Wir haben im vorigen Capitel dargethan, dass wir von grossen Zahlen keinen deutlichen Begriff haben, wenn wir nicht wissen, wie dieselben aus kleineren Zahlen zusammengesetzet sind. Als wenn man sich die Zahl 1735 vorstellet, so bestehet der Begriff von derselben darinnen, dass man weiss, dass dieselbe aus tausend und siebenhundert und dreissig und fünf zusammengesetzt, oder die Summe dieser Zahlen sei. Von diesen Theilen aber wird vorausgesetzet, dass man einen deutlichen Begriff habe; welches im vorhergehenden Capitel genugsam ist ausgeführet worden. Es bestehet nämlich die Erkenntnis der Zahlen darinn, dass man wisse, aus wieviel Unitäten, Decaden, Centenariis, Millenariis etc. eine jegliche Zahl bestehe; und nach diesen Theilen ist sowohl die Art die Zahlen zu schreiben als dieselben mit Worten auszusprechen eingerichtet. Wenn man sich demnach von einer Zahl, welche aus Zusammensetzung zweier oder mehr gegebenen Zahlen entstehet, einen deutlichen Begriff formiren will, so muss man untersuchen, aus wieviel Unitäten, Decadibus, Centenariis etc. dieselbe bestehe. Denn wenn man dieses gefunden, so ist man im Stande, die verlangte Zahl sowohl zu schreiben als mit Worten auszusprechen. Diese Operation nun, dadurch gefunden wird, aus wieviel solcher Theilen die Summe zweier oder mehr gegebenen Zahlen bestehe, wird die Addition genennet. Und deswegen erhalten wir durch die Addition einen deutlichen Begriff von der Summe zweier oder mehr gegebenen Zahlen, und lernen dieselbe sowohl schreiben, als mit Worten aussprechen. Als wenn die Summe von diesen zweien Zahlen 247 und 328 verlanget wird, so ist zwar der Begriff davon schon ziemlich deutlich, weil man weiss, dass dieselbe den zwei gegebenen Zahlen zusammengenommen gleich ist. Man verlangt aber zu vollkommener Erkennlnis dieser Summe zu wissen, aus wieviel Unitäten, Decadibus, Centenariis etc. dieselbe besteht, damit man dieselbe nach der gewöhnlichen Art schreiben und mit Worten aussprechen könne. Dieses nun zu bewerkstelligen giebt uns die Addition sichere und leichte Regeln an die Hand, derer Richtigkeit und Gebrauch wir also gründlich und ausführlich beschreiben werden.

2. Zur Addition zweier oder mehr Zahlen wird erfordert, dass man wisse die Unitates, die Decades, Centenarios etc insbesondere zu addiren. Und, da 10 Unitates eine Decadem, 10 Decades einen Centenarium, 10 Centenarii einen Millenarium und so fort ausmachen, so ist nöthig, dass, wenn in der Addition mehr als 9 Stücke von einer Gattung vorkommen, dieselben zu höheren Gattungen geschlagen werden, so dass niemals mehr als 9 Stücke von einer Gattung in Consideration kommen.

Da die Zahlen, welche zusammengesetzet werden sollen, aus Unitäten, Decaden, Centenariis und so fort, bestehen; so muss die Summe eben so viel Unitäten und Decaden und Centenarios und so weiter in sich begreifen, als die gegebenen Zahlen insgesamt in sich enthalten. Derowegen um zwei oder mehr Zahlen zusammen zu addiren wird gefordert, dass man die Unitäten, Decades Centenarios etc. jede insbesondere addire. Da aber ausser der 0 nicht mehr als neun Characteres vorhanden sind, dadurch eine gewisse Anzahl entweder von Unitäten oder Decaden oder Centenariis etc. kann angedeutet werden, so können niemals mehr als neun von einer Sorte durch diese Characteres bemerket werden. Derowegen, wenn mehr als neun von einer Sorte vorkommen, so müssen daraus so viel von den folgenden höhren Sorten formirt werden, als möglich ist, bis weniger als l0 von einer jeglichen Gattung übrig bleiben. Diese Verwechselung geschieht nun durch Hülfe der Verhältnisse zwischen allen diesen Gattungen, da nämlich 10 Unitäten eine Decadem, l0 Decades einen Centenarium, 10 Centenarii einen Millenarium erfüllen, und so weiter. Weilen nun unsere Begriffe von den Zahlen in so ferne deutlich sind, als wir begreifen, aus wieviel Stücken von einer jeglichen Sorte dieselben bestehen, so gibt sich die obgedachte Verwechselung von selbsten, so bald man die Summe verschiedener Anzahlen von Unitäten oder Decaden oder Centanariis etc. erkennet. Als wenn man weiss, dass 8 und 9 zusammen siebenzehn ausmachen, so weiss man zugleich, dass 8 und 9 Unitates zusammen eben so viel ist als eine Decas nebst 7 Unitäten. Gleichergestalt sind 8 und 9 Decades so gross als ein Centenarius und 7 Decades; und 8 und 9 Centenarii so gross als ein Millenarius und 7 Centenariis; und so weiter mit allen folgenden Sorten.

