Whitehead’s Ausdehnungslehre

Die Kapitel II und III im Teil IV von “Process and Reality”

Claus Michael Ringel

1. Einleitung.

Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf den Teil IV von Whitehead’s Process and Reality, und dabei vor allem auf die Kapitel II and III. In Keeton’s Dissertation The Topology of Feeling. Extensive Connection in the Thought of Alfred North Whitehead: Its Development and Implications aus dem Jahr 1984 findet sich folgende Formulierung: Part IV of “Process and Reality” usually causes readers of Whitehead great confusion. There is ample reason for this response. Whitehead, in fifty short pages, tries to clarify expressions of spacetime relations with which he has wrestled for more than thirty years. The effort leaves much to be desired … (p.315). Diese Ansicht scheint von vielen Kommentatoren geteilt zu werden. Wir werden aber sehen, daß es sich bei den meisten in diesem Teil IV formulierten Überlegungen um zwar sehr fundamentale, aber gar nicht tiefsinnige, und eigentlich sehr klare Einsichten handelt. Daß diese Überlegungen zu auf den ersten Blick eher paradoxen Folgerungen führen (zum Beispiel: Demokrit’s Atomismus ist nun Grundlage einer Heraklit’schen Dynamik, PR 471), ist als besonderer Reiz hervorzuheben.

Natürlich gibt es offensichtliche Schwierigkeiten, den Teil IV gedanklich einzuordnen, dies kann nicht geleugnet werden. Zum einen liegt dies an der Whitehead’schen Textgestaltung überhaupt: Während dem Leser ein systematischer Zugang versprochen wird, ist die gedankliche Entwicklung statt dessen ziemlich diffus, sie orientiert sich eher an musikalischen Formen denn an wissenschaftlicher Stringenz, mit vielen (oft wörtlichen) Wiederholungen, Paraphrasierungen, Variationen, usw.^{1}

Zum anderen aber, und dies betrifft nun nur den Teil IV allein, ist die völlige begriffliche Isolation dieses Teils innerhalb des Buchs zu beklagen. Isoliert ist dieser Teil IV in zweierlei Hinsicht: Einerseits werden die hier relevanten Begriffe wie etwa region im kategoriellen Schema überhaupt nicht erwähnt, ja es ist sogar recht mühselig, das Verhältnis zu den im kategoriellen Schema genannten Begriffen zu bestimmen. Andererseits wäre zu erwarten, daß Grundbegriffe wie der des Nexus hier thematisiert werden, dies geschieht auch, ohne daß jedoch an entscheidenden Stellen der Begriff explizit genannt wird. Offensichtlich handelt es sich beim Teil IV um einen durchaus eigenständigen Text^{2}, der an frühere Untersuchungen

1 Und leider gibt es nicht wenige Kommentare, die das Prinzip der immer neuen Aneinanderreihung feststehender (aber aus sich heraus gar nicht unmittelbar verständlicher) Formulierungen fortsetzen und einfach fleischwolfartig den Whitehead’schen Text verarbeiten. Dabei geht dann selbst die Musikalität verloren. Derartiges Hackfleisch servieren zum Beispiel Hammersmith, Palter, Ross, eher Goulasch: Sherburne.

Ringel: Whitehead’s Ausdehnungslehre 1–2

2 Ford (p.181) geht davon aus, daß die Abschnitte IV.IV.2 und IV.IV.3 schon 1926 oder 1927 nach Diskussionen mit de Laguna entstanden sind. Der Abschnitt mit der gleichen Thematik anschließt (insbesondere PNK, CN), Formulierungen dieser älteren Texte werden variiert, aber auch präzisiert und vor allem formalisiert, während die Einbindung in den Gesamttext recht unbefriedigend bleibt. Auf diese begriffliche Isoliertheit^{3} ist im folgenden einzugehen. Ganz deutlich wird dies werden, wenn wir versuchen werden, den Begriff des Gebiets (region) einzuordnen: er ist einer der (wenigen) Grundbegriffe im Teil IV, wird aber außerhalb dieses Teils nicht herangezogen^{4}. Auch das begriffliche Zusammenspiel von Gebiet, Standpunkt und Perspektive wird nicht systematisch thematisiert.

Andererseits wird der Begriff Nexus, von dem man erwarten sollte, daß ihm ein zentraler Stellenwert innerhalb des Teils IV zukommt^{5}, dort nur eher beiläufig erwähnt.

In vielerlei Hinsicht muß Teil IV als Fremdkörper innerhalb des Buchs erscheinen. Dies zeigt sich nicht nur an der fehlenden begrifflichen Einbindung, sondern auch am abrupten Wechsel der Darstellung (mit durchnummerierten Definitionen und Annahmen). Man könnte zwar versucht sein, die Teile III und IV (oder auch III, IV, V) in Parallelität zu sehen: daß Teil III die biologisch-psychologischen Aspekte thematisiert, Teil IV die mathematisch-physikalischen (und V die theologischen), Dies widerspräche aber dem universellen Charakter des Begriffs-Rasters, das eine solche Aufteilung gerade nicht vorsieht.

Zuerst soll der inhaltliche Rahmen von Teil IV und sein wirklicher Stellenwert innerhalb der Theorie umrissen werden. Es sollte sich dabei zeigen, daß diese Überlegungen für das Gesamtwerk durchaus zentral sind. Das Wort Process im Titel des Buchs betont die Bedeutung der zeitlichen Entwicklung; der Begriff der Zeit sollte auf jeden Fall zu den Grundbegriffen einer Prozeß-Philosophie gehören. Auch auf den Untertitel An Essay in Cosmology sollte verwiesen werden. Das Buch ist entstanden vor dem Hintergrund der Umwälzungen im naturwissenschaftlichen Denken, die durch die Entwicklung einerseits der Relativitätstheorie, andererseits der Quantenphysik hervorgerufen wurden. Beide Theorien, jede für sich, haben Fehlvorstellungen, die sich durch die Wissenschafts-Entwicklung der Neuzeit etabliert hatten, korrigiert. Das Newton’sche Weltbild basierte auf grundsätzlichen

IV.IV.4 (Strains) wurde wohl als einer der letzten Abschnitte von PR geschrieben. Ford: Since that doctrine depends upon a definition of straightness in terms of mere extensiveness …, Whitehead felt it necessary to include in his metaphysical tratise the two mathematical chapters (IV.IV.2-3) designed to give a proper definition of straightness (p.234).

3 Sie ist natürlich ein dankbares Betätigungsfeld für Kommentatoren. Siehe etwa das Buch von Ross, das dem Begriff der Perspektive nachgeht.

4 Im Gegenteil, während sich der Begriff des Gebiets im Teil IV auf raumzeitliche Ausdehnung bezieht, wird er ansonsten im Text meist rein räumlich interpretiert: spatial region (PR 98, 185) oder region in space (PR 124), aber dies sind dann gerade keine Gebiete im Sinne des Gebietsbegriffs von Teil IV, sondern räumliche Abstraktionen.

5 Siehe etwa PR 461, wo festgehalten wird, daß Punkte (und allgemeiner geometrical elements) Nexūs sind. Ganz allgemein handelt es sich bei einem Nexus um eine Menge von actual entities, die eine Einheit bilden, und zwar zum Beispiel durch räumliche Einheitlichkeit oder zeitliche Abfolge; und dazu gibt es jeweils ein extensives Quantum, also ein Gebiet Annahmen, die nicht weiter hinterfragt wurden: die der lokalen Koordinatisierbarkeit durch reelle Zahlen, mit drei Raumachsen und, davon unabhängig, einer Zeit-Achse, und schließlich die der globalen Linearität. Entwickelt wird von Whitehead ein Weltmodell, das in weiten Strecken versucht, Relativitätstheorie und Quantentheorie ernstzunehmen. Wichtig sind hierfür die Frage, wie überhaupt das Koordinatisieren erfolgt (als Stichwort sei hier das der extensiven Abstraktion genannt), die über das Verhältnis zwischen diskreten Daten und stetigen Vorgängen, und schließlich die, was Gleichzeitigkeit bedeutet. Es sind dies die Fragen, die im Teil IV thematisiert werden. Darauf aufbauend wäre dann zu klären, wie Beeinflussung (oder, rückgewandt, Empfindung) zu verstehen ist; dies findet sich allerdings schon im Teil III, unabhängig von der in Teil IV entwickelten Raum-Zeit, und nur im Kapitel IV.IV wird das Thema noch einmal aufgegriffen.

Daß die Teile III und IV als Kern von Process and Reality anzusehen sind, wird im Vorwort betont: In the third and the fourth parts, the cosmological scheme is developed in terms of its own categorical notions, and without much regard to other systems of thought (PR vi)^{6}.

Extensive Abstraktion. Das wesentliche Stichwort für Teil IV von PR (zumindest die Kapitel II und III) ist das der extensiven Abstraktion. Es ist zwar eher versteckt und taucht nur als Obertitel von IV.II.III auf, aber dies trügt. Berücksichtigt man die expliziten Verweise auf frühere Arbeiten (PR 440, 453, 454, 455) und zieht diese heran, so wird deutlich, wie wichtig für die Whitehead’sche Kosmologie die Methode der extensiven Abstraktion ist. Zur Verdeutlichung sei hier die Struktur der beiden Vorgängerbücher, auf die Whitehead verweist, notiert. Es handelt sich um das 1919 erschienene Buch PNK mit den Teilen:

• The Traditions of Science (p.1)

• The Data of Science (p.59)

• The Method of Extensive Abstraction (p.101)

• The Theory of Objects (p.165-200). Wie man sieht, ist der längste Abschnitt der zur extensiven Abstraktion. Entsprechend die Ausarbeitung der 1919 gehaltenen Tarner-Lectures, 1920 als CN veröffentlicht:

• Nature and Thought (p.1)

• Theories of the Bifurcation of Nature (p.26)

• Time (p.49)

• The Method of Extensive Abstraction (p.74)

• Space and Motion (p.99)

• Congruence (p.120)

• Objects (p.143)

• Summary (p.164)

• The Ultimate Physical Concepts (p.185-196)

Die Bedeutung der Methode der extensiven Abstraktion für das Denken Whitehead’s wird von den den meisten Kommentatoren herausgearbeitet. Eine Unmenge an Seiten, ja ganze Bücher^{7} sind diesem Thema gewidmet.

6 Dieser Satz, in dem die Schlüsselwörter Scheme und categorical vorkommen, ist zu konfrontieren mit dem Verhältnis des Categorical Scheme (Kapitel II im Teil I) zu den Teilen III und IV.

7 Siehe die Literatur-Liste und dort entsprechende Anmerkungen.

Die Worte “abstrakt” und “Abstraktion” wurden von Boethius in die philosophische Sprache eingeführt; abstrakt steht bei Boethius für “das mathematische Seiende..., soweit dieses durch die Ausklammerung derjenigen Bestimmtheiten des sinnlichen Wesens konstituiert wird, die, wie z. B. die Bewegung, Gegenstand der Physik sind.” Verwiesen wird dabei “auf den künstlichen Charakter der Operation …, durch welche die mathematischen Seienden konstituiert werden.”^{8}

8 Historisches Lexikon der Philosophie (1971), Spalte 33.

2. Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie.

(Leider zum Teil nur Stichworte)

Zum Koordinatisieren. Zur Beschreibung der Lage von Punkten in der Ebene oder im Raum verwendet man üblicherweise ein kartesisches Koordinatensystem. Zwei Zitate aus Gabriel^{9}: “Graphische Darstellungen von Funktionen wurden in Paris von Nicole Oresme (1323-1382) verwendet; es war ihm insbesondere bekannt, daß die Funktion y = ax als Graphen eine Gerade hat. Koordinaten zur Darstellung von Punkten in der Ebene wurden auch schon vom Italiener Bombelli (2.Hälfte des 16. Jahrhunderts) vorgeschlagen. Gleichungen mit unbestimmten Koeffizienten und das Wechselspiel zwischen Algebra und Geometrie sind zentral im Schaffen von Francois Viete (1540-1603).” Und zu Descartes (1596-1650): “Zum ersten Mal wird in einer zugänglichen Publikation die Bedeutung algebraischer Gleichungen in zwei Unbekannten begründet, ihre Beziehungen zu den ebenen Kurven werden erläutert, ….”

Dimension. n-dimensionale Räume sind nichts Mysteriöses. Die Fälle n ≤ 4 sind wohlbekannt: Gerade, Ebene, Raum, Raum-Zeit (jedenfalls als lokale Modelle). Aber auch für n ≥ 5 macht es Sinn, vom n-dimensionalen Raum zu sprechen: sobald wir mit Datensätzen arbeiten, die n Eingaben (von reellen Zahlen) verlangen, können wir diese Datensätze als Elemente des ℝ^{n} auffassen. Auch beim Studium von geometrsichen Konfigurationen in ℝ^{2}, ℝ^{3} oder ℝ^{4} tauchen viele Fragestellungen auf, die auf höher-dimensionale Räume führen.

1. Raumzeit.

Hier erst einmal das naive Raumzeit-Modell des ℝ^{4}. Nach Wahl von Ursprung und Koordinatenachsen wird jedem Raumpunkt ein Tripel (x, y, z) reeller Zahlen zugeordnet. Will man die Zeitabhängigkeit betonen, so fügt man eine vierte Koordinate t hinzu, betrachtet also Quadrupel (x, y, z, t) reeller Zahlen. Die Menge dieser Quadrupel bildet den vier-dimensionalen Raum ℝ^{4}. Zur Übung hier werde hier die Bewegung eines Teilchens, das sich bewegt, über einen längeren Zeitraum hinweg (wir variieren also die Zeit t; da sich das Teilchen bewegt, ändern sich jeweils auch die Ortskoordinaten), und zwar eines Teilchens, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (dabei ist horizontal nur eine Raum-Koordinate fixiert, die vertikale Achse ist die Zeitache).

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Je flacher eine derartige Gerade ist, um so schneller bewegt sich das Teilchen. Man nennt eine derartige Linie die “Weltlinie” des Teilchens (dabei kann es sich

9 P. Gabriel: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra. 1996. p.130, mit Verweisen auf Boyer (1956). zum Beispiel auch um einen Menschen, oder ein Schiff, usw. handeln; bei großen Objekten betrachten wir zum Beispiel den Schwerpunkt).

Eine Übungsaufgabe zum Arbeiten mit Raum-Zeit-Koordinaten. Vier Schiffe A, B, C, D fahren auf einem ebenen Meer im dichten Nebel mit verschiedenen, aber konstanten Kursen und Geschwindigkeiten. Die Schiffe können sich per Funkt verständigen, aber keine Positionen bestimmen. Der Kapitän von A erfährt von Beinahe-Kollisionen der Schiffe B und C, der Schiffe B und D sowie der Schiffe C und D. Die Schiffe B, C, D haben Kurs und Geschwindigkeit beibehalten. Der Kapitän von A hat ausßerdem gesehen, wie sein Schiff beinahe mit B und mit C kollidiert wäre. Daraufhin ändert er seinen Kurs. Ist der Kapitän abergläubisch? (Man interpretiere die Beinah-Zusammenstöße als wirkliche Zusammenstöße, also daß die jeweiligen Schiffe zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort sind.)

Lösung: Als Raumzeit können wir hier den ℝ^{3} nehmen: zwei räumliche Achsen (weil wir voraussetzen, daß das Meer eben ist) und eine zeitliche Achse. Gegeben sind als Weltlinien der Schiffe A, B, C, D vier Geraden im ℝ^{3}, die wir der Einfachheit halber wieder mit A, B, C, D bezeichnen wollen. Da wir die Beinah-Zusammenstöße als wirkliche Zusammenstöße interpretieren, daß also die jeweiligen Schiffe zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort sind, bedeutet ein derartiges Ereignis, daß sich die entsprechenden Geraden schneiden. Wir erhalten demnach Schnittpunkte B ∩C, B ∩D, C ∩D. Daraus folgt, daß die Geraden B, C, D in einer Ebene E liegen. Nun schneiden sich aber auch die Geraden A und B, wir haben also einen Schnittpunkt A ∩ B in E, entsprechend auch A ∩ C in E. Die Gerade A ist die Verbindungsgerade von A ∩ B und A ∩ C, liegt also auch in E. Der Kapitän von A weiß nun, daß seine Gerade in der gleichen Ebene wie die von D liegt und sich daher die Geraden A und D wohl schneiden werden (einizge Ausnahme wäre: die Geraden A und D wären parallel, aber das ist höchst unwahrscheinlich). Ein Kurswechsel bringt inn mit großer Wahrscheinlichkeit aus dieser Ebene E heraus, und dann scheiden sich die Geraden A und D garantiert nicht. Der Kapitän handelt also sehr vernünftig.

Was sollte man auf diese Weise gelernt haben? Den Umgang mit Begriffen wie Gerade, Ebene im Rahmen der Raum-Zeit ℝ^{4}.

Lorentz-Raum.

Vergangenheitskegel in der Raum-Zeit. Licht-Geschwindigkeit als absolute Grenze, alle anderen Beeinflussungen (z.B. Informations-Weitergabe durch akustische Signale) langsamer.

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Relativitätstheorie. Die Frage der Gleichzeitigkeit • Kriminalroman: Wer hat was zu welchem Zeitpunkt gewußt?

Physikalische, kulturelle Beeinflussung.

• Licht

• Donner

• Physikalische Wirkungen (Gewehrkugel, Bomben)

• Osmose bei Zellen

• Briefe-Schreiben, e-mail, Telefon

• Kulturelle Beeinflussung: Schiffsverkehr (z.B. Columbus); Osterinseln (Floß)

• Persönliche Kontakte.

Vergangenheitskegel. Jeder schleppt seine Vergangenheit mit sich herum. Keiner kann sie abschütteln. Dies betrifft Personen. Aber auch physikalische Prozesse: Blitz, Wetter-Konstellation. Biologisch: Ein Baum zu einem Zeitpunkt hat seine Vergangenheit.

2. Grundbegriffe der Mengenlehre.

Alle gegenwärtig in Physik oder Mathematik diskutierten Kosmologien (etwa: Hawking-Ellis, Dodson-Boston) sind mengentheoretisch formuliert. Verwendet werden jeweils “differenzierbare Mannigfaltigkeiten”: es sind dies “topologische Räume”, bei denen vorausgesetzt wird, daß jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die die gleiche Struktur wie eine Kugel im ℝ^{4} hat; es gibt also lokale Koordinatensysteme und untersucht wird die globale Struktur. Zumindest im Hinblick auf die Einführung lokaler Koordinatensysteme sollte der Whitehead’sche Text von Interesse sein.

Aufgabe der Philosophie (so sie eine hat): Philosophy is explanatory of abstraction, and not of concreteness (PR 39). Die Philosophie sollte versuchen, das Selbverständnis der Wissenschaften (hier vor allem: der Physik) zu erläutern, und Hinweise geben, wo falsche Vorstellungen sich entwickelt haben. Dies gerade ist das Anliegen von Whitehead und er zielt darauf, einen allgemein verwendbaren Begriffsrahmen zu entwickeln.

Mengen: Cantor (1845-1918).

