Tetraedra with figure: 4-9, 15 Torsten Sillke, 1994-09-18 Coordinates: 000 011 022 101 o o o o classification of possible tetraedra. Tetrahedron_number(n) = T(n) = C(n+2,3) = n(n+1)(n+2)/6 divisiblility: 4 | T(n) <=> n even or n = -1 (modulo 8) Tetrahedra of order n: n T(n) T(n)/4 #solution 2 4 1 -- 4 20 5 2 6 56 14 + 2*Tetra6half and Tetra4 + Tetra6|2 7 84 21 + Tetra6 + Triangle7 8 120 30 + 2*Roof3.4 + 4*Tetra4 and Tetra7 + Triangle8 Tetrahedra (chopped) of order n: n T(n|2) T(n|2)/4 #solution 2 4 1 -- 4 16 4 1 6 36 9 + 8 64 16 + 2*Tetra4|2 + 4*Par(2,4) and Triangle(7) + Triagle(8) TetraN|2 = TetraN-4|2 + TetraN|2.4 for N >= 8 and even TetraN|2.4 = Tetra4|2.4 + (N-4)*Par(2,4) for N >= 4. Impossible: Tetra2, TetraN|2,2 Tetra4: (2 solutions) 2 1 2 L 1 3 2 1 2 L 1 3 3 3 R R R L R L If playing with rhombic-dodecahedra 1, 2, L are left handed and 3, R are right handed. The L-R part can be reflected. Tetra4|2: (unique solution) 3 1 3 4 1 1 3 4 3 1 2 2 2 4 4 2 Tetra6|2: (771 fixed solution) 3 c 3 3 f c c 3 f e f 3 1 a c b f e e or f f e 1 a b b b f f d e 1 d e e 1 a a 2 2 2 1 d d d 2 d d d 2 e Par(2,4): 1 1 1 2 1 2 2 2 classification of possible triangles: Triangular_number(n) = T(n) = C(n+1,2) = n(n+1)/2 divisiblility: 4 | T(n) <=> n = -1, 0 (modulo 8) Triangles of order n: n T(n) T(n)/4 #solution 7 28 7 1 8 36 9 1 Triangle(8N+7) = Triangle(8N-1) + Triangle(7) + 8N*Par(2,4) Triangle(8N+8) = Triangle(8N) + Triangle(8) + 8N*Par(2,4) Alternatively you can fill the plane alternating with Triangle(7) and Triangle(8). This tiling will contain all possible triangles. Triangle7: (1 solution) p p p 1 p p 1 1 p p 1 3 4 p 5 2 3 3 4 4 5 2 2 2 3 4 5 5 Triangle8: (3+5 solutions) p 3 4 p p 3 2 4 4 1 p p 3 3 2 4 1 2 1 1 p p 1 1 2 2 3 1 2 2 p p 1 p 3 3 1 3 3 3 3 1 1 3 2 p p 2 3 3 3 3 3 1 2 3 2 3 3 2 3 3 4 p p 2 p p p p 3 1 2 2 1 2 2 4 2 2 2 1 3 4 p p 2 2 p p p p 1 1 1 2 1 1 1 2 4 4 4 1 1 1 4 4 Pyramid7 - Oktahedron4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . 31 . 24 . . . . . . . . . . . 35 . . . 18 . . . . . . . . . 33 . . . . . 18 . . . . . . . 37 . . . . . . . 17 . . . . . . . 34 . . . . . 15 . . . . . . . . . 30 . . . 22 . . . . . . . . . . . 30 . 22 . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . 28 . 21 . . . . . . . . . . . 31 . 24 . 21 . . . . . . . . . 35 . 33 . 25 . 21 . . . . . . . 35 . 33 . . . 18 . 16 . . . . . 37 . 33 . . . . . 17 . 14 . . . . . 36 . 32 . . . 17 . 15 . . . . . . . 34 . 27 . 22 . 19 . . . . . . . . . 30 . 27 . 20 . . . . . . . . . . . 29 . 27 . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . 28 . 23 . . . . . . . . . . . 28 . 24 . 23 . . . . . . . . . 31 . 24 . 25 . 21 . . . . . . . 35 . 31 . 25 . 16 . 14 . . . . . 36 . 32 . 25 . 18 . 16 . 14 . . . 37 . 36 . 32 . . . 17 . 16 . 14 . . . 37 . 36 . 32 . 22 . 19 . 15 . . . . . 34 . 29 . 27 . 19 . 15 . . . . . . . 34 . 29 . 19 . 20 . . . . . . . . . 30 . 29 . 20 . . . . . . . . . . . 26 . 20 . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . Pyramid8 - Oktahedron4: . . . . . . . . . . . . . . . part I . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . 18 . 15 . . . . . . . . . . . 20 . . . 15 . . . . . . . . . 22 . . . . . 15 . . . . . . . 23 . . . . . . . 12 . . . . . . . 21 . . . . . 