3. Um zwei oder mehr Zahlen zusammenzusetzen oder zu addiren wird erfordert, dass man zu einer jeglichen Zahl könne eine von den 9 einfachen Zahlen als 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, hinzusetzen, welches entweder durch die Abzählung an den Fingern oder auf eine fertigere Art durch die Erlernung einer Tabelle kann bewerkstelliget werden, aus welcher man sehen kann, wieviel herauskommt, wenn zu einer gegebenen Zahl eine von den 9 einfachen Zahlen hinzugetsetzet wird.

Da alle Zahlen aus den neun ersten einfachen Zahlen zusammengesetzet sind: so bestehet die Leichtigkeit in den arithmetischen Operationen darinn, dass man mit den allergrössten Zahlen eben diejenigen Operationen anstellen kann, welche man mit den neun einfachen Zahlen zu machen weiss. Derowegen wird auch in der Addition erfordert, dass man die einfachen Zahlen zusammenzusetzen wisse; und dazu werden in dieser Operation keine Regeln gegeben. Wenn man aber die einfachen Zahlen zu addiren gelernet, so ist man im Stande, so grosse Zahlen als immer vorgegeben werden zu addiren oder in eine Summe zu bringen. Es wird demnach, ehe diese Regeln gegeben werden, vorausgesetzet, dass man wisse die einfachen Zahlen zusammen zu addiren, welches auch, wenn man nur zählen kann, sehr leicht ist und ganz keine Schwierigkeit hat. Denn wenn man von einer gegebenen Zahl weiter fortzählet, so ist die nächste, welche folget, um eins grösser als die gegebene, die zweite der folgenden um zwei, die dritte um drei und so fort. Und auf diese Art kann man durch Abzählung an den Fingern zu einer jeglichen Zahl noch eine von den neun einfachen Zahlen hinzusetzen. Unterdessen aber ist dennoch dienlich, dass man nachfolgende Tabelle im Kopfe habe, aus welcher man die Summe je zweier einfachen Zahlen anzeigen lernet:

Hat man nun diese Tabelle im Gedächtnis, so kann man durch Hilfe derselben auch mit leichter Mühe zu einer jeglichen Zahl noch eine einfache hinzusetzen. Wo aber je dieses, welches am besten durch eine fleissige Übung erhalten wird, sollte einige Schwierigkeit haben, so kann dieselbe durch die Regeln der Addition selbst gehoben werden: dann diese Tabelle ist hinlänglich zu Addirung zweier Zahlen, so gross sie auch immer sind. Wenn aber drei oder mehr Zahlen sollten zusammengesetzet werden, so müsste man auch die Summe von je drei oder mehr einfachen Zahlen wissen. Weilen nun dieses beschwerlich fiele, so könnte man erstlich nur 2 Zahlen addiren; und sodann zu der Summe noch eine; und so fort, bis alle gegebenen Zahlen in eine Summe sind gebracht worden. Weilen demnach auf diese Art niemals mehr als 2 Zahlen auf einmal zu addiren vorfallen, so kann man sich mit der gegebenen Tabelle so lange begnügen und die Addition mehrerer Zahlen auf besagte Art anstellen, bis man eine grössere Fertigkeit bekommen.