Eine typische Menge, die den Ausgangspunkt vieler Überlegungen und vieler Konstruktionen bildet, ist die Menge

ℕ = {0, 1, 2, … }

der natürlichen Zahlen. Mit ℤ = {−2, −1, 0, 1, 2, … } wird die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet. Sie entsteht aus ℕ, in dem man zu jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 die Zahl −n (mit n + (−n) = 0) hinzunimmt.

Wichtig sind Mengenbildungsprozesse: Wie erhält man aus vorgegebenen Mengen neue Mengen? Zum Beispiel bildet man Mengen von Mengen. Ist M eine Menge, so bezeichne P(M) die Menge aller Untermengen^{10} von M, entsprechend PP(M) die Menge der Untermengen von P(M), und so weiter. (Wie wir sehen

10 Statt “Untermenge” sagt man oft auch “Teilmenge”. werden, braucht man diese Hierarchie auch zum Verständnis von Teil IV. Beispiel: an abstractive set ist eine Menge von Gebieten (PR 454); a geometrical element ist eine Menge abstraktiver Mengen).

Im Rahmen der Grünbaum’schen Kritik werden wir ausführlicher mengentheoretische Begriffsbildungen erläutern.

3.Die Zahlsysteme ℚ und ℝ.

Mit ℝ bezeichnet man die Menge der reellen Zahlen. Wir stellen sie uns vor als die Menge der Punkte auf der Zahlengerade:

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Beispiele reeller Zahlen sind ganze Zahlen wie 5, −1002, 17, 0, 2^{30}, −371; Brüche wie zum Beispiel \frac{9}{11} oder −\frac{5}{2}; abbrechende Dezimalbrüche wie −17, 23 oder 0, 0001, …; periodische Dezimalbrüche wie 0, \overline{3} oder −17, 24\overline{181}, …; es gibt (viele!) reelle Zahlen, die sich nicht als abbrechende oder periodische Dezimalbrüche darstellen lassen, z.B. \sqrt{2} oder die Kreiszahl π.

Folgende Untermengen der Menge ℝ der reellen Zahlen sind besonders wichtig:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ,

dabei bezeichnet ℚ die Menge der Brüche (also die Menge der rationalen Zahlen), es sind dies die reellen Zahlen der Form \frac{a}{b} mit a, b ∈ ℤ und b ≥ 1.

Intervalle. Seien a, b zwei reelle Zahlen mit a < b. Man unterscheidet folgende Sorten von Intervallen:

• ]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} (offenes Intervall)

• ]a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} (halboffen)

• [a, b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} (auch halboffen)

• [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} (abgeschlossen) Der Unterschied besteht also darin, ob die Randzahlen a und b zum Intervall gehören oder nicht; zum Beispiel gehört a nicht zu den Mengen ]a, b[ und ]a, b], gehört aber zu [a, b[ und [a, b].

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Konstruktion der reellen Zahlen: ℕ ℤ Hinzufügen der negativen Zahlen (= Invertieren bzgl. der Addition) ℚ Bildung von Brüchen (= Invertieren bzgl. der Multiplikation) ℝ Vervollständigen.

Möglichkeiten der Vervollständigung:

∘ Cauchy-Folgen.

∘ Dedekind-Schnitt.

• Intervall-Schachtelung Diskusssion der Einbettung ℚ ⊂ ℝ. Was ist komplizierter? ℚ oder ℝ?

Stetigkeit/Unstetigkeit. Sei f: ℝ → ℝ eine Funktion^{11}. Die Funktion f heißt stetig, wenn es keine “Sprungstellen” gibt, wenn der Graph der Funktion also “ohne Absetzen des Stiftes” gezeichnet werden kann.

Es ist wichtig, auch typische Beispiele unstetiger Funktionen vor Augen zu haben, um zu sehen, was alles passieren kann: die beiden folgenden Funktionen haben jeweils im Punkt x = 0 eine Unstetigkeits-Stelle.

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x < 0, \\ 1 & für x ≥ 0. \end{matrix} g(x) = \{ \begin{matrix}−1 & für x < 0, \\ 0 & für x = 0, \\ 1 & für x > 0. \end{matrix} h(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} & für x ≠ 0, \\ 0 & für x = 0, \end{matrix}

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} y  x^{•}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{1}^{1}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} 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Betrachtet man die folgenden zwei auf ℝ \ {0} definierten Funktionen

p(x) = cos(\frac{1}{x}) und q(x) = x cos(\frac{1}{x})

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so stellt man fest, daß die linke Funktion p(x) im Punkt x = 0 nicht stetig ergänzbar ist, die rechte Funktion q(x) dagegen kann im Punkt 0 stetig ergänzt werden (durch die Festsetzung f(0) = 0).

Warnungen. Die meisten Funktionen, die in den Naturwissenschaften Verwendung finden, sind stetige Funktionen. Allerdings betreffen sie häufig Sachverhalte, die gar nicht stetig sind!

(a) Betrachtet man zum Beispiel eine Funktion, die das Bevölkerungswachstum beschreiben soll, so dürften als Werte nur ganze Zahlen auftreten (“halbe Menschen machen keinen Sinn”); dennoch arbeitet man lieber mit Funktionen die beliebige reelle Zahlen als Werte liefern (dabei vernachlässigt man dann nicht nur die Stellen hinter dem Komma, sondern meist auch viele Stellen vor dem

11 Eine Funktion f: A → B ordnet jedem a ∈ A ein (und nur ein) Element f(a) der Menge B zu, man schreibt dann auch a ↦ f(a), man nennt f(a) das Bild des Elements a unter der Funktion f, und man sagt auch, daß a auf f(a) abgebildet wird.

Komma, da nur die Größenordnung der berechneten Zahl wirklich relevant ist!). Zweites Beispiel: Betrachtet man die täglichen Höchststände der Sonne in Bielefeld (gemessen als Winkel über dem Horizont) in Abhängigkeit vom Kalendertag):

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so erhält man 365 Einzeldaten, die sich zu Punkten einer Sinus-Kurve fügen; aber Zwischenwerte zwischen diesen 365 Einzelpunkten machen gar keinen Sinn!

(b) Es gibt eine weitere merkwürdige Verquickung zwischen stetigen und unstetigen Phänomenen: Beim Einschalten einer Lichtquelle empfindet das Auge oft einen plötzlichen Übergang von Dunkelheit zu Helligkeit, zu modellieren wäre dies also durch eine Funktion mit einer Sprungstelle; physikalisch gesehen muß man aber an eine stetige Zunahme der Helligkeit denken (wie dies auch bei den Sparlampen empfunden wird). — Umgekehrt: Im Kino wie auch beim Fernsehen werden nacheinander Einzelbilder vorgeführt (unstetig), das Auge interpretiert die dargestellten Bewegungsabläufe aber als stetige Bewegungen.

Funktionen auf ℚ versus ℝ. Warnung: Es gibt mehr stetige Funktionen ℚ → ℝ als stetige Funktionen auf ℝ → ℝ, denn jede Funktion ℝ → ℝ ist schon eindeutig durch die Einschränkung auf ℚ definiert, da ℚ “dicht” in ℝ liegt; andererseits gibt es zum Beispiel viele stetige Funktionen ℚ → ℝ, die sich nicht zu einer auf ganz ℝ definierten stetigen Funktion fortsetzen lassen; zum Beispiel Sprungfunktionen wie die folgende Funktion f: sei f(x) = 0 falls x^{2} < 2 und f(x) = 1 falls x^{2} > 2; als Funktion ℚ → ℝ ist f stetig.

Cantor’sches Diskontinuum. Wir geben hier die Konstruktion der Cantor-Menge 𝔻. Man starte mit dem Intervall D_{0} = [0, 1], entferne das mittlere Drittel, genauer: die offene Menge ]\frac{1}{3}, \frac{2}{3}[, es bleiben übrig die beiden Intervalle [0, \frac{1}{3}] und [\frac{2}{3}, 1], die Vereinigung dieser beiden Intervalle nennen wir D_{1}. Nun entferne man in jedem dieser Intervalle wieder das offene mittlere Drittel, wir erhalten die Menge D_{2}, sie ist die Vereinigung der Intervalle [\frac{0}{9}, \frac{1}{9}], [\frac{2}{9}, \frac{3}{9}], [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}], [\frac{8}{9}, \frac{9}{9}]. Dieser Prozess wird wiederholt, wir erhalten insgesamt eine Folge von Mengen D_{0}, D_{1}, D_{2}, … und wir bilden nun den Durchschnitt 𝔻 = ⋂_{i} D_{i}. Gibt es überhaupt Punkte, die erhalten bleiben, die also in 𝔻 liegen? Natürlich, viele sogar. Zum Beispiel alle Randpunkte eines der entstehenden Intervalle (denn wir nehmen jeweils nur Punkte in der Mitte von Intervallen weg), also 0, 1, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{9}, … sind Punkte, die zu 𝔻 gehören. Dies sind abzählbar viele Punkte - aber man kann zeigen, daß es sogar “überabzählbar viele” Punkte^{12} in 𝔻 gibt.

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4.Mengentheoretische Topologie.

Dies ist eine Theorie, die beschreiben möchte, was Stetigkeit bedeutet, was man sich unter Konvergenz vorstellen sollte. Weitere Begriffe, die im Zentrum dieser Theorie stehen: Zusammenhang. Wann ist ein Raum unzusammenhängend, wann zusammenhängend? Die Dimension von Räumen. Wann sind Räume metrisierbar? Welchen Einfluß hat die lokale Struktur auf das globale Erscheinungsbild?

Beispiele typischer topologischer Räume sind ℝ, ℝ^{2}, ℝ^{3}, ℝ^{4} (oder eben ganz allgemein ℝ^{n}, wobei n eine natürliche Zahl ist). Aber auch Räume, die zwar “lokal” eine ähnliche Struktur besitzen, “global” aber ganz anders aussehen. Beispiel: Kurven, wie etwa eine Kreislinie, sehen lokal ganz ähnlich wie ℝ aus. Eine Kugeloberfläche sieht lokal recht ähnlich zum ℝ^{2} aus (genauer: nimmt man eine kleine Kreisscheibe auf der Kugeloberfläche, so ist diese Kreisscheibe fast nicht von einer Kreisscheibe in der Ebene zu unterscheiden — man denke hier an die Erdoberfläche: lange wurde angenommen, die Erde sei eine Scheibe!)

Die Topologie gibt sich eine Menge vor, die Elemente heißen “Punkte” und man möchte nun definieren, daß Punkte nah beieinander liegen. Man denke an ℝ: sind nur zwei Punkte (oder nur endlich viele Punkte) gegeben, so haben diese Punkte immer einen Mindest-Abstand voneinander. Nimmt man dagegen all die Punkte der Form \frac{n−1}{n}, also \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, …, so “konvergiert” diese Folge gegen 1,

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diese Punkte kommen beliebig nahe an 1 heran (ohne 1 wirklich zu erreichen). Gibt man sich eine Genauigkeit vor, etwa \frac{1}{1000}, so haben fast alle Punkte \frac{n−1}{n} einen Abstand von 1, der kleiner als \frac{1}{1000} ist. Topologie kann man auf diese Weise mit Hilfe konvergenter Folgen treiben, meist arbeitet man aber lieber mit “offenen” Mengen (dies paßt auch besser zur parallelen Situation bei Whitehead).

Die Topologie arbeitet mit Punkten und Untermengen^{13}, zum Beispiel eben den offenen Mengen. Diese Untermengen sollten, im Gegensatz zu beliebigen Untermengen, jeweils noch irgendwie überschaubar erscheinen. Festzuhalten ist jedenfalls: Gegeben sind ist ein System von Untermengen einer Menge, das gewisse

12 Auf den Begriff der Überabzählbarkeit werden wir im Rahmen der Kritik Grünbaum’s zu sprechen kommen. 13 Gegeben ist also eine Grundmenge, sagen wir S (die Menge der “Punkte”) und eine geeigneten Menge T von Untermengen. Da es sich bei den Elementen von T um Untermengen von S handelt, ist auf T die Enthaltenseinsrelation erfüllt. Es sind also zwei Sorten von Entitäten gegeben: Punkte und Mengen; zwischen ihnen gibt es dann zwei Beziehungen: einmal die Element-Beziehung (dies ist eine Untermenge von S × T , nämlich die Menge der Paare (x, U) mit x ∈ S, U ∈ T , für die x ∈ U gilt), zum anderen, daraus abgeleitet, die Inklusionsrelation von Mengen, dies ist eine Untermenge von T × T .

Bedingungen erfüllt, alle diese Bedingungen beziehen sich auf das Inklusionsverhalten dieser Untermengen (zum Beispiel auf das Bilden von Durchschnitten und Vereinigungen). Wir werden sehen, daß Whitehead mit einem ganz ähnlichen Axiomensystem arbeitet, und zwar mit “Gebieten”, für die es einen Inklusionsbegriff gibt, wobei das Inklusionsverhalten auch bei ihm axiomatischen Bedingungen zu genügen hat. Vorstellen sollte man sich diese “Gebiete” als durchaus mengenartige Gebilde, ohne daß Punkte spezifiziert sind (sie werden erst nachträglich konstruiert); es handelt es sich um “Mengenlehre ohne Elemente”. Dies ist später noch ausführlich zu diskutieren.

Hier nun ein Überblick über Grundbegriffe der Topologie im üblichen Sinn.

Definition: Ein topologischer Raum (S, T ) ist eine Menge S mit einer Menge T von Untermengen von S (man nennt diese Mengen offen), falls gilt: (O_{1}) Die leere Menge und S selbst gehören zu T . (O_{2}) T ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten. (O_{3}) T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen.

Die Komplemente offener Mengen heißen abgeschlossen. Man kann natürlich auch die Menge der abgeschlossenen Mengen axiomatisch charakterisieren.

Ist x ∈ S, so heißt eine Untermenge U mit x ∈ U ⊆ S eine Umgebung von x, falls es eine offene Menge T ∈ T mit x ∈ T ⊆ U gibt. Die Menge aller Umgebungen von x nennt man den Umgebungsfilter von x. Man kann eine Topologie auch axiomatisch durch Eigenschaften der Umgebungsfilter der Punkte charakterisieren.

Ist (S, T ) ein topologischer Raum, so heißt eine Untermenge T_{0} eine Basis offener Mengen, falls sich jede offene Menge als Vereinigung von Mengen aus T_{0} schreiben läßt. Will man einen topologischen Raum konstruieren, so gibt man sich häufig eine Menge S und zusätzlich eine Menge T_{0} ⊆ P(S) vor, bildet dann die Menge T aller Vereinigungen von Mengen in T_{0} und hat nun zu überprüfen, ob die Axiome erfüllt sind (das Axiom (O_{3}) ist hier natürlich auf jeden Fall erfüllt).

Beispiel: Um ℝ zu einem topologischen Raum zu machen, wählt man für T_{0} die Menge aller offener Intervalle. Man erhält auf diese Weise eine Topologie, dies ist die Standard-Topologie auf ℝ. Man kann für T_{0} auch weniger Mengen nehmen: so genügt es, alle Intervalle ]a, b[ mit a, b ∈ ℚ zu nehmen; statt ℚ reicht es sogar, die Menge der abbrechenden Dezimalbrüche zu nehmen. Zusatzlich könnte man auch noch die Einschränkung b − a < \frac{1}{1000} (oder etwas Ähnliches) nehmen. Dies also die Standard-Topologie auf der Menge ℝ. Entsprechend definiert man auch ℚ als topologischen Raum.

Sind (S, T ) und (S′, T′) topologische Räume, so erhält man auf S × S′ eine Topologie (die Produkt-Topologie), indem man die Mengen der Form T × T′ mit T ∈ T und T′ ∈ T′ als Basis offener Mengen wählt. Insbesondere erhält man auf diese Weise eine Topologie auf ℝ^{2}, und induktiv auf allen Mengen ℝ^{n}.

Ein topologischer Raum (S, T ) heißt zusammenhängend, wenn sich S nicht als disjunkte Vereinigung zweier nicht-leerer offener Mengen schreiben läßt. Offensichtlich ist ℝ zusammenhängend^{14}. Dagegen ist ℚ gerade nicht zusammenhängend,

14 Es ist die Vorstellung dieser Eigenschaft von ℝ und von ähnlichen Räumen, auf die Formulierungen wie The contemporary world … is continuous: divisible, but not divided (PR 96) verweisen. denn es gibt folgende Zerlegung (und viele andere):

ℚ = {x ∈ ℚ | x^{2} < 2} ∪ {x ∈ ℚ | x^{2} > 2},

beides sind offene Mengen (dies ist zu beweisen), beide sind nicht leer, und sie sind disjunkt.

Total unzusammenhängende Räume. Definition: S heißt total unzusammenhängend, wenn es zu x ≠ y in S offene Mengen U, V gibt mit U ∩ V = ∅ und U ∪ V = S. Wir erhalten also eine Zerlegung in zwei Mengen, die beide offen und abgeschlossen sind. Beispiele:

• ℚ

• 𝔻 und dies ist sogar ein kompakter Raum: Jede Folge hat einen Häufungspunkt.

Sei (S, T ) ein topologischer Raum. Ist X eine Untermenge von S, so definiert man ihr Inneres X^{∘}, ihren Abschluß \overline{X} und ihren Rand ∂X wie folgt:

X^{∘} = { y ∈ X | Es gibt eine offene Menge U mit y ∈ U ⊆ X },
\overline{X} = \{ y ∈ S | Ist U offene Menge mit y ∈ U, so ist U ∩ X ≠ ∅ \},
∂X = \overline{X} \ X^{∘}.

Offensichtlich gilt immer X^{∘} ⊆ X ⊆ \overline{X}; es ist X^{∘} offen, \overline{X} abgeschlossen, und zwar ist X^{∘} die größte offene Menge, die in X enthalten ist, während \overline{X} die kleinste abgeschlossene Menge ist, in der X enthalten ist. Da \overline{X} abgeschlossen und X^{∘} offen ist, ist der Rand ∂X = \overline{X} \ X^{∘} ebenfalls abgeschlossen.

Hier Beispiele: Sei I eines der Intervalle ]a, b[, ]a, b], [a, b[, [a, b]. Dann ist I^{∘} =]a, b[ und \overline{I} = [a, b]. Insbesondere ist der Rand also gerade die zwei-elementige Menge ∂I = [a, b] \ ]a, b[= {a} ∪ {b}. Betrachten wir nun die Untermenge

X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, 0 < y < 1}

in der Ebene ℝ^{2}, so ist ihr Inneres die Menge

X^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x < 1, 0 < y < 1},

ihr Abschluß die Menge

\overline{X} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1\}.

Der Rand ∂X ist also gerade die entsprechende Randlinie:

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In solchen Beispielen geschieht nichts Unerwartetes. Insbesondere ist der Abschluß von X auch der Abschluß von X^{∘} und das Innere von X ist das Innere von \overline{X}.

Betrachten wir dagegen die Untermenge Y = ℚ ⊂ ℝ, so ist Y^{∘} = ∅, also ist auch \overline{Y^{∘}} = ∅, dagegen ist \overline{Y} = ℝ.

Es ist ganz wichtig eine klare Vorstellung zu haben, was man unter einem Randpunkt x einer Menge X versteht: Jede Umgebung U von x enthält sowohl Punkte, die zu X gehören, als auch solche, die nicht zu X gehören.

