Herzkurven: ----------- [Eugen Beutel, p144-45] 5. Beispiel: Es soll die Gleichung der Herzform aufgestellt werden. Legen wir den Koordinatenursprung derart, dass die beiden Rueckkehrpunkte in die Punkte (0, +-1) fallen, so wird jede Kurve, die in diesen beiden Punkten Rueckkehrpunkte hat, dargestellt durch die Gleichung (x^2 + y^2 - 1)^3 = ax^2y^3. Zugleich hat diese Kurve, da das Aggregat der Glieder hoechsten Grads (x^2 + y^2)^3 ist, keine reellen unendlichfernen Punkte. Es bleibt nun noch der Parameter a zu bestimmen uebrig. Spezielle Punkte sind (+-1, 0), (+-1, a^(1/3)) und (+-a^(1/4), 1). Mit a=4 ergibt sich damit (+-1, 1.58) und (+-1.41, 1). Die weitere Diskussion, insbesondere die Untersuchung der hoechsten und tiefsten Punkte in bezug auf die Achsen sei dem Leser ueberlassen. Die gesuchte Kurvengleichung lautet also: (x^2 + y^2 - 1)^3 = 4x^2y^3. Hierbei sind allerdings die Punkte (+-1, 0) dreifache Punkte; jedoch sind zwei der durch sie hindurchgehenden Kurvenzuege imaginaer konjugiert (folgt mit y=0 ohne weiteres aus der Kurvengleichung). Fuer das Auge sind also diese beiden Punkte von gewoehnlichen Punkten nicht verschieden. [U. Graf, p63] Da wir so einmal bei Mathematik und Liebe sind, wollen wir auch die sachlich-kurze Liebererklaerung zitieren, die ein schuechterner Mathematiker seiner Angebeteten schickte. Sein Brief enthielt nur die Gleichung y = 2/3 ( (x^2 + |x| - 6)/(x^2 + |x| + 2) +- sqrt(36 - x^2) ). Als aber die fachlich vorgebildete Maid sich nach dieser Gleichung die Kurve in einem xy-Achsenkreuz aufzeichnete, erschien unter dem Bleistift der Erroetend-Erschrockenen das Symbol der Liebe. [N. Herrmann, p111-115] y = |x| +- sqrt(1 - x^2). Das sind zwei halbe Ellipsen. 2x²-2xy+y²-1=0 fuer x >= 0 2x²+2xy+y²-1=0 fuer x <= 0 [Kurt Eisemann] x^2 + (y - 3/4 (x^2)^(1/3))^2 = 1 [Schupp, Dabrock, Aufgabe 8.5.5, Gleichung (8.17)] x^2 + 2 (y - 3/5 (x^2)^(1/3))^2 = 1 [sio] x^2 + 2 (y - p*|x|^q)^2 = 1 zB. p = q = 1 (zwei halbe Ellipsen) zB. p = q = 1/2. Polarformen r = 2 sin^2(phi/4) = 1 - cos(phi/2) mit |phi| <= pi. (nach Eisemann) r = |phi|/pi mit |phi| <= pi. (archimedische Spirale) r = (1 - |phi|)(1 + 3|phi|) mit |phi| <= 1. (nach Caspar) r = 2 tan(phi/2)/(1 + a tan^2(phi/2)) mit |phi| <= pi/2 (a=1 Kreis, a=2 Herz) Referenz: - Eugen Beutel; Algebraische Kurven, Teil 1: Kurvendiskussion. Leipzig: Göschen 1909. (Sammlung Göschen) 147p - Eugen Beutel war Professor an der Zeppelin-Oberschule in Stuttgart - chapter: Umgekehrte Kurvendiskussion 5. Beispiel: Es soll die Gleichung der Herzform aufgestellt werden. - Ulrich Graf; (Illustrated by Maria-Erika Graf) Kabarett der Mathematik, Dresden: L. Ehlermann, 1942 Hardcover. 1. Auflage. Dresden: L. Ehlermann, 1943 Hardcover. 