Trivial Packings: x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y x x x x -> x x x x y y x x y y y y y x x x x x -> x x x x x y Non-Trivial Packings: x x x x x x -> 3x6x6 . 20 20 20 14 . -> figure A . 20 18 20 14 . 26 26 26 20 14 16 . 21 21 21 14 . . 21 18 21 18 . 26 21 26 16 14 16 . 22 22 22 14 . . 22 18 18 18 . 26 22 22 16 16 16 a a a a a a The 3x6x6 box made from x a a a a y 2 times A plus 2 times 1x3x4. x a a a a y x b b b b y x b b b b y b b b b b b x x x x x x -> 3x6x6 89 85 81 81 81 73 88 88 82 79 75 78 88 88 88 78 78 78 88 84 80 76 78 78 86 84 80 76 74 72 86 84 83 76 74 72 89 85 82 81 81 73 89 85 82 79 75 73 89 85 80 79 75 73 86 84 80 79 74 72 86 84 80 76 74 72 86 83 83 76 74 72 89 85 82 81 75 73 89 85 82 79 75 73 87 87 82 79 75 77 87 87 87 77 77 77 87 84 80 76 77 77 86 83 83 83 74 72 x x x x x x -> 3x6x6 26 26 23 23 18 18 12 23 23 18 18 10 12 23 23 18 18 10 13 24 24 19 19 11 13 24 24 19 19 11 27 27 24 24 19 19 26 26 21 21 16 16 12 21 21 16 16 10 12 21 21 16 16 10 13 22 22 17 17 11 13 22 22 17 17 11 27 27 22 22 17 17 12 26 26 14 14 10 12 20 20 14 14 10 25 25 20 20 14 14 25 25 20 20 15 15 12 25 25 15 15 11 12 27 27 15 15 11 x x x x x x -> 3x6x6 25 23 23 14 14 10 25 a x x b 10 a a a b b b a a a b b b 27 a y y b 11 27 24 24 16 16 11 23 23 x x 14 14 25 x x x x 10 25 a x x b 10 27 a y y b 11 27 y y y y 11 24 24 y y 16 16 25 23 23 14 14 10 25 a x x b 10 a a a b b b a a a b b b 27 a y y b 11 27 24 24 16 16 11 2 2 1 1 -> 2x6x6 x x x x y y x 17 17 x 14 y y y 14 14 14 y y 18 18 18 y y y 18 x 13 13 x y y x x x x x x x x y y x 17 17 x 14 y y y 17 13 14 y y 18 17 13 y y y 18 x 13 13 x y y x x x x 1 1 1 1 2 -> 2x6x6 with reflections 43 39 39 39 39 37 43 40 40 36 39 34 43 41 40 36 35 35 43 43 40 36 38 35 44 42 40 36 36 35 45 42 42 42 42 35 43 39 37 37 37 37 44 44 37 36 41 34 44 41 41 41 41 34 44 38 38 38 38 34 44 38 40 45 34 34 45 45 45 45 42 35 x x x x x x 6 6 . . . . has only one solution 6 6 6 6 6 . 6 6 6 6 6 . 6 6 6 6 6 . 6 6 6 6 6 . 6 6 . . . . 3 3 . . . . this solution is 3 3 4 4 4 . two times this block 3 3 4 4 4 . 3 3 2 2 2 . 3 3 2 2 2 . 3 3 . . . . 31 22 . . . . 32 32 32 13 11 . 33 23 32 13 11 . 33 23 32 13 11 . 33 23 32 29 14 . 33 23 . . . . 31 22 . . . . 30 21 21 21 21 . 30 21 16 16 16 . 30 21 17 13 11 . 30 30 30 29 14 . 33 23 . . . . 31 22 . . . . 31 22 15 15 15 . 31 22 16 12 10 . 31 22 17 13 11 . 29 29 29 29 14 . 33 23 . . . . 26 19 . . . . 27 27 27 27 15 . 28 20 16 12 10 . 28 20 17 13 11 . 28 20 14 14 14 . 28 20 . . . . 26 19 . . . . 25 25 25 27 15 . 25 18 16 12 10 . 25 18 17 17 17 . 25 18 18 18 18 . 28 20 . . . . 26 19 . . . . 26 19 24 27 15 . 26 19 24 12 10 . 26 19 24 12 10 . 24 24 24 12 10 . 28 20 . . . . o1 o1 o1 o1 o1 T1 a point sym solution P1 P1 P1 P1 P1 P1 unique sym sol. after placing P1, P2, O1, O2 P1 P1 A1 A1 A1 P1 P1 P1 A1 A1 A1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 T1 o1 o1 o1 o1 o1 o1 B1 B1 B1 o1 T1 42 B1 39 39 39 39 42 B1 A1 43 B1 39 42 B1 A1 43 B1 39 43 43 43 43 B1 42 T1 o1 B1 B1 B1 o1 o1 o1 o1 o1 o1 T1 42 O1 O1 O1 O1 T1 T1 O1 A1 A2 O1 T1 T1 O1 A1 A2 O1 T1 T1 O1 O1 O1 O1 42 T1 o1 o1 o1 o1 o1 o2 o2 o2 o2 o2 T1 42 O2 O2 O2 O2 T1 T1 O2 A1 A2 O2 T1 T1 O2 A1 A2 O2 T1 T1 O2 O2 O2 O2 42 T1 o2 o2 o2 o2 o2 o2 B2 B2 B2 o2 T1 42 B2 43 43 43 43 39 B2 43 A2 B2 42 39 B2 43 A2 B2 42 39 39 39 39 B2 42 T1 o2 B2 B2 B2 o2 o2 o2 o2 o2 o2 T1 P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 A2 A2 A2 P2 P2 P2 A2 A2 A2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 T1 o2 o2 o2 o2 o2 x x x x x x 44 44 36 36 36 13 44 36 36 25 36 13 44 44 27 25 17 13 45 44 27 25 17 17 45 37 27 37 37 17 45 37 37 37 17 17 42 30 