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Topologisch ist kein Unterschied zwischen ]0, 1[ und ℝ. Einen Homöomorphismus erhält man zum Beispiel durch die Funktion

tan: ] − _{\frac{π}{2}} , _{\frac{π}{2}} [→ ℝ  ..................................................................................................................................................................................................................................................................... ............ ........................................................................................................................................................... ............ ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................  ....................................

Entsprechend ist topologisch kein Unterschied zwischen der offenen Kreisscheibe {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1}, dem offenen Quadrat {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x < 1, 0 < y < 1}, und der Ebene ℝ^{2}.

Wir formulieren nun einige Bedingungen, die bei beliebigen topologischen Räumen nicht notwendigerweise erfüllt sein werden, es sind also Zusatzforderungen, die man stellen kann und oft auch stellt. Man spricht auch hier von “Axiomen”:

Trennungsaxiome: (T_{1}) (Erstes Trennungsaxiom von Hausdorff, oder auch Fréchet-Axiom (Rend.

Circ. Mat. Palermo, 22 (1906)): Jeder Punkt ist abgeschlossen. (T_{2}) (Zweites Trennungsaxiom von Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre, Teub-

ner 1914) Zu jedem Paar a ≠ a′ von Punkten gibt es offene Mengen T, T′ mit a ∈ T, a′ ∈ T′ und T ∩ T′ = ∅.

(T_{3}) (Drittes Trennungsaxiom oder auch Vietoris-Axiom (Monatshefte Math. Phys.31 (1921)). Gegeben ein Punkt a und eine abgeschlossene Untermenge A′ mit a ∉ A′, so gibt es offene Untermengen T, T′ mit a ∈ T, A′ ⊆ T′ und T ∩ T′ = ∅.

(T_{4}) (Viertes Trennungsaxiom oder auch Tietze’s erstes Axiom (Math.Ann.88 (1923)) Gegeben seien disjunkte abgeschlossene Untermengen A, A′, so gibt es offene Untermengen T, T′ mit A ⊆ T, A′ ⊆ T′ und T ∩ T′ = ∅.

Abzählbarkeitsaxiome^{15}. (Z_{1}) (Erstes Abzählbarkeitsaxiom, Hausdorff) Jeder Punkt besitzt eine abzählbare

Umgebungsbasis. Gilt in jedem metrischen Raum. (Z_{2}) (Zweites Abzählbarkeitsaxiom) Es gibt eine abzählbare Basis der Topologie.

Vervollständigung topologischer Räume. Ineinandergeschachtelte Mengen: abstractive set.

Metrische Räume. Messen. Metrische Räume (im Gegensatz zu nur topologischen Räumen). Metrik unterscheidet ]0, 1[ und ℝ (also endlich-unendlich)^{16}. Analog: Metrik unterscheidet zwischen der Kreisscheibe {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2}+y^{2} < 1} und der Ebene ℝ^{2}.

Metrische Räume: Axiomensystem stammt von Fréchet (1906). Metrisierungssätze.

5. Mannigfaltigkeiten.

Lokale Koordinatisierbarkeit. Lokal vorgegeben, globale Struktur kann sehr verschiedenartig sein.

Beispiel: Klassifikation der 2-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeiten. Insbesondere: Links ein Torus, rechts die Klein’sche Flasche:

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• Kurven in der Ebene (ohne Singularitäten)

• Flächen

• 3-dimensional

• 4-dimensional

Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Differenzierbare Mannigfaltigkeit M in der (durch den “Fundamentaltensor”) eine Metrik erklärt ist. Lokal (in der Nähe

15 Zum Begriff der Abzählbarkeit siehe Seite 4-1. 16 Üblicherweise gelten Intervalle wie ]a, b[ oder [a, b] als “endliche” Objekte, die gesamte Zahlengerade ℝ dagegen als “unendliches” Objekt. Wir haben weiter oben gesehen, daß als topologische Räume offene Intervalle wie ]0, 1[ mit ℝ identifiziert werden können. Die Topologie unterscheidet also nicht zwischen derartigen “endlichen” oder “unendlichen” Objekten. Unterschieden sind die als metrische Räume, wenn also eine Abstandsfunktion definiert ist: In jedem Intervall gibt es einen Höchst-Abstand, in ℝ dagegen nicht.

Die Unterscheidung zwischen topologischen Fragestellungen und metrischen Fragestellungen nimmt Whitehead sehr ernst: er betont mehrfach, daß Einführung und Verwendung einer Metrik nur nachrangig erfolgen soll. Fragen der Metrisierung ist erst das letzte Kapitel IV.V im Teil IV gewidmet; bei den vorangehenden Überlegungen legt Whitehead großen Wert darauf, daß keine Maßzahlen gebraucht werden, daß zum Beispiel nicht von “kürzestem Abstand” gesprochen wird. jedes Punkts) entspricht das geometrische Verhalten dem in einem euklid’schen Raum. Ist eine Kurve in M gegeben, so läßt sich ihre Länge berechnen.

Garben. Lokal definierte Funktionen. Halme, direkte Limites.

6. Geometrie und Algebra.

Hier sollen einige Grundbegriffe der algebraischen Geometrie vorgestellt werden, vor allem soll aber herausgearbeitet, daß die Unterscheidung von Geometrie und Algebra auf die Verwendung verschiedenartiger Methoden (und Vorstellungsweisen) verweist, daß sich diese beiden Theorien aber eigentlich mit den gleichen Objekten beschäftigen: der Gebrauch von Koordinaten erlaubt es, geometrische Fragestellungen in solche der Algebra zu übersetzen, umgekehrt ist man in den letzten Jahrzehnten immer mehr dazu übergegangen, algebraische Fragestellungen geometrisch zu interpretieren. Dabei verstand man früher unter Algebra das Lösen algebraischer Gleichungen, mittlerweile arbeitet man eher mit den sogenannten algebraischen Strukturen (wie Gruppe, Ring, Körper: sie sind mengentheoretisch definiert), aber auch dies sind nur zwei verschiedene Betrachtungsweisen. Allgemeiner Konsens ist

Geometrie ist Algebra ist Geometrie

und dies entspricht auch der Whitehead’schen Sichtweise: In seinem Buch UA, einem wie der Titel festhält, algebraischen Werk, widmet er sich vor allem geometrischen Fragestellungen, und er betont die Bedeutung der Möglichkeiten der Algebraisierung. Wenn Whitehead in PR nur mit geometrischen Vorstellungen arbeitet, so heißt dies nur, daß für ihn die Übersetzung in entsprechende algebraische Formalismen völlig selbverständlich ist.

Nur beispielhaft kann hier die algebraische Beschreibung geometrischer Daten erläutert werden, also das Vorgehen der algebraische Geometrie, wenn es um Kurven, Flächen, geometrische Örter geht. Es gibt zwei wesentlich verschiedene Beschreibungsweisen für derartige geometrische Dinge: Einerseits sucht man nach Parametrisierungen, andererseits stellt man sie als Nullstellenmenge (also als “geometrischen Ort” = Locus) dar.

Beispiel: Die quadratischen ebenen Kurven. Zum Beispiel V (X^{2} + Y^{2} − 1), der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, entsprechend ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (1, 1) die Nullstellenmenge V (p), mit

p = (X − 1)^{2} + (Y − 1)^{2} − 1 = X^{2} − 2X + Y^{2} − 2Y + 1.

Oder Ellipsen, vielleicht noch leicht gedreht: hier nehme man

p = aX^{2} + bY^{2} + cXY + dX + eY + f = 0.

Insgesamt erhalten wir 6 Koeffizienten. Multiplikation mit einer von Null verschiedenen Konstanten ändert nichts. Also setze ich etwa f = 1 und habe dann 5 wesentliche Koeffizienten. Wenn (a, b, c, d, e) nahe bei (1, 1, 0, 2, 2) liegen, erhalte ich eine Ellipse, die dem Kreis K sehr ähnlich ist. — Dies sind Siuationen, wo man mit höher-dimensionalen Räumen arbeitet, hier mit dem “Raum” der Koeffizienten a, b, c, d, e, er handelt sich also um einen 5-dimensionalen Raum.

3. Textanalyse: Kapitel II

Vorbemerkung. Es wird versucht, die wesentlichen Argumente des Texts herauszuarbeiten. Undiskutiert bleibt alles, was eher peripheren Charakter zu haben scheint, insbesondere all die dubiosen Hinweise, daß gewisse Strukturaussagen nur für the present cosmic epoch gültig sein könnten.

Zum Titel. Ausdehnungszusammenhang soll hier offensichtlich als einer der Grundbegriffe etabliert werden. Die Frage nach dem Zusammenhang verweist auf die Topologie, fehlender Zusammenhang würde bedeuten, daß die Welt in mehrere Komponenten zerfällt, zusammenhängend soll aber nicht nur der Gesamtkosmos sein, erwartet wird lokaler Zusammenhang. Die Topologie hat eine Vielzahl von Zusammenhangsbegriffen erarbeitet (zusammenhängend, lokal zusammenhängend, weg-zusammenhängend, k-fach zusammenhängend, …), um verschiedene topologische Verhaltensweisen zu beschreiben und zu unterscheiden. Whitehead macht von dieser Fülle nur bedingt Gebrauch.

Die Frage nach dem Ausdehnungszusammenhang wird von Whitehead unter der Suche nach Ordnung eingeordnet (PR 148, also innerhalb des Abschnitts The Order of Nature) - “Ordnung” hier einerseits als allgemeiner, umgangssprachlicher wie auch philosophisch-theologischer Begriff, andererseits aber auch als mathematischer Begriff. Und der mathematische Begriff einer Ordnung, einer geordneten Menge, verweist auf eine hierarchische Relation.

Ausdehnung. Zu erinnern ist hier zu allererst an die “Ausdehnungslehre” von Hermann Grassmann, die 1844 erschienen ist, aber zuerst wenig Beachtung fand. Dies gilt auch für die zweite Auflage (1861). In diesem Buch wird eine allgemeine Theorie von Vektorräumen (Vektoralgebra, Vektoranalysis, Tensorrechnung, n-dimensionale Geometrie) entwickelt. Gleich zu Beginn seiner Einleitung zu UA (1898) bezieht sich Whitehead auf Grassmann: It is the purpose of this work to present a thorough investigation of the various systems of Symbolic Reasoning allied to ordinary Algebra. The chief examples of such systems are Hamilton’s Quaternions, Grassmann’s Calculus of Extensions, and Boole’s Symbolic Logic. Um den Stellenwert des Begriffs der Ausdehnung in UA zu realisieren, sei hier auch für UA die Text-Struktur notiert:

• Principles of Algebraic Symbolism (p.1)

• The Algebra of Symbolic Logic (p.33)

• Positional Manifolds (p.117)

• Calculus of Extensions (p.169)

• Extensive Manifolds of Three Dimensions (p.271)

• Theory of Metrics (p.347)

• Application of the Calculus of Extensions to Geometry (p.503-573) Noch einmal: Wenn von Ausdehnung (extension) gesprochen wird, so gehört zum begrifflichen Kontext das gesamte Umfeld der Vektorrechnung — und nicht nur, das sollte betont werden, die (eher dröge) lineare Vektorraumtheorie, wie sie als Lineare Algebra zu den Grundstrukturen des Bourbakismus gerechnet wird, sondern die Theorie der Vektorfelder^{17} und damit eigentlich die Theorie der (partiellen) Diffentialgleichungen, der dynamischen Systeme usw.

17 Wenn Hampe in “Wahrnehmung der Organismen” (p.254) anmerkt, daß Whitehead’s Vektorbegriff nicht den “exakten mathematischen Begriff” meine, so bezieht

Axiomatischer Zugang. Wie man sieht, liefern die weiteren Abschnitte ein axiomatisches Gerüst, mit Axiomen und Annahmen (assumptions). Merkwürdig allerdings ist, daß Whitehead hier nicht, wie an sich üblich, zwischen Axiomen, die vorausgesetzt werden, und Folgerungen, die zu beweisen sind, unterscheidet. In der Tat formuliert er am Ende: A sufficient number of assumptions, some provable, and some axiomatic have now been stated. (PR 459).

Arbeitete man früher, wie etwa Euklid, mit einem Axiomensystem, so erwartete man, daß das Axiomensystem folgende Eigenschaften hatte:

• Widerspruchsfreiheit. (Es gibt mindestens ein Modell.)

• Vollständigkeit.

(Es gibt höchstens ein Modell.)

• Minimalität.

(Das Axiomensystem kann nicht verkürzt werden.)

In der modernen Mathematik haben Axiomensysteme einen völlig andersartigen Stellenwert als etwa bei Euklid: Die Diskussion des Parallelen-Axioms und der Nachweis, daß es neben der euklid’schen Geometrie auch andere Geometrien gibt, die die übrigen Axiome erfüllen, haben dazu geführt, daß man heute meist auf die “Vollständigkeit” verzichtet - man erlaubt, daß es für ein Axiomensystem ganz verschiedene Modelle geben kann. Etwa die Axiomatisierung der Gruppentheorie: wenige Axiome, die aber dann auch kein einzelnes Objekte vollständig beschreiben, sondern es gibt viele Sorten von Gruppen, alle erfüllen sie die Axiome der Gruppentheorie, sind aber nicht isomorph. Und die Axiomensysteme können ganz verschieden interpretiert werden (Hilbert hat dies einmal sehr drastisch formuliert: geometrische Axiome können durch Tische, Stühle, Bierseidel erfüllt sein). Auch auf die Minimalität wird oft kein so großer Wert mehr gelegt: um zu überprüfen, ob eine vorgegebene Struktur die im Axiomensystem formulierten Bedingungen erfüllt, ist es natürlich praktisch, wenn man nur wenige Bedingungen überprüfen muß, andererseits erweist es sich aber manchmal als hilfreich, mit prägnanten, aber vielleicht redundanten Bedingungen zu arbeiten.

Ziel der Whitehead’schen Theorie der Ausdehnung ist es (auch dies wird erst am Ende explizit formuliert), sie auf die physikalische Welt anzuwenden(application of this theory of extension to the existing physical world).

Abschnitt I.

1.Absatz. Hier betont Whitehead, daß das folgende Axiomensystem auch in anderen Zusammenhängen verwendet werden kann.

2.Absatz. Es wurde nicht versucht, ein minimales Axiomensystem vorzulegen.

3.Absatz. Wenn man ein Axiomensystem vorlegt, arbeitet man mit Grundbegriffen, die nicht weiter hinterfragt werden, hier zum Beispiel mit den Begriffen

er sich offensichtlich nur auf den naiven Vektorbegriff der Schulmathematik, nicht jedoch auf denjenigen im Rahmen der Vektoranalysis. In unserer Textanalyse von Abschnitt IV.III.V werden wir genauer über die Vorstellung von Vektorfeldern, die auch Whitehead vor Augen hat, berichten.

“Gebiet” (region)^{18} und “zusammenhängend” (extensively connected, oder einfach connected). Mehr Grundbegriffe gibt es hier nicht, alle anderen Begriffe sind abgeleitet.

Wichtig ist aber natürlich die intendierte Anwendung im Rahmen der Whitehead’schen Prozess-Philosophie. Dies ist später ausführlicher zu diskutieren.

4.Absatz. Zur Illustration werden Euler- oder Venn-Diagramme verwendet.

5.Absatz. Warnung, daß diese Illustrationen irreführend sein können: Erstens verwenden sie Punktmengen, während es das Ziel ist, Punkte überhaupt erst einzuführen. Zweitens zeichnet man zweidimensionale Mengen, gemeint sind aber vierdimensionale Mengen (raum-zeitliche Gebiete). Hier als Skizzen Würfel im ℝ^{2}, ℝ^{3} und ℝ^{4}.

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(So sollte man bemerken, daß bei den gleich folgenden Bildern in der zweiten Reihe die Unterscheidung zwischen (ii) und (iii) die einer eindimensionalen und einer nulldimensionalen Berührung ist. Im vierdimensionalen gibt es aber natürlich nicht nur zwei, sondern vier wesentlich verschiedene Möglichkeiten.)

Drittens sind solche Bilder räumliche Darstellungen, eine der Axen sollte aber eine Zeitachse sein! Die Schwierigkeiten der Veranschaulichung von Raum-Zeit-Gebieten durch Mengenbilder wird von Whitehead mehrfach betont.

18 Palter (p.107, Anmerkung): Whitehead never says explicitly that his regions are closed, but it is a reasonable inference from the properties he does attribute to regions. In terms of standard mathematical conceptions, regions seem to be purely topological in character … – Im Gegenteil, die Definition 21 besagt gerade, daß die Punkte, die zu einem Gebiet gehören (points “situated” in a region) innere Punkte sind! Also sind die Gebiete bei Whitehead offen; da sie auch bschränkt und nicht leer sind, sind sie gerade nicht abgeschlossen. Allerdings ist dieser Unterschied in der Interpretation des Textes völlig unerheblich.

Noch einmal der 4.Absatz. Vorgestellt werden hier 6 verschiedene Diagramme, die mit (i) bis (vi) durchnummeriert sind. Die Mengen sind jeweils durch Kreise gegeben. Hier entsprechende Veranschaulichungen durch Rechtecke; die Nummerierungen entsprechen denen in PR; dreimal geben wir zur Verdeutlichung zwei Varianten an.

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 _{B} (v)  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.} 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_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} 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 ^{B} (vi)

Absatz 6. Hier werden entsprechend Illustrationen für Gebiete vorgelegt, die nicht zusammenhängen, aber mittelbar zusammenhängen. Dabei sollte schon hier betont werden, daß nach der Annahme 2 je zwei Gebiete A, B immer mittelbar zusammenhängen: daß es also immer ein C geben soll, das sowohl mit A als auch mit B zusammenhängt (Definition 1).

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A  B C  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} 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A  B C  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 A  B C

Abschnitt II.

Hier werden Definitionen und Annahmen (assumptions) formuliert; nur auf einige dieser Annahmen soll weiter unten eingegangen werden.

Wie schon gesagt, die Definition 1 formuliert, was unter “mittelbar zusammenhängend” zu verstehen ist.

Die Definition 2 ist den “Inklusionen” gewidmet, siehe die Bilder (i), (ii) und (iii); die Definition 3 den Überlappungen, siehe die Bilder (iv). Wenn notwendig, werden wir A ⊃ B schreiben, falls B ein Teil von A ist^{19}. Überlappungen liefern Durchschnitte, die in Definition 6 thematisiert werden; unterschieden wird, ob es nur eine Zusammenhangskomponente im Durchschnitt gibt oder mehrere.

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A  B^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

(natürlich können hier auch unendlich viele Komponenten auftreten).

Die Definition 4 handelt von Zerlegungen, hier eine Zerlegung in fünf Teilgebiete:

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................

Die Definition 7 führt den Begriff des externen Zusammenhangs ein, siehe die Bilder (v) und (vi). Die Definitionen 8 und 9 liefern die Unterscheidung zwischen den Bildern (ii) und (iii) einerseits und dem Bild (i) andererseits. In den Fällen (ii) und (iii) handelt es sich um eine ”tangentiale” Inklusion, im Fall (i) um eine nicht-tangentiale Inklusion.

