Convex polyhexes with area divisible by 4: Torsten Sillke, 1995-01-19 Classification of all convex figures which can be build with 4-9 o o o o Hexagons with sidelengths: a, c+s, b, a+s, c, b+s Elementary Region: 1 <= a <= b <= c <= 4, 0 <= s <= 7 T : the number of pieces T a b c s ----------- 1 1 1 4 0 o o o o impossible 1 1 2 2 0 o o impossible o o 2 1 2 2 1 o o o impossible o o o o o 2 1 2 4 0 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 1 3 2 o o o impossible o o o o o o o o o 3 1 3 4 0 1 2 2 2 1 1 2 3 1 3 3 3 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 3 4 1 4 4 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 4 2 2 3 1 o o o impossible o o o o o o o o o o o o o 5 1 1 2 4 o o o o o o o o o 1 o o o 2 1 1 1 2 2 2 5 2 2 4 1 o o o o impossible o o o o o o o o o o o o o o o o 6 1 2 3 3 1 1 1 2 1 3 4 2 2 3 4 4 2 5 3 3 6 4 5 5 5 6 6 6 6 1 4 4 1 o 1 1 1 o o 1 o o o o 2 o o o o 2 o o o 2 2 o o 6 3 3 4 0 o o o o 1 o o o o 1 1 1 2 2 2 o o o o 2 o o o o 7 1 1 1 6 o o o 1 o o 1 1 o o 1 3 4 o 5 2 3 3 4 4 5 2 2 2 3 4 5 5 7 2 2 4 2 o 1 1 o o o 1 o o o o 1 2 o o o o 3 2 2 o o o 3 3 3 2 o 8 1 2 3 4 x x 1 x x 1 1 x x 1 2 3 x x 2 2 2 3 y y y y 4 3 3 y y y y 4 4 4 8 2 4 4 1 x x x x x x x x o y y y y o o y y y y o o x x x x o o x x x x o 9 1 1 1 7 o o o 1 o o 1 1 o o o o 1 o 2 o o 3 2 2 2 o o 3 o o o o o o 3 3 o o o o 9 1 3 4 3 x x x x x x x x 1 y y 2 1 1 1 y y 3 2 4 4 4 y y 3 2 2 5 4 y y 3 3 5 5 5 9 3 3 3 2 x x x x x x y x x x y y x x x y y y z z z z y y y z z z z y y z z z z y 10 2 2 3 4 1 1 1 x x 1 2 x x 3 2 2 x x 3 2 o o x x 3 3 o o o y y y y o o o o y y y y o o o 10 3 4 4 1 x x x x o x x x x o o y y y y o o o y y y y o o o x x x x o o x x x x o x x x x 11 1 1 2 7 x x o x x o o x x o o o x x o o o o y y o o o o o y y o o o o o o y y o o o o o o o y y 12 1 2 4 5 x x x x y x x x x y y o o o o y y o o o o o y y o o o o o o 1 y o o o o o o o 1 1 1 o o o o o o 12 2 3 3 4 y y y y y y y y y x y y y x x x o o x x x x o o o x x x x o o o o x x x o o o o o x o o o o o o 12 4 4 4 1 x x x x x x x x y x x x x y y x x x x y y y z z z z y y y y z z z z y y y z z z z y y z z z z y 13 1 1 3 7 o x x o o x x o o o x x o o o o x x o o o o o y y o o o o o o y y o o o o o o o y y o o o o o o o o y y 13 2 2 2 6 o o o o o o o o o 1 o o o 2 o 1 1 2 2 o o o 1 3 2 o o o o 4 3 3 3 o o o o 4 x x x x o o o 4 4 x x x x o 14 2 3 4 4 x x x x o x x x x o o y y y y o o o y y y y o o o o x x x x o o o o o x x x x o o o o o y y y y o o o o y y y y 15 1 1 4 7 x x x x o x x x x o o y y y y o o o y y y y o o o o x x x x o o o o o x x x x o o o o o o y y y y o o o o o o o y y y y 15 1 3 3 6 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o x x x 1 1 x x x x x x x 1 x x x x x x x 1 2 x x x x x 2 2 2 x x 15 4 4 4 2 x x x x x x x x y x x x x y y x x x x y y y x x x x y y y y z z z z z y y y y z z z z z y y y z z z z z y y z z z z z y 17 2 3 4 5 x x x x o x x x x o o y y y y o o o y y y y o o o o x x x x o o o o o x x x x o o o o o o y y y y o o o o o o y y y y o o o o o y y y y 18 1 3 3 7 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o x x x 1 1 1 x x x x x x x 2 1 x x x x x x x 2 2 3 x x x x x 2 3 3 3 x x 19 3 4 4 4 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o x o o o o o o x x o o o o o o y x x x x y y x x y y x x x x y y x x y y x x x y y x x y y x x y y x x y 21 2 3 3 7 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o x x x 1 1 1 y y y y x x x x 2 1 3 y y y y x x x 2 3 3 z z z z x x 2 2 3 z z z z 23 2 4 4 6 x x x x y x x y y x x y y x o o y y x x o o o y x x y o o o o x x y y o o o o o x y y x o o o o o o y y x x x x y y z z z y x x x x y y x x y x x x x y y x x y x x x y y x x y 24 3 3 3 7 o o o o o o o x o o o x x x o o x x x x y y y x x x x y y y y x x x x y y y y y x x x x y y y y y y x x x x y y y y y y y x x x x y y y y y y y y x x x y y y y y y y y y x y y y y y y y y y y 27 3 3 4 7 x x x x o x x x x o o y y y y o o o y y y y o o o o x x x x o o o o o x x x x o o o o o o y y y y o o o o o o o y y y y o o o o o o o o x x x x o o o o o o o o o x x x x o o o o o o o o y y y y o o o o o o o y y y y Impossible convex figures: (A) 1x4n o o o o o o . . . reason: too small (B) 2x(4n-2) no odd one o o o o o o . . . o o o o o o . . . reason: the strip of width 2 dissects into 2x4 parallolograms . . . 1 2 2 2 . . . . . . 1 1 1 2 . . . (C) o o o . . o o o o o . . o o o o o . . o o o reason: head no tilable (D) o o o o . . o o o o o o . . o o o o o o . . o o o reason: the strip of width 3 dissects into 3x4 parallolograms One piece can fill 1, 2, or 3 points in the middle row. But the 3 in the middle position is impossible. . . . . 1 2 2 2 . . . . piece 2 is forced and . . . . 1 1 1 2 . . . . point x is unfillable. . . . . . . x . . . . . As border : middle points = 2 : 1 there must be pieces with 2 points in the middle row. . . . . 1 3 3 3 . . . . piece 2 is forced and . . . . 1 1 2 3 . . . . then piece 3 is forced. . . . . 1 2 2 2 . . . . (E) sporadics o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o (E1) follows from (C) 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 Induction (enlargment of the elementary figures): (a,b,c,s) -> (a+4,b,c,s) (a,b,c,s) -> (a,b+4,c,s) (a,b,c,s) -> (a,b,c+4,s) (a,b,c,s) -> (a,b,c,s+8) -- mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/