4. Wenn zwei oder mehr Zahlen sollen zusammengesetzet oder in eine Summe gebracht werden, so wird die Sumrne gefunden wenn man alle Unitäten zusammensetzet, und denn alle Decades, ferner alle Centenarios, Millenarios und so fort. Es können aber die Decades, Centenarii, Millenarii, unter sich auf eben die Art addiret werden, als die Unitäten, welche zu addiren im vorigen ist gelehret worden.

Weilen die Summe gleich sein muss denen gegebenen Zahlen zusammengenommen; so muss dieselbe aus so viel Unitäten, Decadibus, Centenariis, Millenariis etc. bestehen, als die gegebenen Zahlen insgesamt enthalten. Derohalben wird die Summe gefunden, wenn man erstlich die Unitäten der gegebenen Zahlen, und denn die Decades, ferner die Centenarios und Millenarios und so fort addiret, und alle diese Sorten zusammensetzet. Die Summe also von zweien oder mehr Zahlen zu finden wird erfordert, dass man wisse insbesondere die Unitäten, ingleichem die Decades, Centenarios, Millenarios und so fort zusammenzusetzen. Was die Unitäten betrifft, so ist die Zusammensetzung derselben im vorhergehenden Punkt gemeldet worden: denn wenn die gegebenen Zahlen, wie wir voraussetzen, auf die gewöhnliche Art entweder ausgesprochen oder geschrieben werden, so können niemals mehr als 9 Stücke von einer Gattung vorkommen; und demnach, um die Unitäten zu addiren, ist genug, wenn man weiss zu einer jeglichen Zahl eine einfache Zahl hinzuzusetzen. Mit den anderen und folgenden Sorten, als Decadibus, Centenariis, Millenariis und so fort, hat es eine gleiche Bewandnis, und wer die Unitäten zusammen addiren kann, derselbe kann auf gleiche Weise die Decades, Centenarios und folgenden Sorten addiren. Denn gleichwie 7 Unitäten und 9 Unitäten zusammen sechzehn Unitäten machen; so machen auch 7 Decades und 9 Decades zusammen sechzehn Decades; und 7 Stücke und 9 Stücke von einerlei Sorten machen zusammen 16 Stücke von eben der Sorte. Woraus erhellet, dass verschiedene Stücke von einer jeglichen Gattung, als Decades, Centenarii, Milenarii und so fort, ebenso leicht und auf eben die Art zusammengesetzet werden, als die Unitäten. Dieses besser zu erläutern, so seien diese Zahlen 5326 und 4937 gegeben, derer Summe gefunden werden soll. Nach der gegebenen Anleitung muss nun die Summe erstlich 6 und 7, das ist nach der vorigen Tabelle 13 Unitäten enthalten; zweitens 2 und 3, das ist 5 Decades; drittens 3 und 9, das ist 12 Centenarios; und viertens 5 und 4, das ist 9 Millenarios. Und derohalben kann man mit Gewissheit sagen, dass die Summe dieser gegebenen Zahlen seie 9 Millenarii, 12 Centenarii, 5 Decades und 13 Unitätes. Allein hiebei ist diese Schwierigkeit, dass diese Zahl oder Summe, so wie sie hier ist angedeutet worden, nicht geschrieben werden kann, weilen mehr als 9 Centenarii und Unitates vorkommen; welches wider die Natur dieser Schreibart läuft. Wenn demnach in dem Addiren mehr als 9 Stücke von einer Gattung vorkommen, so muss dieser Schwierigkeit im Schreiben abgeholfen werden, welches im folgenden Punkt geschehen soll.

5. Wenn in Zusammensetzung der Unitätum, Decadum, Centenariorum und so fort, geschieht, dass mehr als neun von einer Sorte herauskommen; so müssen daraus von der folgenden Sorte so viel Stücke gemacht werden, bis weniger als zehn Stücke bei derselben Sorte vorhanden bleiben. Die Stücke aber von der folgenden Sorte müssen zu der Summe derselben Sorte addiret werden. Auf diese Art wird man nun erhallten, dass von keiner Sorte mehr als neun Stücke herauskommen; weswegen alsdenn die gesuchte Summe leicht wird können geschrieben werden.