Tangential - Nicht-tangential. Die Wortwahl ist irreführend, denn von Tangenten zu sprechen, suggeriert, daß es es so etwas wie Linearisierungen gibt, daß man also über eine differenzierbare Struktur verfügt, was hier in diesem sehr allgemeinen Rahmen sicher nicht angenommen werden kann. Gemeint ist hier eine Unterscheidung, die das Randverhalten betrifft.

Widerspruchsfreiheit des Axiomensystem. In der vorliegenden Form sind, darauf haben einige Kommentatoren hingewiesen, gewisse Unverträglichkeiten; so soll nach Annahme 4 ein Gebiet nicht einmal mittelbar mit sich selbst zusammenhängen, dies widerspricht aber der üblichen Lesart der Definition 1. Das Axiomensystem wäre also, wenn es wirklich ernst genommen werden soll, entsprechend zu überarbeiten.

Ausblick. Für die Methode der extensiven Abstraktion werden wir vor allem mit den nicht-tangentialen Inklusionen arbeiten. Die Frage der mehrfachen Komponenten bei Überlappungen spielt bei der Wahl von Oval-Klassen eine entscheidende Rolle.

19 Wir entlehnen also die Notation ⊃ aus der Mengenlehre, betonen aber, daß Gebiete keine Mengen sind. Wir werden später sehen, daß jedem Gebiet A eine Menge P (A) (die Menge der Punkte in A) zugordnet werden kann, und es gilt dann A ⊃ B genau dann, wenn P (A) ⊃ P (B) gilt. Das letztere Zeichen ⊃ ist dabei die mengentheoretische Inklusion. Insgesamt besagt dies, daß die Teil-Relation für Gebiete durchaus auch mengentheoretisch interpretiert werden kann, aber eben erst, wenn die zugehörigen Elemente konstruiert worden sind. Dies leistet die Methode der extensiven Abstraktion.

Bevor wir weiter gehen, sollte geklärt werden, was denn diese Gebiete im Rahmen der Whitehead’schen Kosmologie bedeuten.

Einschub: Was sind Gebiete? Wann hängen sie zusammen?

Gebiete. Schaut man sich nur die beiden Kapitel II und III an, so wird der Begriff “Gebiet” (region)^{20} unvermittelt vorgelegt, als Grundbegriff, der nur durch seinen Stellenwert innerhalb des Axiomensystems Bedeutung erhält: The term “region” will be used for the relata which are involved in the scheme of “extensive connection” (PR 449). Dies ist zwar im Rahmen mathematischer Theorien, die axiomatisch gegeben sind, üblich, bedarf hier zumindest im Hinblick auf die intendierte Anwendung einer Explikation. Es sei daran erinnert, daß das Ziel der axiomatischen Ausdehnungslehre ihre Anwendung auf die physikalische Welt (the application of this theory of extension to the existing physical world) ist (PR 459). Innerhalb der beiden Kapitel II und III muß man sehr lange warten, bis man Hinweise auf die Einordnung findet. Erst im Abschnitt IV von Kapitel IV.III gibt es sie: im Absatz 3 wird begonnen, die physikalische Bedeutung zu diskutieren, Absatz 4 liefert endlich das entscheidende Stichwort, das weiterhilft: jedem actual entity^{21} ist ein Gebiet zugeordnet, sein “Standpunkt” (standpoint).

Diese Problematik ist übrigens ganz neu in PR, in den vorangehenden Werken wird als entsprechender Grundbegriff der des event^{22} direkt verwendet.

Blättert man zurück^{23} so findet man genauere Information: Im Abschnitt I von Kapitel IV wird jedem actual entity wirklich ein Raum-Zeit-Gebiet zuordnet. Allerdings erscheint der entsprechende Gedankengang recht holprig: Whitehead beginnt mit der zeitlichen Einordnung: The actual entity is the enjoyment of a certain quantum of physical time. Es folgt das Stichwort vom Standpunkt^{24} (gar-

20 Dieser Begriff wird schon in UA verwendet, dort allerdings nur in räumlicher Hinsicht. Und zwar recht unspezifisch; zu Beginn als portion of space, not necessarily a continuous portion, (UA 38) also einfach wohl im Sinn einer Untermenge — später dagegen im Sinn von linearer oder affiner Teilraum, also sehr speziell. 21 Allgemeiner auch: Bei den Gebieten handelt es sich um den raum-zeitliche Aspekt eines event, dabei ist ein event ein nexus of actual occasions, inter-related in some determinate fashion in one extensive quantum. Zu betonen sind hier die letzten vier Worte: in one extensive quantum. (PR 113) 22 Über den Unterschied zwischen Event und Region wird noch zu sprechen sein; Palter (p.109): It seems clear that Whitehead intends regions (the relata of extensive connection) to be formally almost identical with events (the relata of extensions). It is impossible to demonstrate this formal identity between regions and events because Whitehead never lays down a complete set of axioms for either concepts. Und weiter (p.110): The sole formal difference between regions and events which is explicitly mentioned by Whitehead is the fact that regions are limited in extend or bounded, whereas events may be (as in the case of durations) unbounded. 23 Es sollte angemerkt werden, daß hier der Index nicht weiterhilft, weder in der alten PR-Ausgabe, noch in der Übersetzung. 24 Das Begriffspaar Standpunkt und Perspektive ist als zusammengehörig anzusehen und steht in der philosophischen Tradition für die Beziehung des wahrnehmenden Subjekts zu seinen Wahrnehmungen. Verwiesen sei zuerst einmal auf Boethius (siehe Historisches Wörterbuch der Philosophie, Stichwort: Perspektive). niert mit einem Schlenker hin zum lieben Gott): The quantum is that standpoint in the extensive continuum which is consonant with the subjective aim in its original derivation from God. Erst der nächste Absatz thematisiert auch die räumliche Einordnung: There is a spatial element in the quantum as well as a temporal element. Thus the quantum is an extensive region. Hier also nun die ersehnte Zuordnung: Actual entity ↦ Quantum ↦ Gebiet (in der Raum-Zeit). Der Zwischenschritt soll offensichtlich festklopfen, daß es sich bei diesem Gebiet um ein einheitliches Ganzes handelt, also die Atomizität des Gebiets. Das Gebiet ist nachträglich natürlich teilbar (divisible), und dazu wird viel im Axiomensystem gesagt, aber als Gegebenes ist es eine Einheit, auf jeden Fall ungeteilt.

Die Zuordnung: (Actual entity oder Nexus) ↦ Gebiet. Diese Zuordnung liefert “blindes” Verhalten (PR 440), nur das raum-zeitliche Verhalten der Atome, nicht dagegen die Einordnung (Händeschütteln, die Unterscheidung von Billardkugel und Gewehrkugel); die Bits, nicht jedoch die Decodierung. Beim Scanner: Buchstaben als Bitmap oder als Information. Musik: Wellenlängen oder

Whitehead folgt dieser Tradition und bezeichnet damit eine Art Inklusionsbeziehungen zwischen actual entities. Verwiesen sei vor allem aber auf die Monadologie von Leibniz, §57: Und wie eine und dieselbe Stadt, die von verschiedenen Seiten betrachtet wird, als eine ganz andere erscheint und gleichsam auf perspektivische Weise vervielfacht ist, so geschieht es in gleicher Weise, daß es durch die unendliche Vielheit der einfachen Substanzen gleichsam ebenso viele verschiedene Universen gibt, die jedoch nur die Perspektiven des einen einzigen gemäß den verschiedenen Gesichtspunkten jeder Monade sind. Und in §60: … obschon es wahr ist, daß diese Darstellung in den Einzelheiten des ganzen Universums nur verworren ist und deutlich nur in einem Teil der Dinge sein kann, das heißt in jenen, die entweder die nächstliegenden sind oder in Beziehung auf jede der Monaden die größten sind; sonst wäre jede Monade eine Gottheit. In verworrener Weise erstrecken sie sich alle auf das Unendliche, auf das Ganze; aber sie sind begrenzt und unterschieden durch den Grad der deutlichen Perzeption.

Whitehead verwendet diese Begriffe sehr oft. Im Teil II beginnt Kapitel II (das ja den Titel The Extensive Continuum trägt, mit Überlegungen wie der folgenden: The world of contemporary actual entities … is objectified for us as ‘realitas objectiva’, illustrating bare extension with its various parts discriminated by differences of sense data. … Our direct perception of the contemporary world is thus reduced to extension, definiting (i) our own geometrical perspectives, and (ii) possibilities of mutual perspectives for other contemporary entities inter se, and (iii) possibilities for division. (PR 93f).

PR 105: An act of experience has an objective scheme of extensive order by reason of the double fact that its own perspective standpoint of an actual entity has extensive content, and that the other actual entities are objectivfied with the retention of their extensive relationships.

PR 321 (Chapter X Process): Objectification is an operation of … abstraction. … This fact … is sometimes termed the perspective of the actual world from the standpoint of that congrescence. Each actual occasion defines its own actual world from which it originates. (Hinzugefügt wird noch: No two occasions can have identical actual worlds. Stände hier regions, so wäre damit klar, daß die Zuordnung actual entities ↦ regions injektiv wäre.)

Beethoven. Und natürlich mehrschichtig: Gedicht zuerst als Druckerschwärze, dann als Information, dann als Verweis auf andere Gedichte, usw.

PR 439: Actual entities, Nexus: Both types are correlated by their common extensiveness.

Weiter gibt es bei Whitehead aber kaum Bemerkungen, welche Eigenschaften diese Zuordnung hat, obwohl dies eine ganz wichtige Frage ist. Wie schon erwähnt, stellt sich diese Frage in den früheren Arbeiten nicht, da dort statt von Gebieten gleich von events gesprochen wird. Aber gerade der Wechsel der Terminologie sollte stutzig machen (er könnte natürlich einzig dadurch veranlaßt sein, daß in PR rein aximatisch vorgegangen wird und durch den Wechsel der Terminologie die Verschiedenheit der Ebenen betont werden soll, dies scheint aber beim späten Whitehead eher unwahrscheinlich.)

Hier also noch einmal explizit die Frage: Ist ein actual entity oder ein Nexus schon eindeutig durch seine raum-zeitliche Ausdehnung bestimmt? Beispiele: gibt es so etwas wie Schizophrenie? Wenn man das event “Universität Bielefeld im Jahr 1999” nimmt, kann man ausschließen, daß es zwei Kulturen gibt (geisteswissenschaftliches - versus naturwissenschaftliches Denken), oder sind notwendigerweise diese beiden Kulturen räumlich oder zeitlich getrennt? Oder physikalisch, das Röntgen eines Brustkorbs. Man kann dies als ein Event ansehen, aber doch auch als zweie: gleicher Ort, gleiche Zeit.

Auch die zweite Frage, ob die Zuordnung (Actual Entity) ↦ (Gebiet) surjektiv ist, ob also zu jedem Gebiet ein actual entity (oder zumindest ein Nexus) gehört, scheint offen zu bleiben^{25}.

25 Auch die meisten der Kommentare helfen hier nicht weiter. Zu erwähnen ist allerdings W.A.Christian, An Interpretation of Whitehead’s Metaphysics. (Yale University Press 1959 und 1967), der derartige Fragen sehr klar formuliert und zu beantworten versucht, aber zu ganz abenteuerlichen Interpretationen kommt. Und dieses Buch wurde zweimal aufgelegt! Er formuliert folgende Thesen (p.77):

1. An actual occasion is extensive.

2. The region of an actual occasion is definite.

3. The region of actual occasions form an extensive plenum.

4. No two actual occasions have the same region.

5. The regions of any actual occasions are nonoverlapping. Und zusätzlich auch (p. 89, bei ihm unnummeriert):

6. Not all the regions that are relata for extensive connection are regions of actual occasions. Unproblematisch sind die ersten drei Behauptungen, die vierte und sechste

haben wir oben diskutiert. Überraschend, und ganz konträr zum Whitehead’schen Text ist jedoch die fünfte, denn ohne Überlappungen und ohne Inklusionen (die auch von ihm als Spezialfall von Überlappungen gesehen werden und also auch ausgeschlossen sein sollen), kann es gar keine extensive Abstraktion geben, eines der Kernthemen bei Whitehead, und gerade auch von PR. Daß Whitehead sich die Mühe gemacht hat, die Durchführung der extensiven Abstraktion neu zu überdenken und hier nun (im Gegensatz zu PNK und CN, wo ja versucht wurde, zuerst die zeitliche Komponente zu isolieren) eine wirklich raum-zeitliche extensive Abstraktion vorlegt, kümmert ihn nicht. Im Gegenteil, er beruft sich auf die (auch von uns kritisierte) mangelhaft dargestellte Verzahnung der Begriffe event und region und

Im Rahmen der Diskussion von Abschnitt IV werden wir aber genauere Einsicht erhalten, welche Struktur die Whitehead’schen Gebiete haben.

Zusammenhängend, Teilgebiet. Das Axiomensystem hat zwei Grundbegriffe: Gebiet und Zusammenhängend. Die Suche nach einer physikalischen Interpretation des Zusammenhangs ist noch mühseliger. Eine Interpretation des Terminus “zusammenhängend”, der ja in PR der entscheidende Grundbegriff sein soll, wird gar nicht gegeben; nimmt man die beiden disjunkten Begriffe des “sich Überlappens” und des “externen Zusammenhangs” und beachtet man, daß sich das Überlappen auf den Inklusionsbegriff zurückgeführt werden kann, so ergibt sich folgendes: Es gibt im Abschnitt IV.I.II (p.436-438) Erläuterungen zum Inklusionsbegriff; hier wird explizit von Teilgebieten (sub-regions) gesprochen^{26}. Und

macht sich dies zunutze: It is not required by the general theory of extensions that all relations defined in that theory apply to the regions of actual entities … (p.97, die Hervorhebung stammt von ihm. Mit all relations meint er offensichtlich die Annahmen oder Axiome). Und er betont auch, daß in der früheren Theorie ohne die begriffliche Unterscheidung von event und region eine entsprechende Formulierung definitiv ausgeschlossen war: … in the earlier writings events not only may include or extend over other events, they always do include some other events and are included by still other events. … Therefore a proposition analogous to proposition 5, framed in terms of events as described in the earlier writings, would be clearly false. (p.93/94). Daß Whitehead eine derartige Abweichung seiner Vorstellungen sicher kommentiert hätte, bleibt unberücksichtigt; auch gibt Christian keinerlei textlichen Rechtfertigung sondern entwickelt eine eigene Theorie von wirklichen und möglichen (possible) Standpunkten; Überlappungen gibt es bei ihm nur für die möglichen, nicht die wirklichen Standpunkte (p.104). Auf diese Weise entwirft er ein Bild von schön nebeneinander liegenden actual entities, die sich berühren, aber nicht überdecken, also eine Art Pflasterung. (Dagegen wird das Nebeneinander von nicht-überlappenden Einheiten von Whitehead explizit ein “logisches Konstrukt” genannt (p.508).)

Übrigens möchte auch Palter einen völligen Sichtwechsel (very nearly a reversal) bei Whitehead ausmachen: in his early writings there is no doctrine of minimum events; in fact the method of extensive abstraction there explicitly repudiates the idea of either minimum or maximum events. (p.112) Warum es allerdings in PR mimimum events geben solle, bleibt auch hier undurchsichtig. Es könnte sein, daß Ausgangspunkt dieser Pflasterungs-Interpretationen bildliche Illustrationen wie etwa Palter, p.142, sind, in denen actual entities als Kreuzungspunkt eines duration und eines strain dargestellt werden. Derartige Darstellungen gehen wirklich auf Whitehead zurück, siehe Hocking’s Notizen der Harvard-Vorträge 1924-45 zeigen (Anhang 1 bei Ford, etwa p.282-285), hier handelt es sich aber um lokale, keinesfalls globale Darstellungen. Und wenn Palter (p. 146) in diesem Zusammenhang eine Stelle aus AI zitiert, in der notiert wird, daß einzelne actual entities auch durch Nachbarschaftsbeziehungen definiert werden können, so handelt es sich, wie schon der Obertitel The Grouping of Occasions belegt, um eine Auswahl von actual entities, nicht etwa um das viel kompliziertere Gesamtsystem aller events. 26 Eine Begriffsbildung, die in den Kapiteln II und III jedoch nicht aufgegriffen wird. es gibt Erläuterungen zum externen Zusammenhang zumindest von Ovalen, siehe Abschnitt IV.III.IV (p.468-470), aber auch hier nur unter der Annahme einer räumlichen Berührungsfläche. Hier wird die stetige Übertragung zum Beispiel von Energie diskutiert und ein Nachbarschaftsbegriff folgendermaßen eingeführt: Let two actual accasions be termed “contiguous” when the regions constituting their “standpoints” are externally connected. (PR 468)^{27}. Dabei wird dann stillschweigend vorausgesetzt, daß es sich um ein Nacheinander handelt: unterschieden wird zwischen “früher” und “später” (antecedent actual occasion, later actual occasion), also, bei vertikaler Zeitachse, das linke Bild, nicht etwa das rechte:

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Inklusion. PR 440f: Whitehead diskutiert die die Beziehungen The perspective of one subregion from the other.

Verifikation der Axiome. Ist ein Axiomensystem gegeben, und will man es auf eine spezielle Situation anwenden (wie hier), so sind die Annahmen zu verifizieren. Spätestens dann ist man dankbar, wenn sich jemand die Mühe gemacht hat, ein mimimales Axiomensystem auszuwählen. Dies ist ja leider hier nicht der Fall, es bleibt also nichts anderes übrig, als wirklich alle 20 Annahmen zu verifizieren oder zumindest plausibel zu machen. So weit ich sehe, hat sich bisher kein Whiteheadianer dieser Mühe unterzogen – wirklich ärgerlich. Es stellt sich allerdings heraus, daß die meisten Annahmen doch wohl aus vorangehenden Annahmen gefolgert werden können, siehe etwa die Annahmen 5 und 6.

Wo also könnten Probleme liegen?

Annahme 2, beide Teilaussagen: Erstens: Kein Gebiet hängt mit allen anderen Gebieten zusammen. Vor allem aber zweitens: Je zwei Gebiete hängen mittelbar zusammen (und zwar, nach der hier vorliegenden Definition, mit einem einzigen Vermittlungsgebiet).

Annahme 9: Zu jedem Gebiet A gibt es Gebiete B, B′, die in A enthalten sind, wobei B, B′ nicht zusammenhängen. Also folgende Illustration:

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 B  B′ A

Annahme 15: Jedes Gebiet besitzt (viele) Zerlegungen. Diese auf den ersten Blick vielleicht harmlos erscheinende Bedingung ist sehr gravierend. Viele in der Mathematik betrachteten Topologien, auch solche, die den Anschauungsraum betreffen, habe diese Eigenschaft gerade nicht: ich denke hier zum Beispiel an die Zariski-Topologie, die in der algebraischen Geometrie eine wichtige Rolle spielt.

27 Es wird also eigentlich schon vorausgesetzt, daß man weiß, was externally connected bedeutet.

Bei all den Annahmen über die Existenz von Teilgebieten (Annahme 9, Annahme 15) verwundert es, daß hier^{28} nicht verlangt wird, daß es zu jedem Gebiet A Gebiete B gibt, die nicht-tangential eingebettet sind - denn das wird ja im nächsten Abschnitt ganz entscheidend gebraucht.