30 25 19 13 42 31 31 25 20 11 45 32 27 22 22 13 45 33 33 25 21 13 43 34 27 23 23 12 45 35 27 24 24 12 42 41 30 19 19 11 41 41 31 20 20 11 41 32 32 22 16 16 41 41 33 21 21 16 43 34 34 23 16 16 43 35 35 24 16 12 42 30 30 19 15 11 42 31 31 20 15 15 40 40 32 22 22 15 40 33 33 21 15 15 40 40 34 23 23 12 43 40 35 24 24 12 39 30 26 19 19 11 42 31 26 20 20 11 39 32 32 18 22 10 39 33 26 21 21 10 43 34 34 18 23 12 43 35 35 18 24 10 39 28 28 28 14 14 39 28 26 28 28 14 39 38 26 18 14 14 38 38 26 18 14 10 38 29 29 18 29 10 38 38 29 29 29 10 44 44 36 36 36 13 half of the solution 42 x x 25 x 13 42 41 x x x 11 42 x x x 15 11 39 x 26 x x 11 39 28 28 28 14 14 44 36 36 25 36 13 42 x x 25 x 11 41 41 x x x 11 42 x x x 15 15 42 x 26 x x 11 39 28 26 28 28 14 44 44 . 25 . 13 . x . x x 13 41 x x x . . . . x x x 15 39 x x . x . 39 . 26 . 14 14 . 44 . 25 . . . . . 25 . 13 41 41 . . . . . . . . 15 15 39 . 26 . . . . . 26 . 14 . x x x x x x 43 30 27 20 13 12 43 43 27 20 20 12 44 43 43 21 20 20 44 44 43 21 21 20 45 44 44 22 21 21 45 31 44 22 14 21 40 30 38 17 13 10 41 30 27 18 13 12 41 41 27 18 18 12 45 41 41 22 18 18 45 31 41 22 14 18 42 31 39 19 14 11 40 38 38 17 17 10 40 30 36 15 13 10 45 30 27 22 13 12 45 31 27 22 14 12 42 31 37 16 14 11 42 39 39 19 19 11 38 38 25 25 17 17 40 36 36 15 15 10 40 30 33 33 13 10 42 31 26 26 14 11 42 37 37 16 16 11 39 39 35 35 19 19 38 28 28 25 25 17 36 36 28 28 15 15 40 33 33 28 28 10 42 29 29 26 26 11 37 37 29 29 16 16 39 35 35 29 29 19 32 32 23 23 25 25 36 32 32 23 23 15 33 33 32 32 23 23 34 34 24 24 26 26 37 34 34 24 24 16 35 35 34 34 24 24 1 1 1 1 2 44 44 44 44 18 15 44 42 30 28 17 15 45 42 30 28 17 15 45 42 30 28 17 15 45 42 30 28 17 31 45 33 31 31 31 31 40 40 26 26 18 10 44 40 30 30 17 17 45 45 27 27 27 27 41 41 41 41 15 15 42 42 28 28 16 31 43 33 29 29 16 16 40 32 32 26 18 10 38 38 32 26 14 13 41 38 29 26 14 27 41 38 29 26 14 27 39 38 29 19 14 14 43 33 29 19 19 16 40 32 25 18 18 10 38 39 25 18 13 13 37 39 25 24 13 22 37 39 25 24 13 22 39 39 33 24 13 14 43 33 33 24 19 16 40 32 25 25 10 10 34 34 21 21 10 20 37 37 37 37 11 11 35 35 22 22 22 22 36 43 23 23 12 12 43 43 24 24 19 16 35 32 20 20 20 20 35 34 23 21 12 20 35 34 23 21 12 11 35 34 23 21 12 11 36 34 23 21 12 11 36 36 36 36 19 11 3 1 1 1 with reflections 44 34 28 28 12 12 44 34 28 22 22 12 44 34 28 33 22 12 45 35 29 33 22 13 45 35 29 33 21 13 45 35 29 29 13 13 44 44 44 28 12 10 42 42 42 22 18 10 43 34 34 34 10 10 43 35 35 35 11 11 43 33 33 33 21 11 45 45 45 29 13 11 40 40 40 28 12 17 42 32 32 22 18 17 42 38 32 21 10 17 42 39 32 21 11 20 43 43 43 21 21 20 41 41 41 29 13 20 40 36 26 17 17 17 40 32 30 18 18 15 40 38 31 18 10 15 41 39 31 18 11 15 41 31 31 19 19 19 41 37 27 20 20 20 38 36 26 14 14 14 38 32 30 15 15 15 38 38 23 23 23 19 39 39 24 24 24 19 39 31 25 25 25 19 39 37 27 16 16 16 36 36 26 26 23 14 36 30 30 26 23 14 36 30 25 26 23 14 37 30 25 27 24 16 37 31 25 27 24 16 37 37 27 27 24 16 Impossible: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . x x x Impossible proof: piece F, T Choose the chessboard coloring with cubes of size 2. Look at piece F, T, *: 1 2 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 . 3 1 2 Equal numbered cubes will get different color. Therefore the pieces will have (white,black)=(3,3) in any orientation. As the number of white and black cubes of the box is different the figure is impossible. This is the same proof which shows that 54 I4 did not fit into the 6-cube. x x x x 2 x x x x x no 6x6xN x x 2 x x x impossible: no NxNxN 2 x 2 x don't fill the 2x2x2 corner x x x x x x x x x x x x open: x x no 2, 3, 6? x x x x x x x x x x no 2, 3, 6?