13 . . . . . . . . . 21 . . . 14 . . . . . . . . . . . 21 . 16 . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . 20 . 17 . . . . . . . . . . . 20 . 18 . 17 . . . . . . . . . 20 . 18 . 15 . 12 . . . . . . . 22 . 18 . . . 13 . 12 . . . . . 23 . 22 . . . . . 13 . 12 . . . . . 23 . 22 . . . 16 . 13 . . . . . . . 23 . 21 . 16 . 14 . . . . . . . . . 19 . 16 . 14 . . . . . . . . . . . 19 . 14 . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . part II . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . . . . 24 . 16 . . . . . . . . . . . 32 . 21 . 16 . . . . . . . . . 35 . 26 . 21 . 16 . . . . . . . 35 . 33 . 23 . 21 . 14 . . . . . 35 . 33 . 28 . 17 . 13 . 11 . . . 37 . 33 . 29 . . . 17 . 13 . 10 . . . 36 . 31 . 25 . 19 . 17 . 13 . . . . . 34 . 31 . 25 . 15 . 12 . . . . . . . 34 . 31 . 25 . 18 . . . . . . . . . 34 . 27 . 18 . . . . . . . . . . . 30 . 18 . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . . . . 24 . 20 . . . . . . . . . . . 32 . 24 . 20 . . . . . . . . . 32 . 23 . 24 . 16 . . . . . . . 32 . 26 . 23 . 21 . 14 . . . . . 35 . 28 . 26 . 23 . 14 . 10 . . . 36 . 33 . 28 . 26 . 14 . 11 . 10 . 37 . 36 . 29 . 28 . 15 . 17 . 11 . 10 . 37 . 36 . 29 . 19 . 15 . 13 . 11 . . . 37 . 31 . 29 . 19 . 15 . 12 . . . . . 34 . 27 . 25 . 19 . 12 . . . . . . . 30 . 27 . 18 . 12 . . . . . . . . . 30 . 27 . 22 . . . . . . . . . . . 30 . 22 . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . Oktahedron4: Roof4x3 and Roof3x2 and / a a a a a a a b a b b b b b b b / fold up Roof3x2: a a a a b b b b Roof4x3: x x x y x x y x x x y y y y y y y y y y with x=roof3x2 and y is / a a a a a a a b a b b b / fold up -- AUFGABE: Bei der Aufgabe ein Tetraeder mit Kantenlaenge 4 aus o fuenf o o o zu bauen, zerfallen die beiden Loesungen in zwei symmetrische Einheiten. Die eine Komponente enthaelt zwei Teile in den (s,i,e)-Anordnungen (1,0,3) und (0,1,3). Die andere Komponente besteht aus drei Teilen in der Anordnung (1,1,2). Durch Spiegelung einer dieser Komponenten gehen die beiden Loesungen ineinander ueber. o AUFGABE: lege ein Dreieck nur aus den Teilen o o o Diese Aufgabe ist fuer alle Dreieckszahlen, die ein Vielfaches von vier sind moeglich. Ein Dreieck mit Kantenlaenge n ist genau dann legbar wenn n gleich 0 oder 7 (modulo 8) ist. Es genuegt, Drei7 und Drei8 zu legen, da man alle groesseren Dreicke aus diesen beiden Konfigurationen zusammensetzen kann. Dazu bilde naechst groessere Einheit eine Raute mit Kantenlaenge 8, die aus einem Drei7 und einem Drei8 bestehen. Dreiecke mit Kantenlaenge 8k und 8k+7 lasen sich jetzt durch diese Ranten fuellen bis auf einen Streifen von Dreiecken an einer Kante. Diese werden mit den Dreiecken Drei7 bzw. Drei8 gefuellt. Da jede Raute in zwei Arten durch Drei7 und Drei8 gebildet werden kann, ergeben sich also mindesten exponentiel (in der Anzahl der verwendeten Teile) viele Loesungen. Die Anzahl der Loesungen ist aber auch hoechstens exponentiel (in der Anzahl der verwendeten Teile). Dies sieht man, wenn man von links nach rechts immer versucht, das erste freie Feld zu belegen. Dabei gibt es immer eine feste Anzahl von potentiellen Moeglichkeiten. Im schlimmsten Fall fuehrte jede davon zu einer Loesung. Dies sind dann exponentiel viele.