Und auch, daß nicht genauer die Verfeinerbarkeit in alle Richtungen spezifiziert wird: immerhin handelt es sich um vier-dimensionale Gebilde, die bisher formulierten Annahmen sind auch dann erfüllt, wenn es Verfeinerungen nur in einer Koordinatenrichtung geben sollte, etwa in Zeitrichtung:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} t _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

Abschnitt III: Extensive Abstraktion.

Ausgangspunkt der Whitehead’schen Überlegungen ist die Feststellung, daß es in der Wirklichkeit nichts Punktuelles gibt oder zumindest nicht wahrgenommen werden kann, weder räumlich Punktuelles, noch zeitlich Punktuelles und daß die Vorstellung von Raum- und Zeitpunkten, die sich in den Naturwissenschaften (aber auch im täglichen Leben) etabliert hat, durch einen Abstraktionsprozess erzeugt wird. Die Methode der extensiven Abstraktion macht es sich zur Aufgabe, diesen Abstraktionsprozess nachzuvollziehen. Man denke dabei an das Verfeinern der Wahrnehmung, das Fokussieren, bei dem man sich auf immer kleinere Einheiten konzentriert. Whitehead verweist auch auf Meßvorgänge, etwa auf die immer weiter wachsende Genauigkeit bei astronomischen Messungen.

Zeitpunkt - Zeitdauer: Beispiele. Der Tod Caesar’s. Bei Geschichtsdaten unterscheidet man üblicherweise zwischen punktuellen Daten (Tod Caesar’s, Ernennung zum Konsul, usw.) und Zeiträumen (Regierungszeit Caesar’s, Römisches Imperium, usw.).

Schaut man aber genauer hin, so sind auch die punktuellen Daten gar nicht wirklich punktuell. Beispiel eben: Tod Caesar’s. Das dauert ja. Eindringen des Dolchs, Verdrehen der Augen, etc. Selbst: Eindringen des Dolchs: auch das dauert. Welches sollte denn der genaue Zeitpunkt sein? “Wenn das Herz zu schlagen aufhört” - auch dies kein wohl bestimmter Moment. Siehe auch die gegenwärtige Hirntod-Debatte. Auch örtlich: Whitehead notiert: Tod im Senatsgebäude. Auch hier kann man einkreisen auf Dolch und Körper, oder auch das Herz, usw. Und natürlich ist alles mögliche andere mitzubedenken: die ganze Vorgeschichte. Auch dies läßt sich einkreisen und einkreisen und einkreisen ….

Zweites Beispiel, diesmal aus der Natur. Ein Blitz schlägt ein. Ein Moment? Nein, eine Dauer. Auch örtlich: lokalisierbar, aber nicht punktuell. Und auch hier die Vorgeschichte: die Wetterlage, der Spannungsaufbau. Ohne den Aufbau der Spannung gäbe es die Entladung nicht. Auch hier läßt sich alles einkreisen. Auf

28 Man mache sich aber klar, daß die Annahme 19 derartiges leistet die Stunde davor, oder die Minute davor, oder die Sekunde. Aber man braucht eine Dauer.

Dies beides Ereignisse, spektakulär. Aber natürlich sind genau so auch die unspektakulären Ereignisse zu interpretieren: Die Cheops-Pyramide gestern. Usw.

Auch wenn vom “Standpunkt” die Rede ist, muß man vorsichtig mit dem Bestandteil “Punkt” sein – als Abstraktion mag es ein Punkt sein, real nicht.

Siehe auch RM p.91 A definite limited physical event limited both as to space and time, but with time-duration as well as with its full spatial dimension.

Daß es in der Realität keine wirklichen punktuellen Daten gibt, wird von Whitehead immer wieder herausgearbeitet. Ross (p.179) scheint dies zu stören: It is interesting that Whitehead never considers the posibility that standpoints may not at all be extensive in even a generalized sense ….

Erwähnt seien auch Formulierungen, die sich beispielsweise in SMW finden, dort wird die Vorstellung von simple location mit folgenden Worten kritisiert: Mistaking the abstract for the concrete.

Beispiele zur Verfeinerung der Sicht. Zuerst in der 2-dimensionalen Welt:

• Vergrößerung eines Bilds, Übergang zu einem Bildausschnitt

• Erhöhung der Auflösung

• Genauere Vorstellung: Pixel. Digital-Kamera.

• Die älteren Techniken (Zeitungsbilder mit Bildpunkte, Rasterung von Bildern) sind eher irreführend. Auch die dort verwendeten Bildpunkte sind selbst wieder 2-dimensional.

Analog in der Musik:

• Digitale Aufnahmen. Remastering 20-Bit-Technik usw.

Ganz allgemein sei verwiesen auf den Beitrag

• R. Efron: The Measurement of Perceptual Durations. (207ff). In: Study of Time, p.207 ff.

Abstraktive Mengen. Hier die formale Definition einer “abstraktiven Menge”: Es handelt sich um eine Menge von Gebieten A_{1}, A_{2}, …, wobei jeweils A_{i+1} tangential in A_{i} enthalten ist (für alle i) und andererseits kein Gebiet in allen A_{i} enthalten ist. Es sind also ineinander geschachtelte Gebiete. Was durch eine derartige abstraktive Menge beschrieben werden soll, sind geometrische Dinge^{29}, wie Punkte, Kurvenstücke, Flächenstücke — keineswegs alle, sondern nur ganz spezielle.

29 Holl übersetzt geometrical element ganz richtig mit “geometrisches Element”, während wir hier von “geometrischen Dingen” sprechen wollen. Unser Sprachgebrauch erlaubt es, die Unterscheidung zwischen member und element einfacher herauszuarbeiten: member steht für die mengentheoretische Relation “Element einer Menge” sein.

Beginnen wir mit zwei Beispielen für abstraktive Mengen (Definition 10), die linke ist “punktual” (Definition 17), die rechte “segmental”:

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . ........................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . .. . ........ .  ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................

Zur Verdeutlichung sind hier die gedachten geometrischen Loci (links ein Punkt, rechts ein Segment) eingezeichnet:

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . ........................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . .. . ........ . •  ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. •  • ...................................................................................... ...................................................................................... ......................................................................................

In CN (79) gibt es den Vergleich mit chinesischen (wir würden sagen: russischen) Puppen in der Puppe, in jeder Puppe findet sich eine kleinere; allerdings gibt es bei den abstraktiven Mengen kein letztes, kein kleinstes Element.

Könnten wir Gebiete als Punktmengen interpretieren (aber sie sind es, die durch die Methode der extensiven Abstraktion erst definiert werden), so wäre das geometrische Ding, das zu einer abstraktiven Menge gehört, einfach der mengentheoretische Durchschnitt^{30}. Im Nachhinein ist diese Interpretation auch wirklich erlaubt, denn Definition 21 liefert zu jedem Gebiet eine Punktmenge (die Menge der Punkte situated in the region. Die durch die Annahmen 29-31 stark eingeschränkte Form dieser Punktmengen führt dazu, daß die mit Hilfe der extensiven Abstraktion konstruierbaren geometrischen Dinge sehr speziell sind. So ist zum Beispiel kein Kreis, wohl aber jeder Kreisbogen konstruierbar. Konstruierbar sind beispielsweise Mengen der folgenden Form (jeweils einzeln):

•_{Punkt} _{•}  _{•}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{•}  ^{•}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{•}  ^{•}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{Segmente}  _{•}  _{•}^{•}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{Dreibein}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{Flächenstück} _{usw.}

Nicht konstruierbar (mit Hilfe abstraktiver Mengen) ist ein Punktepaar, ein Kreis oder eine Schlaufe, eine Gerade, eine Halbgerade, usw.

30 Die Annahme nicht-tangentialer Einbettung führ dazu, daß dies Durchschnitte nicht leer sind, dies wohl einer der Gründe für die Neufassung der extensiven Abstraktion in PR.

Das Überdecken. Hier zwei abstraktive Mengen α (rechteckig gezeichnet) und β (kreisförmig gezeichnet); dabei überdeckt die Menge α die Menge β.

\begin{matrix}β & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & 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Die Definition 12 führt einen Äquivalenzbegriff für abstraktive Mengen ein; die Äquivalenzklassen abstraktiver Mengen werden dann “geometrische Elemente” genannt (Definition 13). Hier links zwei äquivalente abstraktive Mengen α = {A_{1}, A_{2}, … } (durchgezogen gezeichnet) und β = {B_{1}, B_{2}, … } (punktiert gezeichnet), jedenfalls jeweils die Anfänge, nämlich die ersten vier Elemente (rechts sind sie noch einmal gezeichnet, nun nebeneinander, um Bezeichnungen für die einzelnen Gebiete zu notieren):

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Der Skizze entnimmt man, daß gilt A_{1} ⊃ B_{3}, A_{2} ⊃ B_{4} und so weiter, also wird β von α überdeckt. Entsprechend gilt B_{1} ⊃ A_{3}, B_{2} ⊃ A_{4} und so weiter, also wird α von β überdeckt.

Die geometrischen Elemente sind als Äquivalenzklassen abstraktiver Mengen recht komplizierte Gebilde^{31} . Bezeichnen wir mit G die Menge der Gebiete, so ist also ein geometrisches Ding (insbesondere also zum Beispiel ein Punkt) ein Element^{32} von PP(G). Die Komplexität dieser Setzung macht sich zum Beispiel bemerkbar, wenn Whitehead formuliert, was es bdeuteten soll, daß ein Punkt P zu einem Gebiet A gehört (a point “situated” in a region, Definition 21): A ∈∈ P, gelesen: A gehört zu einer abstraktiven Menge, die ein Element von P ist.

Einfacher schiene folgender Vorschlag: Ist α eine abstraktive Menge, so sei \overline{α} die Menge aller Gebiete B, für die es ein Gebiet A ∈ α gibt mit B ⊃ A. Man könnte nun als geometrisches Element, das zu α assoziert ist, einfach die Menge \overline{α} (statt der Äquivalenzklasse [α]) nehmen.

Zwei verschiedene Segmente α (durchgezogen) und β (gestrichelt) mit gleichen

31 Darauf weist schon Palter hin. 32 Es sei daran erinnert, daß wir mit P(M) die Potenzmenge der Menge M bezeichnen.

Endpunkten P und Q (sie sind als Punkte eingetragen):

\begin{matrix}. & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . 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sie liefern Segmente mit den gleichen Endpunkten P und Q (hier jedoch nebeneinander gezeichnet):

•  • P  Q_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  •  • P  Q_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}

Inzidenz. Sind α, β abstraktive Mengen, so schreiben wir [α] ⊂ [β], falls die abstraktive Menge β die abstraktive Menge α überdeckt, aber α und β nicht äquivalent sind. Whitehead sagt in diesem Fall, daß α in β inzident^{33} ist (Definition 15).

Punkte. Insbesondere verwendet er diesen Ansatz, um den Begriff des Punktes einzuführen: Ein geometrisches Ding [α] ist ein Punkt, wenn es kein β mit [β] ⊂ [α] gibt (Definition 16): Ein Punkt ist also ein geometrisches Ding, das keine Teile hat!

Nachdem nun Punkte konstruiert worden sind, ist es möglich, die geometrischen Dinge mengentheoretisch zu interpretieren, also als Mengen von Punkten. Dazu wird wieder der Inzidenz-Begriff (Definition 15) verwendet. Und man möchte auch den Gebieten eine Grundmenge von Punkten zuordnen; dies erfolgt dann erst im Abschnitt IV, in Definition 21.

Vergleich der Methode der extensiven Abstraktion in PNK, CN, PR und bei de Laguna. In CN wird zuerst die Zeit abgehandelt, und erst danach die Methode der extensiven Abstraktion eingeführt. Whitehead möchte also als erstes die Zeit isolieren, und zwar soll man auf diese Weise zu einer duration (Dauer) kommen (immer noch mit einer zeitlichen Ausdehnung.) Auch die Einführung der Zeit verwendet abstraktive Mengen, hier wird mit unbeschränkten Mengen gearbeitet (dies wird von de Laguna kritisiert). Als zweites wird dann die Methode der extensiven Abstraktion durchgeführt, ausgehend von events; dabei geht Whitehead ausdrücklich von beschränkten Gebieten (genauer: limited events CN 74) aus. Die Darstellung in CN ist im Vergleich zu PR weniger formal, also keine explizite Nennung von Definitionen, Annahmen, Beweisen, inhaltlich aber

33 Der Inzidenz-Begriff wird häufig als Grundbegriff der Geometrie genommen; ebene lineare Geometrie handelt dann von Punkten, Geraden und Inzidenz: gegeben sind zwei Mengen P (die der Punkte) und L (die der Geraden) und eine Relation I ⊂ P×L, die gewisse Axiome erfüllt; ist P ∈ P und L ∈ L mit (P, L) ∈ I, so sagt man, daß P und L inzident sind, daß also der Punkt P auf der Geraden L liegt. sehr ähnlich; auf Abweichungen wird in PR hingewiesen. Whitehead betont, daß die in PR vorgelegte Axiomatik entscheidend von de Laguna beeinflußt wurde und zwar stammt von ihm die Idee, den Grundbegriff der Inklusion durch den des Zusammenhangs zu ersetzen; unterschieden wird dann zwischen Überlappen und externem Zusammenhang. Der Begriff des externen Zusammenhangs erlaubt es, bei Inklusionen zwischen tangentialen und nicht-tangentialen Inklusionen zu unterscheiden. De Laguna selbst hat in Anlehung an die frühere Whitehead’schen Theorie eine Raum-Theorie entwickelt, er betrachtet also nur die räumliche Ausdehnung und beginnt ganz bewußt mit endlichen drei-dimensionalen Raum-Gebieten.

Nun zu PR, wo die frühere Whitehead’sche Theorie entsprechend den Bedenken de Laguna’s modifiziert wird. Der wichtigste Unterschied zu den vorangehenden Fassungen liegt daran, daß Whitehead nun bei den abstraktiven Mengen nur noch Inklusionen zuläßt, die nicht-tangential sind. Wo liegt der Unterschied und welche Vorstellung steckt dahinter?

Man sollte sich zuerst den Begriff einer Überdeckung (cover) genauer ansehen: α “überdeckt” β könnte so definiert werden: Ist B ∈ β, so gibt es A in α mit A ⊃ B (die Mengen von α sind größer als die Mengen von β). Es wird aber formuliert: Ist A ∈ α, so gibt es B ∈ β mit A ⊃ B

Beispiel: α durchgezogen (Kreise mit Radius 2^{n} um den Punkt (0, 0), dabei ist n ∈ ℤ), und β punktiert (Kreise mit Radius 2^{n} um den Punkt (2^{n}, 0), ebenfalls mit n ∈ ℤ)

α  β_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}

Ist B ∈ β, so gibt es A in α mit A ⊃ B. Ist A ∈ α, so gibt es B ∈ β mit A ⊂ B. Aber: Ist A ∈ α, so gibt es B ∈ β mit A ⊃ B, dagegen: Für kein B ∈ β gibt es ein A ∈ α mit A ⊂ B.

Und offensichtlich gibt es sogar derartige Folgen von Regionen, die sich auf den gleichen Punkt zusammenziehen, ohne daß es irgendeine Überlappung gibt:

α  β_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}

Die Bedeutung der Methode der extensiven Abstraktion. Um den ℝ^{4} als topologischen Raum zu konstruieren, genügt die Vorgabe aller Würfel mit Ecken in ℚ^{4} (ganz so, wie man ℝ selbst aus der Menge der Intervalle in ℚ erhält), dabei kann man zusätzlich eine Schranke für die Kantenlängen vorgeben. Es reichen also relativ wenige Daten aus, um den ℝ^{4} (und damit auch entsprechende vierdimensionale Mannigfaltigkeiten) als topologische Räume zu beschreiben (dies wird im Rahmen der Diskussion der Grünbaum-Kritik noch genauer besprochen).

Im Sammelband The study of Time^{34} gibt es unter dem Obertitel Time, Philosophy and the Logic of Time Concepts die folgenden fünf Beiträge:

• A.N.Prior: The Notion of the Present.

• C.L.Hamblin: Instants and Intervals.

• M. Čapek: The Fiction of Instants.

• E.Cassirer: On the Reality of Becoming.

• W. Mays: Whitehead and the Philosophy of Time. Dabei bezieht sich nicht nur Mays Beitrag sondern auch der von Čapec ganz explizit auf Whitehead. Interesant ist die Arbeit von Hamblin schon wegen der folgenden Schlußbemerkung: Is was drawn to my attention during the Oberwolfach conference by H.A.C. Dobbs that the definition of instants from intervals in settheoretical terms has previously been discussed by A.G. Walker in [7]. (p.331) Die zitierte Arbeit [7] hat den Titel Durées et instants und ist 1947 in Revue des cours scientifiques erschienen. Hamblin hätte sich Whitehead ansehen sollen, bevor er zur Feder griff.

Extensive Abstraktion ist nicht überraschend. Paralellität zur Konstruktion der reellen Zahlen mit Hilfe von Intervall-Schachtelung. Arbeitet man mit Dedekind’schen Schnitten, so arbeitet man mit unbeschränkten Bereichen (dies entspricht in mancher Hinsicht der Einführung von durations in PNK und CN). Cauchy-Folgen verbieten sich, denn hier müßten schon Raum-Zeit-Punkte gegeben sein.

Wir wir wissen, ist ein topologischer Raum durch die Vorgabe einer Menge S und einer geeigneten Menge T von Untermengen von S definiert. Da es sich dann um Untermengen handelt, ist auf T die Enthaltenseinsrelation gegeben. Es sind also zwei Sorten von Entitäten gegeben: Punkte und Mengen.

Rekonstruktion der Grundmenge aus (T , ⊂) ist immer dann möglich, wenn das erste Trennungsaxiome von Hausdorff (das Fréchet-Axiom) erfüllt ist, denn dann entsprechen die Punkte einfach den minimalen nicht-leeren abgeschlossenen Untermengen. In diesem Fall läßt sich also die Grundmenge aus der Kenntnis der abgeschlossenen Mengen (und damit auch aus der Kenntnis der offenen Mengen) rekonstruieren.

Will man, wie Whitehead es tut, die Punkte aus absteigenden Folgen α = {A_{1}, A_{2}, … } von Umgebungen rekonstruieren, so braucht man zusätzlich auch das erste Abzählbarkeitsaxiom: Jeder Punkt besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis.

Es gibt viele vergleichbare Ansätze: Siehe zum Beispiel

• Karl Menger: Topology without points. Rice Institute Pamphlet 27 (1940), 80-107.

• “Mereologie”. Siehe z.B. Peter Simons: Whitehead und die Mereologie. In: Materialien (ed. Hampe, Maaßen), 369-388. Das Stichwort “Mereologie” findet sich sogar im Historischen Wörterbuch der Philosophie!.

• Mengenlehre ohne Elemente (zum Beispiel ohne das Fundierungsaxiom). Aber wahrscheinlich ist Whitehead hier die Priorität zuzusprechen!

34 Herausgegeben von J.T.Fraser, F.C.Haber und G.H.Müller, 1972. Es handelt sich hierbei um die Proceedings of the First Conference of the International Society for the Study of Time. Diese Tagung fand 1969 in Oberwolfach statt.