Da zehn Unitäten eine Decadem ausmachen, zehn Decades aber einen Centenarium, und zehn Centenarii einen Millenarium und so fort, so wird daraus leicht sein, wenn im Addiren mehr als 9 Unitäten herauskommen, aus denselben eine oder zwei oder mehr Decades zu machen, welche sodann bei der Addition der Decadum mit hinzugesetzet werden müssen. Auf gleiche Weise ist es auch beschaffen mit den Decadibus, welche, wenn mehr als neun vorkommen, einen oder zwei oder mehr Centenarios ausmachen. Ferner operiret man auf eben die Art in Addirung der folgenden Sorten, und erhält dadurch, dass niemals mehr als neun von einer Sorte herauskommen. Und wo dieses geschehen, so wird aus dem, was im vorigen Capitel von der Schreibung der Zahlen gelehret worden ist, leicht sein, die herausgebrachte Summe zu schreiben. Um aber leichter zu sehen, wieviel eine gewisse Anzahl Unitäten Decades, oder eine gewisse Anzahl Decades Centenarios in sich begreifen und so weiter; so ist dienlich, dass man die gefundene Summe der Unitäten oder Decadum oder Centenariorum und folgenden Sorten auf die gewöhnliche Art schreibe und sehe, ob dieselbe aus mehr als einem Character bestehe. Denn bestehet die Summe von einer Sorte nur aus einem Character, so enthält dieselbe kein Stück von der folgenden Sorte, sondern behält den Namen von Unitäten oder Decaden und so fort, aus welchen sie ist gefunden worden. Bestehet aber die Summe auf diese Art geschrieben aus zwei Characteren, so deutet der zur linken Hand an, wie viel Stück von der folgenden Sorte in dieser Summe enthalten, welche folglich mit zu der Summe der folgenden Sorte müssen geschlagen werden. Dieses alles aber wird deutlicher aus nachfolgendem Exempel ersehen werden: Als man verlangt, die Summe von diesen drei Zahlen 2304, 5629 und 7230 zu wissen. Diese zu finden addiret man also die Unitäten von diesen drei Zahlen zusammen, welche ausmachen dreizehn oder 13 Unitäten. Hieraus erkennet man, dass diese Summe 1 Decadem und 3 Unitäten begreife; weswegen nur 3 Unitäten vorhanden sind; und die eine Decas wird mit zu den Decadibus gesetzet. Die Decades aber von diesen drei Zahlen zusammengenommen geben 5 Decades, und zu diesen die obige eine Decas gethan macht 6 Decades; worinn also kein Centenarius enthalten ist. Ferner addire man die 3 und 6 und 2 Centenarios; so findet man eilf oder 11 Centenarios; diese Summe ist also so viel als 1 Centenarius und 1 Millenarius, welcher zu den Millenariis muss hinzugethan werden. Dieser Millenarius also und 2 und 5 und 7 Millenarii machen zusammen 15 Millenarios; das ist 5 Millenarii und eine Decas Millenariorum. Alles dieses zusammen oder die Summe der drei gegebenen Zahlen ist derowegen eine Decas Millenariorum und 5 Millenarii und 1 Centenarius und 6 Decades und 3 Unitäten; welche geschrieben geben 15163, oder fünfzehntausend einhundertunddreiundsechzig. Sollten aber in Addirung einer Sorte hundert oder mehr Stücke herauskommen, so enthält die Summe zehn oder mehr von der folgenden und folglich ein Stück zu der zweiten folgenden Sorte. Als wenn die Summe der Decadum wäre gefunden worden 125, so müsste man 2 Stücke zu den Centenariis und 1 zu den Millenariis hinzusetzen. Dieses ist also der Grund der Addition, aus welchem klar erhellet, dass die auf diese Art gefundene Zahl nothwendig die Sumrne der gegebenen Zahlen sein müsse; indem dieselbe allein eben so viel Unitäten, Decades, Centenarios und so fort in sich enthält, als die gegebenen Zahlen insgesamt. Eben diese Operation aber geschwind und fertig zu verrichten, so werden einige Vortheile gewiesen werden, dadurch die Arbeit sehr erleichtert wird.