2. Auflage. Klein-Oktav 96 Seiten - Norbert Herrmann; Mathematik ist überall, Oldenbourg Verlag 2004 [ISBN 3-486-57583-X] - chapter 13: Das Herz-Problem :1: y = |x| +- sqrt(1 - x^2) :2: -> Thomas Jahre - Jürgen Köller; Herzkurve, http://www.mathematische-basteleien.de/herz.htm http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm - Thomas Jahre; (Chemnitzer Schulmodell) Ein Herz für die Mathematik http://www.schulmodell.de/mathe/herz/ :: y = 2/3 ( (x^2 + |x| - 6)/(x^2 + |x| + 2) +- sqrt(36 - x^2) ). - Michael Holzapfel; http://m.holzapfel.bei.t-online.de/verschiedenes/mathenuss/herzkurve/herzkurve.htm 1. Herzkurve aus zwei Funktionsteilen :: y = sqrt(1 - (|x|-1)^2), y = arccos(1 - |x|) - pi 2. Die Kardioide :: (x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 2ax) - a^2y^2 = 0 - Friedrich Krause; Problem 5: Kurvendiskussion des Herzens, http://www.theorie.physik.uni-wuppertal.de/arbeitskreis/Herz.html http://www.theorie.physik.uni-wuppertal.de/arbeitskreis/herzn.pdf :: y = sqrt(|x|) +- sqrt(1 - x^2) - Kurt Eisemann; footnote in: Cardioid, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cardioid.html :1: x^2 + (y - 3/4 (x^2)^(1/3))^2 = 1 :2: r = sin^2( pi/8 - phi/4 ) - El-Milick; Eléments d'algèbre ornementale, Dunod, Paris 1936 pp 101, 103 :: y = (x^2)^(1/3) +- sqrt(1 - x^2) - Hans Schupp, Heinz Dabrock; Höhere Kurven, Situative, mathematische, historische und didaktische Aspekte, Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik 28, BI Wissenschaftsverlag 1995, ISBN 3-411-17221-5 - H. Wieleitner; Spezielle Ebene Kurven, G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, Leipzig, 1908. - Caspar, H.-J.; Herzkurven. PM 1/99 30 :: r = -(|phi| - pi/3)(|phi| + pi/9) with |phi| <= pi/3 http://www.hjcaspar.de/hpxp/kurven.htm - Karl-Heinz Kriegl; Eine Herzkurve. PM 4/99 184 MathDi 1999e.03664 :: y = sqrt(|x|) +- sqrt(1 - x^2) - Michael Zettler; Und noch ein Herz. PM 6/99 274 :: y = sqrt(1 - (|x|-1)^2), y = arccos(1 - |x|) - pi - R. Hertel; Und noch einmal eine Herzkurve. PM 6/99 280 -> Ulrich Graf - Thomas Hechinger; ... und noch ein weiteres Herz. PM 2/00 67 :: y = sqrt(1 - (|x|-1)^2), y = -3 sqrt(1 - sqrt(|x|/2)) - Wolfgang Buchholz; ... noch ein Herz. PM 3/00 129 - Eric W. Weisstein; Bonne Projection. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BonneProjection.html - Eric W. Weisstein; Heart Curve. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html - Les Reid; Southwest Missouri State University's Advanced Problem Page, http://math.smsu.edu/~les/Advanced.html - 27. A Heart-Shaped Box http://math.smsu.edu/~les/Adv27.html - 38. Put the Heart in a Box http://math.smsu.edu/~les/Adv38.html Referenz Symbol: - Armin Dietz; Das Herzsymbol - Herkunft, Geschichte und Bedeutung; http://www.herzsymbol.de/ http://www.herzbestattung.de/ - Desmond Morris; :1: Körpersignale, Vom Dekollete zum Zeh, Heyne 1993 :2: Die nackte Eva, Heyne 2004 (The naked woman) http://www.desmond-morris.com/index.php "Das traditionelle Herz-Symbol mit seinem tiefen Einschnitt hat wenig Ähnlichkeit mit dem Aussehen eines echten Herzens. Es scheint sich - unbewußt - aus der Form des nackten weiblichen Gesäßes herzuleiten, wie es ein verliebter Mann wahrnimmt, der sich von hinten nähert. Als Symbol der Liebe wäre das bei der menschlichen Spezies wesentlich sinnvoller, wenn man an die einzigartige und allzu typische Form dieses Teiles der Anatomie denkt, der so sehr im Mittelpunkt der sexuellen Aufmerksamkeit des Mannes steht." - hrsg. von Georg Berkemer; Das Herz im Kulturvergleich : [interdisziplinäres Seminar ... Kiel im Sommer 1993] Berlin : Akad.