Fortsetzung der Text-Analyse von Abschnitt III. (Ab Definition 16)

Prime geometrische Dinge. Whitehead betrachtet hier Eigenschaften E = E(α) abstraktiver Mengen, die als Invarianten^{35} bezüglich Äquivalenz auftreten können.

Eine abstraktive Menge α heißt prim bezüglich einer solchen Eigenschaft E, wenn α diese Eigenschaft E hat, und es keine abstraktive Menge β mit [β] ⊂ [α] gibt, die diese Eigenschaft E hat. Es handelt sich hier also um eine Minimalitätsbedingung^{36}. Typisches Beispiel: Sind zwei Punkte A und B gegeben, und nennen wir E(α) die Eigenschaft, daß A und B inzident in [α] ist, so ist jedes Segment mit den Endpunkten A und B prim bezüglich dieser Eigenschaft E.

Abschnitt IV: Ränder.

Die Punktmenge P (A) eines Gebiets (Definition 21). Gegeben sind die Gebiete (als Standpunkte der actual entities), mit ihrer Hilfe wurden Punkte konstruiert. Bezeichnen wir die Menge der Gebiete mit G, so sind die Punkte, wie wir gesehen haben, Elemente von PP(G). Man kann nun jedem Gebiet A die Menge P (A) derjenigen Punkte zuordnet, die zu A “gehören”, oder in A “liegen”; Whitehead spricht von a point “situated” in the region; gemeint ist dabei P ∈∈ A, daß also A zu einer der abstraktiven Mengen, die P definieren, gehört. Ist etwa α = {A_{1}, A_{2}, … } eine abstraktive Menge, die P definiert, so “liegt” P in jedem der A_{i}. Von Interesse ist hier die Tatsache, daß Whitehead mit nicht-tangentialen Inklusionen A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ A_{3} ⊃ … arbeitet. Die Gebiete, in denen der Punkt P liegt, bilden offensichtlich einen Umgebungsfilter für P (im Sinn der mengentheoretischen Topologie); wir erhalten also wirklich einen topologischen Raum, und jedes Gebiet A (oder besser: die Menge P (A) der Punkte, die in A liegen), ist eine offene Menge.

Die Oberfläche eines Gebiets. Die Definition 22 ordnet jedem Gebiet A seine OberfLäche O(A) zu, auch dies eine Punktmenge, und zwar die Menge aller Punkte P mit folgenden Eigenschaften: Einerseits gehört P nicht zu A, andererseits überlappen alle Gebiete B, die P enthalten, die Menge A. Die Oberfläche besteht also gerade aus den Randpunkten der Menge P (A):

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} A  ^{•} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{B}

35 Es soll also gelten: Sind die abstraktiven Mengen α, α′ äquivalent, und gilt die Eigenschaft E für eine der beiden abstraktiven Mengen, so auch für die andere. Eine derartige Eigenschaft E wäre zum Beispiel, punktuell zu sein, oder auch: daß der Punkt P in jedem der Gebiete, die zu α gehören, liegt (daß P mit [α] inzident ist). 36 Daß man in solchen Situation das Wort “prim” (oder auch “primal” oder “primitiv”) verwendet, ist in der Mathematik in verschiedensten Zusammenhängen recht üblich. Die Namensgebung geht auf Betrachtung der Primzahlen in der Zahlentheorie zurück: eine natürliche Zahl n > 1 ist eine Primzahl, wenn sie nur 1 und n als Teiler hat, wenn also die Zahl der Teiler minimal ist.

Die Annahmen 29 – 31. Sie sind besonders hervorzuheben (und wurden merkwürdigerweise bisher kaum zur Kenntnis genommen^{37}): hier wird sehr klar formuliert, welch drastischen Bedingungen nach Whitehead’s Meinung die Gebiete (also die Standpunkte der actual entities) unterworfen sind.

Was steht hier? Erstens: die Zuordnung A ↦ P (A) ist bijektiv. Dies besagt insbesondere, daß es zu jedem Gebiet A Gebiete B gibt, die nicht-tangential in A enthalten sind (denn es muß ja abstraktive Mengen geben, zu denen A gehört). Zweitens: Die Zuordnung A ↦ O(A) ist ebenfalls bijektiv, jedes Gebiet ist also durch seine Oberfläche schon eindeutig bestimmt. Soweit die hier relevanten Aussagen von Annahme 29. Annahme 30 besagt, daß P (A) wegzusammenhängend ist. Entsprechend besagt Annahme 31, daß auch O(A) wegzusammenhängend ist. Diese Annahmen legen nahe, daß nach Whitehead für jedes Gebiet A die Punktmenge P (A) offen in ihrem Abschluß sein soll. Auf jeden Fall sind innere Löcher ausgeschlossen. Betrachten wir etwa das folgende zweidimensionale Analog-Beispiel:

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so sehen wir, daß der Rand O(A) hier nicht zusammenhängend ist.

Offensichtlich ist auch folgende Konfiguration unerwünscht:

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In diesem Zusammenhang sind Beispiele gefragt! Was ist etwa ein Mensch, topologisch gesehen? Als erste Approximation für die räumliche Gestalt erhält man wegen des Verdauungskanals wohl folgendes Bild:

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............................................  ........................................................................................................... ...........................................................................................................  ............................... ...............................

Im analogen zweidimensionalen Modell entspricht dies einem Kreisring, und der wäre ausgeschlossen!

Auch die Annahme, daß jedes Gebiet durch seine Oberfläche eindeutig bestimmt ist, könnte zu Schwierigkeiten führen! Man denke nur an die analoge

37 Im Gegenteil, Palter etwa notiert, daß es derartige Überlegungen im Text gar nicht gibt: Whitehead may wish to exclude regions with “holes” as he excludes events with “holes” in his earlier works; but this is by no means certain since his later theory of extensions (und hier meint Palter eben PR) is deliberately more general than his earlier theory. (p.146) zweidimensionale Situation und zwar an den Fall einer kompakten zweidimensionalen Mannifgaltigkeit wie etwa einer Kugeloberfläche. Betrachten wir kleine Kreisscheiben, so kann man aus der Vorgabe des Randkreises die gegebene Kreisscheibe rekonstruieren, nicht jedoch im Grenzfall, wenn der Rand ein Großkreis ist. Bei Kreisen auf einer Kugeloberfläche von Innen und Außen zu reden, ist mit Schwierigkeiten verbunden^{38}.

Tangential. Der Gebrauch dieses Worts deutet darauf hin, daß die Whitehead’schen Ränder glatt sind, daß es keine Ecken und Kanten gibt.

Unscharfe Ränder. Die Annahme 29 wird von Whitehead nicht nur nicht begründet, sie entspricht auch in keiner Weise der von ihm (und vielen anderen) sehr klar formulierten Kritik an Punktuellem. Mit der Annahme 29 kommt denn doch wieder der Wunsch zum Vorschein, daß die punktuellen Konstruktionen (Abstraktionen) wohlgeformte Gebilde liefern: wenn die Gebiete wohlgeformte Ränder haben (und so ist die Annahme 29 zu lesen), so kann man mit diesen Rändern wissenschaftlich “exakt” arbeiten - aber die Beispiele legen dies nicht nahe.

Es gibt mathematische oder mathematisch-naturwissenschaftliche Ansätze, ohne solche wohlgeformten Ränder auszukommen:

• Fuzzy set theory.

• Vernachlässigen von Mengen vom Maß Null.

• Fraktale.

• Schon das Arbeiten mit Umgebungsbasen im Gegensatz zu Basen der Topologie ist ein erster Versuch, die Frage möglicher Ränder erst einmal offen zu lassen.

Eine derartige Theorie sollte die von Whitehead einfach so geforderte (aber auch nur im sowieso obsoleten Abschnitt über Oval-Klassen gebrauchte) Bijektion zwischen Rändern und Gebieten ersetzen.

Die Möglichkeit, Ränder nicht festzulegen, gehört gerade zu den besonders wichtigen Eigenschaften des Whitehead’schen Ansatzes: zur Robustheit der Theorie.

Verwiesen sei auch auf explizite Formulierungen von Whitehead selbst: Events appear as indefinite entities without clear demarcations. (PNK 73), siehe auch (CN 59).

Eine weitere Schwierigkeit, die die Frage der möglichen Ränder betrifft, ist zu notieren: Bei der extensiven Abstraktion wird ausdrücklich mit nicht-tangentialen Inklusionen gearbeitet. Man erhält auf diese Weise (und das gerade ist beabsichtigt), keine Randpunkte. Allerdings scheint das mikroskopische atomic actual entity eher ein Randpunkt zu sein! (Siehe den Versuch einer Skizze auf Seite 5-10.)

38 Erinnert sei an den Betrunkenen, der etliche Zeit um eine Litfaßsäule schlich und schließlich ganz entnervt schimpfte: “Man hat mich eingemauert!”

4. Grünbaum’s Kritik.

Grünbaum hat sich mehrfach zu Whitehead geäußert, von besonderem Interesse sind:

• Whitehead’s method of extensive abstraction. British J. Philos. 4 (1953), 215-226.

• Buchbesprechung von: Whitehead’s Philosophy of Science (Palter). Phil. Rev. 71 (1962)

E.W. Beth (Math.Reviews 1954) faßt die Grünbaum’schen Argumente folgendermaßen zusammen^{39}:

(i) Even if the existence of denumerable actual infinite is somehow certifiable by sense awareness, sense awareness cannot suggest the idea of a superdenumerable collection of perceptible regions, which is needed in order to avoid Zeno’s paradox of plurality.

(ii) that the convergence of Whitehead’s classes is ambiguous, and (iii) that these classes do not belong to the domain of sense awareness.

Was die beiden letzten Argumente anbetrifft, scheint mir kaum Dissens zu Whitehead zu bestehen. Als Hauptkritik-Punkt ist (i) zu diskutieren, das Erfassen unendlicher Datenmengen. Hier muß als erstes die in der Mathematik übliche Unterscheidung zwischen abzählbar unendlichen und überabzählbar unendlichen Mengen vorgestellt werden.

Abzählbar unendlich – überabzählbar unendlich. In der Mathematik wird häufig, in vielen Zweigen der Mathematik (wie etwa der Analysis) fast immer mit unendlichen Grundmengen gearbeitet, und seit Cantor werden unendliche Mengen nach ihrer Größe (“Mächtigkeit”, also nach der Anzahl der Elemente) unterschieden. Man nennt zwei Mengen S_{1}, S_{2} gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen den Elementen von S_{1} und denen von S_{2} gibt: Zum Beispiel sind die Mengen der geraden Zahlen G = {0, 2, 4, … } und der ungeraden Zahlen U = {1, 3, 5, … } gleichmächtig: man betrachte die Bijektion n ↦ n + 1. Schon überraschender mutet an, daß die Menge G der geraden Zahlen “genau so viele” Elemente enthält wie die Menge ℕ = {0, 1, 2, 3, … } der natürlichen Zahlen (denn G ist ja eine echte Untermenge von ℕ)^{40}: die Abbildung n ↦ 2n liefert die gewünschte Bijektion. Verwendet man den Zahlenstrahl zur Markierung dieser

39 Er fügt hinzu: Though the author’s conclusions are probably correct, argument (i) does not seem fully convincing on account of the Skolem-Lowenheim paradox. Es besagt, daß man, wenn von überabzählbaren Mengen die Rede ist, auch mathematische Modelle finden kann, die sich in vieler Hinsicht gleich verhalten, und in denen man es nur mit abzählbaren Mengen zu tun hat. Dies scheint aber für die hier zu diskutierende Fragestellung irrelevant zu sein! 40 Ist S eine endliche Menge, so gibt es natürlich keine echte Untermenge, die gleichviel Elemente wie S besitzt; anders ist dies bei allen unendlichen Mengen: läßt man zum Beispiel nur endlich viele Elemente weg, so erhält man als Restmenge eine Untermenge, die zur Ausgangsmenge gleichmächtig ist. Man kann also diese merkwürdige Eigenschaft zur Charakterisierung unendlicher Mengen verwenden: Eine Menge S ist genau dann eine unendliche Menge, wenn es eine echte Untermenge U ⊂ S gibt, so daß U und S gleichmächtig sind. beiden Mengen, so haben diese beiden Mengen G und ℕ immerhin das gleiche Aussehen:

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Hat eine Menge die gleiche Mächtigkeit wie ℕ, so nennt man ℕ abzählbar,und man sagt auch, daß abzählbare Mengen die Kardinalität Aleph Null (geschrieben ℵ_{0}) haben. Auch die Menge ℚ der rationalen Zahlen ist abzählbar, das würde man erst einmal nicht erwarten, denn auf dem Zahlenstrahl hat ℚ eine ganz andere Form: es ist eine in ℝ überall “dichte ” Menge, ungefähr so (aber mit noch viel mehr Punkten):

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Der Beweis beruht auf dem Cantor’schen Diagonalverfahren. Um zum Beispiel die rationalen Zahlen \frac{a}{b} ≥ 0 abzuzählen, betrachtet man nacheinander diejenigen^{41} mit a + b gleich 1, gleich 2, gleich 3, usw, also

\frac{0}{1}; \frac{0}{2}, \frac{1}{1}; \frac{0}{3}, \frac{1}{2}; \frac{2}{1}; \frac{0}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}; ….

Ist jede unendliche Menge abzählbar? Nein, wir werden gleich zeigen, daß ℝ nicht abzählbar ist. Ganz allgemein gilt: Ist S eine Menge, so sind S und die Potenzmenge P(S) nicht gleichmächtig.

Beweis. Wir zeigen, daß es keine surjektive Abbildung S → P(S) gibt. Sei f: S → P(S) eine Abbildung. Um zu zeigen, daß f nicht surjektiv ist, konstruieren wir ein Element U ∈ P(S), das nicht Bild eines Elements von S unter f sein kann, wie folgt: Setze U = {s ∈ S | s ∉ f(s)}. (Diese Konstruktion geht auf Russell zurück: auf den Dorffriseur, der alle im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren …).

Eine unendliche Menge, die nicht abzählbar ist, heißt überabzählbar. Wir haben gerade gezeigt: P(ℕ) ist eine überabzählbare Menge. Daraus folgt aber, daß auch ℝ überabzählbar ist (und es gibt viele andere Möglichkeiten, dies einzusehen). Und auch das Intervall I = [0, 1] ist (wie jedes andere Intervall) überabzählbar.

Grünbaum. Er betont zuerst einmal: Empiricists from Aristotle to Hume have maintained that infinitum actu non datur, erlaubt dann aber doch das Heranziehen gewisser einfach strukturierter unendlicher Daten: Let us suppose for the argument that contrary to that tradition, the existence of a denumarable actual infinite were somehow certifiable by sense awareness so that the meaning of aleph zero could still be given a sensationalist pedegree. It would then nevertheless be true that the very notion of actually infinite classes having a cardinality exceeding aleph zero would inexorably defy encompassment by the sensory imagination. For the set-theoretical meaning of super-denumerabiltiy eludes alle logically possible sensory exemplification, since any collection of non-overlapping threedimensional regions of space is at most denumerably infinite (cf. G. Cantor, Math. Ann.1882, 20, 117).

41 Genauer: Um wirklich eine Bijektion, nicht nur eine surjektive Abbildung zu erhalten, muß man rationale Zahlen, die mehrfach vorkommen, jeweils nach dem ersten Auftreten unberücksichtigt lassen. Statt der im Text notierten Folge erhält man dann \frac{0}{1}; \frac{1}{1}; \frac{1}{2}, \frac{2}{1}; \frac{1}{3}, \frac{3}{1}; ….

Fangen wir hinten an, mit seiner Begründung “since”. Cantor’s Satz ist richtig, aber das Heranziehen dieses Satzes ist völlig unsinnig und beleuchtet entscheidend die Problemstellung: Das verräterische Stichwort ist non-overlapping. Es ist völlig klar, daß es bei einem Raum wie dem ℝ^{4} eine abzählbare Basis der Topologie gibt und man wird dies auch bei allen anderen in kosmologischen Theorien betrachteten vier-dimensionalen Mannigfaltigkeiten voraussetzen: daß jede Familie offener, sich nicht überlappender Mengen höchstens abzählbar sein kann. Dies wird zwar bei Whitehead nicht explizit als Annahme formuliert, aber es deutet auch nichts darauf hin, daß er an andere Strukturen gedacht haben könnte. Die Überabzählbarkeit von ℝ, ℝ^{4} und entsprechender Mannigfaltigkeit kommt jedoch nicht von der globalen Struktur her, sondern ist ein rein lokales Problem: ℝ zum Beispiel wird vollständig überdeckt von den abzählbar vielen Intervallen [n, n + 1], wobei n eine ganze Zahl ist, und die Struktur dieser Menge von Intervallen ist so übersichtlich, wie man es nur von einer abzählbaren Menge erwarten kann! Es sind die einzelnen Intervalle [n, n + 1], die überabzählbar sind, und wenn man denn schon an überabzählbar vielen Gebieten interessiert sein sollte, so kann man getrost an Inklusionen denken.

Es sei daran erinnert, daß diese Argumentation Grünbaum’s dazu dient, Whitehead’s Methode der extensiven Abstraktion zu kritisieren: Und dafür werden an keiner Stelle überabzählbar viele Gebiete gebraucht. Im Gegenteil: die abstraktiven Mengen sind bei Whitehead offensichtlich abzählbare Folgen, und zur Konstruktion aller Punkte sagen wir des ℝ^{4} genügt es völlig, mit abzählbar vielen Gebieten wie etwa den vierdimensionalen Würfeln mit Ecken in ℚ^{4} zu beginnen.

Wir könnten hier die Diskussion für beendet erklären, nehmen sie aber zum Anlaß, um nachzufragen, was denn mit dem Leitsatz der endlichen Bestimmtheit der Erfahrung gemeint sein könne. Ausgangspunkt der Grünbaum’ Argumentation ist ja, daß die sinnliche Erfahrung nur endliche Information, vielleicht auch noch abzählbare Information liefert, daß aber durch die sinnliche Erfahrung keinesfalls etwas so kompliziertes wie eine überabzählbare Menge erfaßt werden kann. Stimmt dies? Offensichtlich “sieht” man ein Intervall wie [0, 1], ohne sich auch nur im entferntesten klar zu machen, daß ein Mathematiker dies als eine überabzählbare Menge interpretieren würde! In vieler Hinsicht ist diese überabzählbare Menge I einfacher zu beschreiben, als die abzählbare Menge^{42} I ∩ ℚ, denn I ist einfach die Menge aller Punkte zwischen 0 und 1. Deutlicher wird dies auch, wenn wir uns Computergraphik-Programme ansehen: Zu unterscheiden ist hier zwischen Bitmap-Bildern und Vektorgraphik: zeichnet man zum Beispiel eine Strecke von a und b, so werden bei einer Bitmap-Graphik die Koordinaten aller Zwischenpunkte, die im vorgegebenen Pixel-Raster liegen, gespeichert, bei einer Vektorgraphik

42 Die Mengen ℕ und [0, 1] sind vorstellbar, die Menge [0, 1] ∩ ℚ dagegen ist es gerade nicht. Abzählbarkeit heißt, eine Bijektion anzugeben, diese braucht nicht einmal konstruktiv zu sein, aber im Fall von [0, 1] ∩ ℚ ist sie konstruktiv, und trotzdem ist sie in vieler Hinsicht nicht vorstellbar. Zum Beispiel mache man sich klar: Legt man ein Intervall der Länge 2^{−i−1} um die i-te rationale Zahl q_{i} (entsprechend einer solchen Abzählung q_{1}, q_{2}, …), so ist die Gesamtlänge dieser Intervalle höchstens \frac{1}{2}, es bleibt also ein nicht überdeckter Rest übrig, und dessen Gesamtlänge ist dann mindestens \frac{1}{2}. Dieser Rest enthält aber nur Einzelpunkte, kein einziges Intervall, da jedes Intervall rationale Zahlen enthält. Dies alles sind Überlegungen der Lebesgue’schen Maßtheorie. dagegen nur die Koordinaten dieser beiden Punkte (und die Information, daß es sich um die Strecke mit diesen Endpunkten handelt). Vektorgraphiken haben viele Vorteile: sie sind beliebig skalierbar (wie ich auch vergrößere, ich erhalte immer wieder entsprechende glatte Linien), der Speicherbedarf einer derartigen Datei ist dagegen äußerst gering: gerade dies ist es, was uns hier interessiert.