6. Wenn zwei oder mehr Zahlen sollen addiret oder zusammengesetzet werden, so schreibe man dieselben untereinander, so dass die Unitäten, ingleichen auch die Decades und Centenarii und so weiter, untereinander zu stehen kommen, und ziehe unter diese Zahlen eine Linie, unter welche die gesuchte Summe gesetzet werden soll. Alsdenn wird von der rechten Hand der Anfang gemacht und die Unitäten zusammen addiret; deren Summe, wenn sie kleiner ist als 10, wird unter die Unitäten unter die Linie geschrieben; ist die Summe aber grösser als 9 und enthält folglich eine oder mehr Decades nebst etlichen Unitäten, so wird nur diese Anzahl der Unitäten unter die Linie geschrieben, die Decades aber bei Addirung der Decadum noch hinzugethan. Auf gleiche Art werden auch ferner die Decades addiret und weiter die Centenarii, Millenarii und so fort. Wo nun dieses alles geschehen, so ist die Zahl, welche herausgekommen und unter die Linie gesetzet worden, die verlangte Summe der gegebenen Zahlen.

Die Zahlen, welche addiret werden sollen, werden deswegen untereinander geschrieben, damit die Zahlen, welche in einer Reihe von oben herab stehen, einerlei Sorten, nämlich entweder Unitäten oder Decades oder Centenarii und so fort bedeuten, und also besser ins Gesicht fallen und desto bequemer addiret werden können. Ferner fängt man die Addition von der Rechten, das ist von den kleineren Sorten an, und fähret fort gegen der Linken, das ist zu den grösseren Sorten; weilen in Addirung der kleineren Sorten grössere Sorten entstehen können, welche alsdann zu den grösseren hinzugethan werden müssen; weswegen die Addition der kleineren Sorten zuerst verrichtet wird. Die ganze Operation kann im übrigen durch Exempel am deutlichsten gewiesen werden. Als es sollen nachfolgende Zahlen 53237; 8729 und 10237 addiret werden; so werden diese Zahlen untereinander geschrieben wie folget:

da dann die erste Reihe von oben herab Unitäten, die zweite Decades, die dritte Centenarios, die vierte Millenarios, und die fünfte Decades Millenariorum bedeutet. Nun werden erstlich die Unitäten addiret und gesagt: 7 und 9 macht 16 und noch 7 dazu macht 23 Unitäten, das ist 2 Decades, welche zu der zweiten Reihe müssen hinzugethan und deswegen bei dieser Reihe mit 2 Punkten bemerket werden; die drei Unitäten aber werden unter die Linie auf die erste Stelle von der rechten Hand, das ist auf die Stelle der Unitäten, geschrieben. Zweitens geht man zu den Decaden und sagt: 3 und 2 macht 5 und noch 3 macht 8 und noch 2, welche durch die 2 Punkten angedeutet worden, macht 10 Decades, das ist 1 Centenarius und keine Decas; weil nun keine Decas vorhanden, so wird unter die Linie auf die zweite Stelle eine 0 geschrieben; der 1 Centenarius aber wird durch einen Punkt bei der dritten Reihe der Centenariorum angedeutet. Drittens sagt man: 2 und 7 macht 9 und noch 2 macht 11 und noch 1 wegen dem Punkt macht 12 Centenarios, das ist 1 Millenarius, welcher durch einen Punkt bei der folgenden Reihe angedeutet wird, und zwei Centenarii, welche unter die Linie auf die dritte Stelle geschrieben werden. Viertens machen 3 Millenarii und 8 und noch einer zusammen 12 Millenarios oder 1 Decadem Millenariorum, so durch einen Punkt bei dieser Sorte angezeiget wird, und 2 Millenarios, welche unter die Linie auf die vierte Stelle geschrieben werden. Endlich hat man noch 5 und 1 und noch 1 Decadem Millenariorum, das ist 7 Decades Millenariorum, welche unter die Linie auf die fünfte Stelle geschrieben werden. Hiemit ist die Operation zu Ende gebracht, weswegen die Summe der gegebenen Zahlen ist: zweiundsiebenzigtausend zweihundertunddrei. Aus der Ausführung dieses Exempels kann nun nicht nur der Grund der Addition, sondern auch der Grund von den gemeinen Regeln erkannt werden, welche man mit wenig Worten auf folgende Art gebraucht:

Diese vier Zahlen zu addiren, so sagt man, nachdem dieselben auf die gewiesene Art sind geschrieben worden: 8 und 1 macht 9 und 3 macht 12 und 4 macht 16; schreibt also 6 und behält 1 zur folgenden Reihe. Ferner: 7 und 8 macht 15 und 9 macht 24 und 1 macht 25; schreibet 5 und behält 2. Drittens: 1 und 2 macht 3 und 6 macht 9 und 2 macht 11; schreibt 1 und behält 1. Viertens: 5 und 6 macht 11 und 7 macht 18 und 5 macht 23 und 1 macht 24; schreibt 4 und behält 2. Fünftens sagt man: 3 und 4 macht 7 und 5 macht 12 und 3 macht 15 und 2 macht 17; schreibet 7 und behält 1. Sechstens: 9 und 8 macht 17 und 7 macht 24 und 2 und 1 macht 27; schreibet 7 und dazu auch das 2, weilen keine Reihe mehr folget, dazu dies noch sollte addiret werden. Von den gegebenen 4 Zahlen ist demnach die Summe 2774156. Diese Operation kann ferner in nachfolgenden Exempeln angewandt werden:

In diesen Exempeln haben wir dasjenige, was noch bei Addirung der folgenden Reihe muss hinzugethan werden, nicht mit Punkten bemerket, weilen man sich angewöhnen muss, diese Punkte in dem Gedächtnis zu behalten. Nach folgende Exempel sind deswegen hinzugesetzet worden, damit man sehe, wasfür Fragen durch die Addition können aufgelöset werden.

1. Bei Zerstörung der Stadt Troja meldet die Historie, dass von den Griechen 880 000 Mann, von den Trojanern aber 686 000 Mann umgekommen: nun ist die Frage, wieviel Menschen in allem dabei ihr Leben eingebüsset?

   Antw.: Die Anzahl aller Umgekommenen wird gefunden durch die Addition; wenn man die Toten sowohl der Griechen als der Trojaner in eine Summe bringt; wie folget:

   880000 686000 Summa: 1566000 die Anzahl aller Toten.

2. Vier Personen sind mir schuldig zu bezahlen: der erste 6952 Rubel, der zweite 8346 Rubel, der dritte 6259 Rubel, der vierte 5490 Rubel. Nun wollte ich gerne wissen, wieviel ich in allem von diesen 4 Personen zu forderen hatte?

   Antw.: So viel als diese vier Zahlen in einer Summe zusammen ausmachen; diese verlangte Summe wird demnach durch die Addition gefunden, wie folget:

   6952 8346 6259 5490 Summa: 27047 Rubel, so viel ich von allen vieren zu forderen habe.

3. Die heilige Schrift bezeuget, dass Mathusalem, als er den Lamech gezeuget, alt war 187 Jahre, und nach dieser Zeit noch gelebt habe 782 Jahre. Woraus man das ganze Alter des Mathusalems zu wissen verlangt.

   Antw.: Mathusalem hat so viel Jahre gelebt, als die zwei Zahlen 187 und 782 in einer Summe zusammen ausmachen; wird also gefunden wie folget:

   187 782 Summa: 969 Jahre ist das ganze Alter Mathusalems.

4. A. GELLIUS gedenket, dass der Poet HOMERUS 160 Jahre vor Erbauung der Stadt Rom gelebet. Nun ist Rom 752 Jahre vor Christi Geburt gebauet worden; und von Christi Geburt bis jetzt sind verflossen 1737 Jahre. Nun wird gefraget, vor wieviel Jahren der Poet HOMERUS gelebt?

   Antw.: Von des HOMERI Zeiten bis auf jetzo sind verflossen 160 und 752 und 1737 Jahre, welche drei Zahlen zusammen machen wie folget:

   160 752 1737 Summa: 2649 Jahre; und vor so viel Jahren hat also der Poet HOMERUS gelebet.