ) ∧ d(\frac{x_{1}}{x_{n−1}} ) ∧ ... ∧ d(\frac{x_{n−2}}{x_{n−1}} ) ⊗ x_{n−1}^{m}.

Wir beweisen jetzt (6.2.8) und (6.2.9) durch Induktion nach n.

Für n = 1 ist (6.2.8) und (6.2.9) gerade (6.2.5). Es sei nun n > 1 und die Aussagen beider Sätze richtig für n − 1.

1. Fall: m ≡ 0 mod 2. Aus (2) erhält man HW_{0}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) ≅ W̃ (F). Aus (1) folgt HW_{i}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) = 0 für i = 1, ..., n − 2. Es sei nun n ≡ 1 mod 2; dann ist nach Induktionsannahme

HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n−1}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n−1}}(m)) = 0

und also δ in der Sequenz (3) die Nullabbildung und somit folgt

HW_{n}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) ≅ HW_{n}(𝔸_{F}^{n}) ≅ W̃ (F).

Ist n ≡ 0 mod 2, dann ist nach Induktionsannahme

HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n−1}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n−1}}(m)) ≅ HW_{n−1}(𝔸^{n−1}) ≅ W̃ (F);

unter Beachtung dieser Isomorphie folgt nun aus (4) mittels (6.2.6) die Isomorphie von δ in Sequenz (3). Damit folgt HW_{n}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) = 0. Mithin ist (6.2.8) bewiesen.

2. Fall: Sei m ≡ 1 mod 2. Aus (2) erhält man HW_{0}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) = 0. Aus (1) folgt HW_{i}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) = 0 für i = 1, ..., n − 2. Es sei zunächst n ≡ 1 mod 2; dann ist nach Induktionsannahme

HW_{n−1}(ℙ_{F}^{n−1}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n−1}}(m)) ≅ HW_{n−1}(𝔸^{n−1}) ≅ W̃ (F);

unter Beachtung dieser Isomorphie folgt nun aus (4) mittels (6.2.6) die Isomorphie von δ in Sequenz (3). Damit folgt HW_{n}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) = 0. Ist n ≡ 0 mod 2, so ist δ notwendig die Nullabbildung und also

HW_{n}(ℙ_{F}^{n}; W̃ , O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) ≅ HW_{n}(𝔸_{F}^{n}) ≅ W̃ (F).

Damit ist auch (6.2.9) bewiesen. □

(6.2.10) Bemerkung: Aut_{O_{ℙ^{n}_{F}}} (O_{ℙ_{F}^{n}}(m)) operiert, vermöge den in (6.2.8)

und (6.2.9) angegebenen Isomorphismen, auf W̃ (F) in analoger Weise wie es in (6.2.7) für den ℙ_{F}^{1} angegeben ist.

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