Die Frage, in welcher Weise Sinnesdaten endlichen Charakter haben, ist äußerst interessant, wird aber durch die Gedankenführung Grünbaum’s eher vernebelt.

• Bild: Pixel, Bits

• Musik: Bits,

• Film: Bits

• Tastsinn: Zum Beispiel beim Gravieren zeigt sich, daß die Motorik des Men-

schen mit feineren Unterschieden umgehen kann, als der Gesichtssinn. Gerade im Rahmen der algorithmischen Mathematik (die ja mathematische Fragestellungen so aufbereiten will, daß sie mit Computern bearbeitet werden können) spielt die Frage der Endlichkeit von Datenmengen eine wichtige Rolle.

Daran schließt sich die Frage an, inwieweit derartige endliche Sinnesdaten immer weiter verfeinert werden können. Offensichtlich beginnt schon hier der Abstraktionsprozess. Es gibt ein anderes Bild, das im Rahmen der Gültigkeit der sogenannten “vollständigen Induktion” in der Mathematik manchmal herangezogen wird. (Dabei will man eine Aussage A(n) beweisen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Man zeigt zuerst, daß A(1) gilt und zeigt dann, daß aus der Richtigkeit von A(n) auch die von A(n + 1) folgt.) Sei A(n) die Aussage, daß in einen Koffer mindestens n Taschentücher passen. A(1) ist klar: In jeden Koffer paßt ein Taschentuch. Nehmen wir nun an, es seien schon n Tachentücher im Koffer (daß also A(n) gilt). Aus Erfahrung weiß man: wie voll auch ein Koffer ist, ein Taschentuch paßt immer noch in den Koffer: es gilt also A(n + 1).

Grünbaum betont: Extensive Abstraktion ist kein sense-datum. Aber auch Whitehead selbst formuliert: AI 135: ... the restless modern search for increased accuracy of observation and for increased detailed explanation is based upon unquestioning faith in the reign of Law. Apart from such faith, the enterprise of science is foolish, hopeless.

Zum Abschluß noch ein Zitat aus PNK (p.76): The method is merely the systematization of the instinctive procedure of habitual experience.

Die Alternative. Schauen wir uns an, welche Alternative es ist, die Grünbaum vor Augen hat. Er kritisiert nicht die Verwendung der reellen Zahlen in Mathematik und Physik zur Beschreibung raum-zeitlicher Phänomene. Ganz wie bei Whitehead gibt es für ihn die Menge ℝ als mathematisches Abstraktum, nicht jedoch in der Realität. Hier noch einmal die Unterscheidung, um die es sich dreht: the classical idea of a continuum as a mere closely packed collection of discrete points im Gegensatz zu the conception of the interconnectedness of regions, derived from their basic extensiveness. (Grünbaum, p.218^{43}) Und aus dem Text wird

43 Es übernimmt diese Formulierung von Hammersmith, Whitehead’s Philosophy of Time: seiner Meinung nach wird der Sachverhalt aptly characterized. Um Mißverständnisse zu vermeiden, sollte allerdings betont werden, daß es sich bei dieser klar, daß er ℝ gerade nicht nur als Punktmenge ansieht, sondern als “Kontinuum”, das heißt zusammen mit seiner Topologie. Zweitens bezweifelt er auch nicht, daß dieses mathematische Abstraktum herangezogen werden kann, um Vorgänge der Wirklichkeit zu beschreiben, daß also die Wirklichkeit koordinatisiert werden kann. Dies bedeutet aber, daß er (wie jeder Naturwissenschaftler) einfach verschweigt, wie er an die reellen Zahlen kommt. Und jede Konstruktion der reellen Zahlen muß von irgendwelchen abzählbaren Konvergenzprinzipien Gebrauch machen. Dabei genügt es ja nicht, die reellen Zahlen als Punkte zu konstruieren, gebraucht wird auch die Topologie, also die Menge der offenen Untermengen von ℝ. Wenn man also, wie Whitehead, die Punkte erst nachträglich konstruiert und nur die Existenz von offenen Mengen, oder genügend vieler solcher Mengen, als gegeben ansieht, so kann man sicher nichts falsch machen. Für die Verwendung dieser Koordinaten zur Beschreibung raum-zeitlicher Phänomene müssen den Objekten raum-zeitliche Bereiche zugeordnet werden — wir sehen also, daß Grünbaum auf die Whitehead’schen Vorgaben gar nicht verzichten kann, daß er allerdings den Abstraktionsprozess einfach stillschweigend voraussetzt und nicht thematisieren möchte. Dies scheint der einzige Unterschied zu sein.

closely packed collection of discrete points nicht um ein Nebeneinander von sich berührenden kleinen Intervallen handelt, sondern wirklich um die übliche mathematische Vorstellung eines topologischen Raums mit Punkten und offenen Mengen, wie man gleichzeitigen Texten von Grünbaum, wie etwa A consistent conception of the extended linear continuum as an aggregate of unextended elements. (Philos.Sci. 19 (1952), 288-306) entnehmen kann.

5. Textanalyse: Kapitel III. Flat Loci.

Vorbemerkung: Im Kapitel III finden sich einige Überlegungen, die eher obsolet wirken. Whitehead versucht hier, eine differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit der Raum-Zeit mit rein mengentopologischen Methoden zu beschreiben. Daß er dabei die angenommenen Flachheit in den Vordergrund stellt, erinnert an die vergebliche Suche nach Beweisen, daß die Erde eine Scheibe sei …. Palter^{44} berichtet über Gespräche zwischen Einstein und Whitehead, in denen Whitehead Einstein davon zu überzeugen versuchte, daß aus philosophischen Gründen die Raum-Zeit nicht gekrümmt sein könne! Zum Beispiel möchte Whitehead sicherstellen, daß es zu zwei Punkten eine eindeutig bestimmte Verbindungsstrecke gibt: einerseits daß es sie gibt, andererseits daß es nur eine gibt, also Existenz und Eindeutigkeit.

Aus gutem Grund wird dieses Kapitel in den Kommentaren meist übergangen, es liefert aber durchaus einige Denkanstöße, die von Interesse sind.

Abschnitt I.

Dieser Abschnitt ist eine Überleitung. Fangen wir mit dem letzten Absatz an, da eigentlich er erst die Überlegungen im Kapitel II zum Abschluß bringt. Notiert wird hier der ontologische Charakter eines Punkts (und jedes geometrischen Dings, das durch extensive Abstraktion gewonnen wurde): es handelt sich um einen Nexus von Actual Entities. Dies ist einerseits keine Überraschung, denn so sind ja die geometrischen Dinge gewonnen: als Menge von Gebieten (oder als Menge von Mengen von Gebieten) mit wohlbestimmten Eigenschaften. Wichtig aber ist dennoch, daß betont wird, daß diese geometrischen Dinge nicht mehr (und nicht weniger) sind, als was sie sind.

Die Abschnitte II und III.

Wir haben in IV.II.III gesehen, daß es zu zwei Punkten P, Q viele Segmente mit diesen Endpunkten gibt. Nun möchte man ein eindeutig bestimmtes “lineares” Segment finden. Es soll “gerade” (straight) und “flach” (flat) sein.

Oval-Klassen. Für die weiteren Überlegungen führt Whitehead den Begriff einer Oval-Klasse (ovate class of regions) ein. Betrachtet wird dabei eine Untermenge der Menge aller Gebiete, die einerseits untereinander, andererseits bezogen auf die restlichen Gebiete, ein ganz prägnantes Schnittverhalten zeigen. In Abschnitt III wird dann als Annahme 1 postuliert, daß es eine solche Oval-Klasse wirklich gibt (in the extensive continuum of the present epoch); Whitehead vermutet (it seems probable, PR 462), daß es auch nur eine solche Oval-Klasse gibt, aber es war ihm nicht möglich, dies zu beweisen. Die Existenzaussage selbst soll weiter unten eingehender diskutiert werden.

44 Zitat aus P.Frank: Einstein, His Life and Times, p.189: Whitehead had long discussions with Einstein and repeatedly attempted to convince him that on metaphysical grounds the attempt must be made to get along without the assumption of a curvature of space. Einstein, however, was not inclined to give up a theory, against which neither logical nor experimental reasons could be cited, nor considerations of simplicity and beauty. Whitehead’s metaphysics did not seem quite plausible to him.

Im ℝ^{n} (und dieser Raum dient Whitehead sicher als Standard-Modell für seinen Kalkül eines Ausdehnungszusammenhangs) bildet die Menge der konvexen offenen Untermengen eine Oval-Klasse im Sinne Whiteheads. Dabei heißt eine Untermenge des ℝ^{n} konvex, wenn sie mit jedem Punktepaar a, b alle Punkte der Verbindungsstrecke enthält (dies sind gerade die Punkte der Form λa + (1 − λ)b, wobei 0 ≤ λ ≤ 1 gilt).

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Wir erläutern hier an der Menge aller konvexen offenen Untermengen die von Whitehead verlangten Bedingungen an eine Oval-Klasse; die zugehörigen Skizzen^{45} beziehen sich auf den ℝ^{2}. Wir beginnen zuerst mit den Bedingungen, die das Schnittverhalten endlich vieler Gebiete betreffen:

(i) Der Durchschnitt zweier konvexer offener Mengen U_{1}, U_{2} ist wieder konvex und offen.

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(ii) Ist U offen, aber nicht konvex, so gibt es eine konvexe offene Untermenge V, so daß sich U und V überlappen und U ∩ V zwei Zusammenhangskomponenten hat.

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(iii) Ist U konvex und offen, so gibt es eine offene Untermenge V, die nicht konvex ist, so daß sich U und V überlappen und U ∩ V zwei Zusammenhangskomponenten hat.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} V  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} U

(iv) Sind U_{1}, U_{2} konvexe offene Untermengen, die sich berühren, aber nicht überlappen, so ist \overline{U}_{1} ∩ \overline{U}_{2} eine zusammenhängende abgeschlossene Untermenge.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} U_{1}  U_{2}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

(v) Ist U offen, aber nicht konvex, so gibt es eine konvexe offene Untermenge V, so daß U und V sich berühren, aber nicht überlappen, wobei \overline{U} ∩ \overline{V} zwei

45 Wird dabei zu einer gegebenen Menge U die Existenz einer Menge V verlangt, so werden wir in den zugehörigen Skizzen V gestrichelt zeichnen.

Zusammenhangskomponenten hat.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} U  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} V

(vi) Ist U konvex und offen, so gibt es eine offene Untermenge V, die nicht konvex ist, so daß U und V sich berühren, aber nicht überlappen, und \overline{U} ∩ \overline{V} zwei Zusammenhangskomponenten hat.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} V  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} U

(vii) Sind U_{1}, U_{2} offene Untermengen, so gibt es V konvex und offen mit U_{1} ⊂ V und U_{2} ⊂ V.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.} U_{1}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} U_{2}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} V

(viii) Sind U_{1}, U_{2} konvex und offen mit U_{1} ⊃ U_{2}, so gibt es V konvex und offen mit U_{1} ⊃ V ⊃ U_{2}.

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(ix) Jede konvexe offene Menge U besitzt Zerlegungen in konvexe offene Mengen, aber auch Zerlegungen in offene Mengen, die nicht konvex sind.

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Wie gesagt, durch diese Axiome wird definiert, was man unter einer Oval-Klasse verstehen soll; dies ist also eine Menge von Gebieten mit speziellem Schnitt-Verhalten. Die Elemente einer solchen Oval-Klasse heißen dann “Ovale” (die Frage, ob ein Gebiet ein Oval ist oder nicht, ist nur entscheidbar, wenn man die ganze Oval-Klasse kennt).

Die weiteren Bedingungen (b)(i) bis (b)(iii) betreffen die Existenz oder Nicht-Existenz abstraktiver Mengen aus Ovalen. Whitehead nennt daher die unter (b) zusammengefaßten Axiome die “abstraktive Gruppe” von Axiomen. Bevor wir diese Axiome diskutieren, sollte die Behauptung 2 (PR 465) vorgestellt werden, die Whitehead für sehr wichtig hält, und für die er einen formalen Beweis vorlegt — ganz im Still eines mathematischen Textes: Erst Definitionen, dann Behauptungen, und zu jeder Behauptung der zugehörige Beweis. Diese Behauptung 2 besagt das folgende: Zwei abstraktive Mengen aus Ovalen, die beide prim bezüglich der gleichen Eigenschaft E sind, sind äquivalent (liefern also das gleiche geometrische Ding). Die Eigenschaften E, die im folgenden Text betrachtet werden, beziehen sich darauf, eine feste vorgegebene Menge P_{1}, …, P_{m} von Punkten zu überdecken.

• Im Fall zweier Punkte P_{1}, P_{2} erhält man auf diese Weise eine Strecke (straight segment oder, als Punktmenge, straight line mit den Endpunkten P_{1} und P_{2}, Definition 5).

• Im Fall dreier Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} erhält man ein Dreieck (Definition 7) mit den Ecken P_{1}, P_{2}, P_{3}.

• Im Fall von vier Punkte erhält man ein Tetraeder (Definition 9) mit diesen Ecken. Die weiteren Definitionen sind dafür gedacht, die entsprechenden globalen Be-

griffe zu liefern: Gerade, Ebene, 3-dimensionaler (flacher) Raum. Verlangt wird dabei jeweils, daß je m Punkte (m = 2, 3, 4) zu einer Strecke, einem Dreieck, einem Tetraeder gehören.

Warnung. Im analogen zwei-dimensionalen Fall zeigt ein Blick auf die Kugeloberfläche (im Gegensatz zum flachen Raum ℝ^{2}), daß aus der Möglichkeit einer Definition nicht auf die Existenz entsprechender Dinge geschlossen werden kann. Im Fall einer Kugeloberfläche ist es unproblematisch, für je zwei Punkte P_{1}, P_{2}, die nicht zu weit auseinanderliegen^{46}, eine eindeutig bestimmte Verbindungsstrecke zu definieren, nämlich eine Kurve kürzester Länge mit den Endpunkten P_{1}, P_{2}. Eine Globalisierung dieser Begriffsbildung scheitert aber daran, daß es zu zwei Antipodenpunkten eben keine eindeutig bestimmte kürzeste Verbindungsstrecke gibt (jeder halbe Großkreis durch die beiden Punkte kann genommen werden, keiner ist vor den anderen ausgezeichnet).

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Die Axiome (b) einer Oval-Klasse. Wir betrachten nun die weiteren Forderungen an eine Oval-Klasse, nämlich diejenigen zu Existenz und Nichtexistenz abstraktiver Mengen von Ovalen. Als erstes wird notiert, daß es zu jedem Punkt P genügen viele (oder genügend kleine) Ovale geben soll, die den Punkt überdecken, daß es nämlich eine entsprechende abstraktive Menge gibt, die nur aus Ovalen besteht. In unserem Modell der konvexen offenen Untermengen des ℝ^{n} lautet die Formulierung:

(i) Jeder Punkt P besitzt eine abstraktive Menge α ∈ P, die nur aus konvexen offenen Mengen besteht (es sei daran erinnert, daß ein Punkt P nichts anderes als eine Äquivalenzklasse abstraktiver Mengen ist). Anders formuliert: Jeder

46 Genauer: es dürfen keine Antipoden sein.

Punkt besitzt einen Umgebungsfilter aus offenen konvexen Untermengen^{47}.

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Dimensionalität. Die letzten beiden Bedingungen, die noch vorzustellen sind, dienen dazu, die Vierdimensionalität der Raum-Zeit herauszuarbeiten. Die n-Dimensionalität würde von Whitehead wie folgt formuliert werden: (ii) Sind höchstens n Punkte^{48} gegeben, so gibt es eine abstraktive Menge aus

Ovalen, die prim bezüglich der Eigenschaft, alle diese Punkte zu überdecken, ist.

(iii) Sind n + 1 Punkte gegeben, so gibt es keine abstraktive Menge aus Ovalen,

die prim bezüglich der Eigenschaft, alle diese Punkte zu überdecken, ist. Ich betone hier den allgemeinen Fall, weil zur Veranschaulichung wieder der ebene Fall, also der Fall n = 2, vorgestellt werden soll: (ii) Sind 2 Punkte gegeben, so gibt es eine abstraktive Menge aus Ovalen, die prim bezüglich der Eigenschaft, alle diese Punkte zu überdecken, ist. Anders formuliert: Sind zwei Punkte P, Q gegeben, so gibt es eine abstraktive Menge aus Ovalen, die ein Segment mit den Endpunkten P, Q liefert.

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(iii) Sind dagegen 3 Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} gegeben, und versucht man, eine abstraktive Menge zu finden, die aus Ovalen besteht und alle diese Punkte überdeckt, so stellt man schnell fest, das dies nur dann möglich, wenn diese Punkte kollinear sind. Denn bilden die Punkte ein echtes Dreieck, so ist das Innere dieses Dreiecks eine konvexe offene Menge M, und M ist in jeder konvexen offenen Untermenge enthalten, die die Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} enthält.

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Es kann also gar keine abstraktive Menge aus konvexen offenen Mengen geben, die alle drei Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} überdeckt.

Existenz von Oval-Klassen. Whitehead führt den Begriff einer Oval-Klasse vor allem ein, um Flachheit definieren zu können. Wie wir notiert haben, besitzt jeder reelle Vektorraum ℝ^{n} (und derartige Räume sind gerade die “flachen”, “geraden” Mannigfaltigkeiten) eine Oval-Klasse. Eine reelle Mannigfaltigkeit mit

47 Ein topologischer Vektorraum mit dieser Bedingungen wird lokal kompakt genannt. 48 Dabei muß man den Fall eines einzelnen Punkts nicht betrachten, da schon die Bedingung (b)(i) besagt, daß es eine abstraktive Menge α ∈ P gibt, die nur aus Ovalen besteht. Und jede abstraktive Menge α ∈ P ist prim bezüglich der Eigenschaft, den Punkt P zu überdecken.

Krümmung, wie etwa eine Kugeloberfläche, ein Torus oder eine Klein’sche Flasche, besitzt wahrscheinlich keine Oval-Klasse im Whitehead’schen Sinn. Betrachten wir zum Beispiel auf der Kugeloberfläche die folgenden beiden Untermengen U (länglich) und V (eine Kreisscheibe), die beide typischerweise als Ovale gelten sollten, so sehen wir, daß die Schnittmenge aus zwei Komponenten besteht.

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Es ist davon auszugehen, daß es in kosmologisch relevanten Modellen keine Oval-Klassen im Sinne der Whitehead’schen Definition gibt. Man könnte versuchen, die axiomatischen Forderungen abzuschwächen, also etwa nur “lokale ” Oval-Klassen zu verlangen. Ob dies erfolgversprechend ist, ist nicht klar.

Abschnitt IV.

In diesem Abschnitt finden sich einige Explikationen zum Begriff des externen Zusammenhangs. Als erstes wird die Problematik des sich Berührens von Gebieten aufgeworfen; dabei beschränkt sich Whitehead auf Ovale. Das Sich-Berühren von Ovalen wird als Grenzfall zwischen konvexem und konkaven Verhalten gedeutet:

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Die übrigen Absätze des Abschnitts IV und der ganze Abschnitt V wenden sich der kosmologischen Interpretation zu, die bisher fast vollständig ausgespart blieb.

Energie-Übertragung. Eine Differenzierung der Raum-Zeit in räumliches und zeitliches Verhalten erfolgt erst im Kapitel IV, das den Entwicklungssträngen (strains) gewidmet ist. Dennoch wird hier nun schon der externe Zusammenhang zweier zeitlich aufeinander folgender actual entities (the objectification of the antecedent occasion in the later occasion) diskutiert; ein derartiger Zusammenhang wird als Übertragung (von Energie, von Information) interpretiert. Zwar schließt Whitehead nicht aus, daß es so etwas wie eine Fernwirkung auch geben könnte, grundsätzlich spricht seiner Meinung nach aber alles für eine unmittelbare Übertragung durch extensiven Zusammenhang und entsprechende mittelbare Übertragung entlang aufeinanderfolgender Gebiete: through a route of successice quanta of extensiveness. These quanta of extensiveness are the basic regions of successive contiguous occasions.

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Die weitere Unterscheidung zwischen unmittelbarer Objektivierung und mittelbarer Objektivierung, in Paralellität einerseits zum geistigen Pol, andererseits zum physikalischen Pol, erscheint recht mystisch. Ihr sind die letzten drei Absätze im Abschnitt IV und auch noch die ersten drei Absätze im Abschnitt V gewidmet.

Es sei hier versucht, eine Zusammenstellung einiger Phänome zu notieren, deren Diskussion hier ansteht: Thematisiert wird hier die Möglichkeit zum Beispiel von

• Telepathie (PR 469)

• Das instinktive Erahnen einer Stimmung im Umgang mit Menschen (PR 469).

• Hellsehen, Zukunfts-Prognosen.

• Erinnerung.

Mentaler Pol. Eine Interpretationsmöglichkeit: Das Erfassen codierter Information (Schrift, Musik, Magisches Auge) erlaubt das Überspringen benachbarter Entitäten, also eine unmittelbare Objektivierung wo ansonsten nur eine mittelbare möglich wäre.

Abschnitt V. Rekapitulation.

Die ersten vier Absätze deuten an, wie die hier entwickelte Ausdehnungslehre im Gesamtkontext von Process and Reality einzuordnen ist. Die abschließenden zwei Absätze von Abschnitt V liefern ein weiteres wichtiges Stichwort, das des “Vektors”, dies soll hier besonders herausgearbeitet werden. Um zu verstehen, welchen Stellenwert der Begriff des “Vektors” im Rahmen der Whitehead’schen Philosophie besitzt, reicht es nicht, den Begriff eines Vektorraums und seiner Elemente (eben einzelner Vektoren) vor Augen zu haben, sondern man muß an ganze “Vektorfelder” denken. Geht man davon aus, daß, in der Sprache der modernen Mathematik, das Kapitel III einen differentialgeometrischen Zugang zur Kosmologie intendiert, so entspricht unsere Interpretation genau dieser Intention. Eine explizite Erwähnung von Differentialgeometrie und Vektorfeldern erfolgt allerdings erst ganz am Ende von Kapitel IV (PR 507).

Vektorfelder. Es sollte betont werden, daß Vektorfelder etwas völlig Natürliches, Grundlegendes, jedem Vertrautes sind; man kennt sie durch die Wetterkarten, wenn durch Pfeile die Windrichtung angedeutet wird, durch Strömungsbilder (auf manchen Meeres-Karten), durch Abbildungen von Magnetfeldern usw. Schon in Schulbüchern der Sekunderstufe I tauchen sie auf, leider nicht in denen der Mathematik, sondern in solchen der Physik, Erdkunde, Biologie.

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Deartige Vektorfelder sind heutzutage eines der wichtigsten Hilfsmittel bei der mathematischen Beschreibung von Vorgängen, die in den Naturwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften untersucht werden: Links skizzieren wir Richtungsvektoren, rechts einige Phasenkurven:

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Mathematische Modellierung dynamischer Prozesse erfolgt meist durch die Betrachtung geeigneter Differentialgleichungen und möglicher Lösungskurven. Fast immer spielen dabei Vektorfelder eine wichtige Rolle.

Was sind Vektorfelder? Ein ebenes Vektorfeld ist nicht anderes als eine Abbildung ℝ^{2} → ℝ^{2}, jedem Punkt x der Ebene wird ein Vektor v(x) zugeordnet, also ein Pfeil, den man zur Verdeutlichung an der Stelle x anträgt, und meist wird verlangt, daß dieser Vektor v(x) stetig (oder differentierbar, oder analytisch …) von x abhängt:

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Offensichtlich beschreibt ein derartiges Vektorfeld eine “vektorielle” Größe, mit Richtung und Maßzahl (der Intensität), also zum Beispiel die Luftbewegung: Windstärke (dargestellt durch die Länge des Pfeils) und Windrichtung (durch die Richtung des Pfeils), wobei man davon ausgeht, daß diese Angaben eben nicht konstant sind (Länge und Richtung der Pfeile v(x) hängen von dem jeweiligen Punkt x ab).

Entsprechend sind Vektorfelder auf beliebigen Räumen ℝ^{n} definiert (als Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{n}; auch hier wird also jedem Punkt x ∈ ℝ^{n} ein Vektor v(x), also Bewegungsrichtung und Intensität, zugeordnet.

Eine derartige Beschreibung dynamischer Prozesse (man denke dabei an Wetterlage, an Bevölkerungswachstum oder an die Wirtschaftsentwicklung) erlaubt Prognosen für die Zukunft (also Wettervorhersage, Rentenformeln, Aktienbewertung). Insbesondere erlaubt eine Beschreibung durch Vektorfelder den völligen Verzicht auf Fernwirkung. Und es ist das Gravitätsfeld, das den Rahmen für die allgemeine Relativitätstheorie liefert; es sei daran erinnert, daß die von dieser Theorie vorhergesagten Ablenkungen der Lichtstrahlen zum Beispiel durch die Sonne wirklich gemessen werden können; allerdings sollte betont werden, daß die Formulierung, daß es zu “Ablenkung” der Lichtstrahlen kommt, eher irreführend ist, da der Begriff der Ablenkung einen absoluten Bezugsrahmen voraussetzt.

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Vektorfelder eignen sich natürlich auch sehr gut im Rahmen der Raumzeit zur Beschreibung der Beeinflussung (und damit dann auch zur Fixierung von von Weltlinien):

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Wenn Whitehead derartige Beeinflussungen diskutiert, so formuliert es dies meist genetisch (als genetische Analyse), also bezogen auf die Vergangenheit eines actual entity:

• Erfassen (Überschrift, Teil III).

• Empfinden (Kapitel I - IV).

• Erfahrung (Kapitel V).

Nun zurück zum Abschnitt V.

Absatz 4. Hier wird der relationale Charakter der Theorie herausgearbeitet. Im Gegensatz zur Descartes’schen Vorstellung physikalischer Körper mit Attributen betont Whitehead die Bedeutung von Relationen, und zwar unterscheidet er zwischen Relationen innerhalb (within) actual entities und solchen zwischen (between) actual entities.

Absätze 2 und 3. Diese Relationen werden durch die Theorie des Ausdehnungszusammenhangs beschrieben: diejenigen innerhalb der actual entities durch den Begriff der Inklusion, die zwischen den actual entities durch Überlappung und externen Zusammenhang. Es ist also die Topologie auf der Menge der Gebiete, die für die organistische Philosophie Whitehead’s grundlegende Bedeutung hat.

Detailliertere Beschreibung dieser beiden Typen von Beziehungen finden sich an anderen Stellen: Die Beziehung des äußeren Zusammenhangs (zumindest in zeitlicher Hinsicht) wurde im Abschnitt IV (und wird dann vor allem im Kapitel IV: Strains) beleuchtet, für das Inklusionsgefüge, das sich im Entstehungsprozess eines actual entities ergibt, ist auf Kapitel III (Die Theorie des Erfassens) zu verweisen.

Die Atomizität der actual entities. Die actual entities werden als letzte Einheiten angesehen, und sie besitzen, wie wir wissen, raum-zeitliche Ausdehnung. Nun spricht allerdings Whitehead in einer Anmerkung^{49} von microscopic atomic

49 Auf den ersten Blick muß es als eine Art Bombe, die das ganze Begriffsgefüge zum Einstürzen bringt, erscheinen, wenn auf der letzten Seite von Teil IV (und danach kommt nur noch Gott) Whitehead die Formulierung: My doctrine of microscopic atomic occasions verwendet. Warum werden hier die actual occasions nicht nur als atomic, sondern als microscopic atomic charakterisiert? Wenn dies denn die Whitehead’sche Lehre ist, so sollte die Charakterisierung der actual occasions als microscopic atomic occasions innerhalb des Buchs einen hohen Stellenwert einnehmen - tut sie dies? Wo finden sich Verweise auf die Vokabel microscopic? Auf den Seiten 75, 196, 254, 326, 327; allesamt innerhalb der philosophiegeschichtlioccasions. Das Verhältnis zwischen makroskopischer und mikroskopischer Betrachtungsweise wird von Whitehead mehrfach thematisiert. Zum Beispiel p.75. Hier wird das Zusammenwachsen (congrescence, Holl: Konkretisierung) unterschieden im Hinblick auf seinen Anfangsstatus (= makroskopisch) und seinen Endstatus (= mikroskopisch); Whitehead spricht von initial facts und final facts. Zur Veranschaulichung vielleicht folgendes Bild: Betrachte den Vergangenheitskegel, der natürlich nicht bis in alle Ewigkeit zurückverfolgt werden muß, also zeitlich abgeschnitten werden kann (linkes Bild), die Spitze davon wäre diese mikroskopische End-Tatsache (aber dies ist ein Abstraktum - keine wirkliche Entität).

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Der subjektiven Einheit eines actual entities entspricht es, den Vergangenheitskegel oder das Standpunkts-Gebiet als eine in sich geschlossene Menge, als Quantum, anzusehen. Ein solches Gebiet ist, wie schon oft betont teilbar, aber ungeteilt (divisible, but undivided).

Absätze 5 und 6. Whitehead polemisiert hier gegen die Vorstellung, zu unterscheiden wäre zwischen Materie und leerem Raum. Die vektorielle Interpretation basiert darauf, die Kräfte (action and flow) in den Vordergrund zu rücken. Der Ausspruch von Heraklit “alles fließt” wird von Whitehead in der Form all things are vectors interpretiert; dabei integriert die Whitehead’sche Interpretation von Bewegung den Quantencharakter.

Bewegung wird als ein Nexus von actual entities beschrieben, und zwar als Nexus sukzessiver actual entities. Hier der Versuch einer bildhaften Umsetzung:

........................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ........................ ....................... ...................... ..................... .................... ................... .................. ................. ................ ............... .............. ............. ............ ........... .......... ......... ........ ....... ...... ..... .... ... .. . .......................................................................................................................................................................................................... ................................ ............................... .............................. ............................. ............................ ........................... .......................... ......................... ........................ ....................... ...................... ..................... .................... ................... .................. ................. ................ ............... .............. ............. ............ ........... .......... ......... ........ ....... ...... ..... .... ... .. .

chen Übersicht (dem Teil II, und zwar in den Kapiteln I, IV, VII, X) und jeweils parallel zur Vokabel macroscopic.

Zieht man die Texte von Northrop, auf die Whitehead verweist, heran, und übersetzt den dort dargelegten Begriff eines “makroskopischen Atoms” in das Whitehead’sche Raster, so klärt sich die Lage: Ein Mensch in seiner zeitlichen Entwicklung, wie auch das Sonnensystem oder ein Molekül, zeitlich nicht weiter eingegrenzt, wären derartige makroskopische Atome. Für Whitehead dagegen handelt es sich bei diesen makroskopischen “Atomen” um (zeitliche) Nexūs von Entitäten, die Identifikation über die Zeit hinweg ist für ihn eine Idee, ein eternal object, keine Realität.

Auch Whitehead selbst tendiert manchmal zu derartigen makroskopischen Atomen, so wenn er in (PR 439) formuliert, daß man in mancher Hinsicht auch die Lebensspanne eines Moleküls, eines Felsens, einer Menschen ein actual entity nennen könnte.

Beispiele: ein sich bewegendes Molekül (PR 114), eine Person (PR 116: jedesmal, wenn Descartes sagt “Ich bin” ist er ein anderer, die Einheit über die Zeit hinweg ist ein eternal object, die sukzessive Abfolge ein Nexus), ein fliegender Pfeil.

Bildhafte Umsetzung, was Nexus bedeutet. Man sieht: Zeitumkehr nicht möglich. Man sieht: Jeder schleppt seine Vergangenheit mit sich herum.

Anhang.

Schaut man sich einen Großteil der Literatur an, so ist man als Außenstehender maßlos enttäuscht, frustriert und alleingelassen: Nichts wird erklärt, nicht einmal der Versuch wird unternommen. Wäre es denn Textexegese, und nicht nur Hackfleisch und Goulasch! Denn zu einer Textexegese gehört meiner Meinung nach auf jeden Fall auch eine Diskussion möglicher Beispiele, und gerade dies vermißt man überall.

Hier soll versucht werden, Beispiele, die Whitehead selbst notiert, zusammenzustellen; und es soll versucht werden, diese Liste so zu vervollständigem, daß alle Wirklichkeitsbereiche, die in das Whitehead’sche Schema passen (und hoffentlich liefert dieser Zusatz keine Einschränkung) abgedeckt werden.

Beispiel-Liste: Actual Entities (und Events).

• Ein Blitz schlägt in einen Baum ein.

• Die Cheops-Pyramide an einem speziellen Tag (CN 75,77) gestern und heute. Oder nur gestern. Nur heute. Oder ein Stein. Eine Wolke. Kreidestaub. Ein Elementarteilchen. (Jeweils: wann? wo? ungefähr). Castle-Rock in Edinburgh (PR 69)

• Vorsicht: Wahrscheinlich sind dies nur events, also ein nexus of actual entities, inter-related in some determinate fashion in one extensive quantum. (PR 113). Fraglich ist hier nämlich die subjektive Einheit (subjective unity), die für ein actual entity konstituiv ist: Fühlt sich die Pyramide als eine Einheit? Oder vielleicht nur die einzelnen Ziegelsteine, die ja als Einheit hergestellt sind, …

• Eine Blüte öffnet sich.

• Ein Hund beißt einen Briefträger (oder einen Hasen).

• Wolf eats lamb (PR 69) (That wolf eats that lamb.)

• Einen Nagel einschlagen (oder besser: eingeschlagen haben, zu einem festen Zeitpunkt, an einer festen Stelle). (W)

• Der Seminar-Beginn am 10.10.2000.

• Ich habe einen Satz bei Whitehead verstanden (am …, so gegen neun Uhr abends).

• Caesar’s Tod: “Die gesamte Natur innerhalb des römischen Senatsgebäudes während des Todes von Julius Caesar” (TSM, p.262)

• Caesar überschreitet den Rubikon (PR 298).

• Ein Verkehrsunfall (CN 74), sagen wir: ein Auffahrunfall am … an der Keuzung ….

• Die französische Revolution.

• Der Sturm auf die Bastille (1789).

• Die amerikanische Unabhängigkeitserklärung (1776).

• Die Amerikaner bombadieren die chinesische Botschaft in Belgrad.

Literatur. Whitehead

[UA] 1898. Universal Algebra.

[PNK] 1919. The principles of Natural Knowledge.

[TSM] 1919. Time Space, and Material: Are they, and if in what Sense, the Ultimate Data of Science?. Proceedings of the Aristotelian Society, Suppl. 2, 44-57. Deutsch: Zeit, Raum und Stofflichkeit: …. In Hampe-Maaßen. p.259-273.

[CN] 1920. Concept of Nature.

[REL] 1922. The Principle of Relativity with applications of Physical Science.

[SMW] 1925. Science and the Modern World.

[PR] 1929. Process and Reality. (Die Seitenzahlen beziehen sich auf die alte Ausgabe!)

[AI] 1933. Adventures of Ideas.

Weitere Literatur.

(Notiert sind jeweils Hinweise, die sich auf die Theorie der extensiven Abstraktion beziehen.)

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Science (Palter). Phil. Rev. 71 (1962) 1966. Sherburne, Donald W.: A Key to Whitehead’s “Process and Reality”.

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Holz, Wolf-Gazo. 1984. Hammersmith, William W.: The Problem of Time. in: Holz, Wolf-

Gazo (ed) Gibt sich redlich Mühe, versteht aber nichts! Aufschlußreich seine persönlichen Bemerkungen am Ende: Hat Schwierigkeiten wegen des unendlichen Rekurses, mit der Gleichzeitigkeit, und schließlich mit einer Unterscheidung zwischen formaler und nicht-formaler (?) Zeit.p 98-100. Weiter: p.34f - seine Auseinandersetzung mit dem Atomismus: er liest aus PR heraus: “atomism is due solely to its mental pole.” Und p.63ff zeigen deutlich sein absolutes Unverständnis der Relativitätstheorie.

1984: Jung, Walter: Über Whiteheads Atomistik der Ereignisse. In: Wolf-

Gazo, p.54 1984: Ford, Lewis S.: The Emergence of Whitehead’s Metaphysics 1925-1929.

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1991. Hampe, Michael und Maaßen, Helmut (ed.): Die Gifford Lectures und ihre Deutung. Materialien zu Whitehead’s “Prozeß und Realität” 2. Suhrkamp.

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Parallel-Literatur.

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setzung: Die Natur des Raumes. In: Hampe-Maaßen I. 1923. Weyl, Hermann: Mathematische Analyse des Raumproblems 1923. Weyl, Hermann: Raum, Zeit, Materie 1927. Russell, Bertrand: Analysis of Matter (deutsch: Philosophie der Mate-

rie. 1929) Tarner-Vorlesungen 1926, Trinity College. Cambridge XXVII. Elemente und Ereignisse p.282. Dort insbesondere auch Einwände gegen Whitehead (p.125) XXVIII. Die Konstruktion von Punkten p.301 XXIX. Die Raum-Zeit-Ordnung p.315 XXX. Kausallinien p.326

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Einstein’s general theory of relativity. Phil. Rev. 66, 525-229. 1973. Hawking, S.W. und Ellis: The Large Scale Structure of Space.-Time.

Cambridge University Press.