-Verl. , 1996 . - 261 S. (Lynkeus ; 3) ISBN 3-05-002742-8 - KULTURAMA; Herz als Symbol und Organ, Begleitpublikation zur Sonderausstellung HERZ KULTURAMA - Museum des Menschen, Zürich http://www.kulturama.ch/index2.html http://www.phillyburbs.com/valentine/symbols/heart.shtml http://www.symbols.com/encyclopedia/20/2018.html http://www.straightdope.com/classics/a2_146.html http://bibletools.org/index.cfm/fuseaction/Topical.show/RTD/CGG/ID/963 http://answers.google.com/answers/threadview?id=383401 http://www.heartsmith.com/heart_history.html - Claddagh Ring; http://members.chello.at/hhofer/claddagh-ring-st-patricks-day.htm - Herz - Hand - Krone Referenz Graphik Design Logo: - Ulrike Lücke; Hand in Hand Kranken- und Altenpflege, http://www.pflege-badsalzuflen.de/ - Hand in Hand Herz - Carsten Seidel; Der Liebesbrief und sein Herzbild. Wesensmerkmale, Funktionen und Typen, 218 Seiten, Pb, Tectum Verlag 2002 ISBN 3-8288-8358-3 http://www.tectum-verlag.de/8358TEXT.HTM - mit einer Herzsymbolklassifikation - hrsg. ungenannt; Das Herz, Bd. 2 Im Umkreis der Kunst. Biberach an der Riss 1966 - Herz - Rätsel in Wissenschaft und Kunst; Eine Ausstellung im Malakowturm der RUB Prof. Dr. Irmgard Müller, Ruhr-Universität Bochum, Medizinische Fakultät, Abteilung Geschichte der Medizin, 44780 http://www.uni-protokolle.de/nachrichten/id/38670/ - Heartbrand - Unilever; http://www.markenmuseum.com/ http://www.markenmuseum.com/galerien/l/pages/langnese.html - Martin Gardner; Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, Freeman (1988) New York - chapter 16: The Sixth Symbol and Other Problems - chapter 16 problem 1: What Symbol Comes Next? - ThinkFun; What Symbol Comes Next? http://www.puzzles.com/PuzzlePlayground/NextSymbol/NextSymbol.htm http://www.puzzles.com/PuzzlePlayground/NextSymbol/NextSymbolPrintPlay.pdf - WTO - World Toilet Organization - WTO-Logo http://www.worldtoilet.org/ - AWO; Arbeiterwohlfahrt, - AWO-Logo http://www.awo.org/ - Astra; Biermarke Referenz Kardioide: - J. Ph. Weinmeister; Die Herzlinie. Hoffmann Z. XV. (1884) 245-270. JFM 16.0568.01 Nachschrift der Redaction. Hoffmann Z. XV. (1884) 271-273. JFM 16.0568.02 Der Herr Verfasser giebt zuerst die bekannte Erklärung der Herzlinie (sonst Kardioide genannt): Von einem festen Punkt S eines Kreises zieht er alle möglichen Sehnen, die er dann um den Durchmesser verlängert (oder verkürzt, wobei die Sehnen rückwärts -- also über S -- verlängert werden müssen). Er weist dann nach, wie die Herzlinle auch Fusspunktcurve und Rollcurve ist; giebt eine mechanische Zeichnung derselben an, und construirt an ihr die Tangente und Normale auf drei verschiedene Arten. Dann bespricht er die ausgezeichneten Punkte der Curve, ihre weiteren Durchschnitte mit einer ihrer Tangenten, ihre Entstehung durch Einhüllung, ferner wie sie als Brennlinie auftritt, hierauf ihre Krümmung, ihre Abwickelung, Rectification und Quadratur. Nach einer Erklärung der Kreisverwandtschaft im allgemeinen wird dann die Herzlinie als Kreisverwandte der Parabel betrachtet, woraus mehrere Folgerungen sich ergeben. Die Deduction ist durchweg elementar gehalten, beruht im wesentlichen auf Anschauung und vermeidet fast jede Rechnung. Am Schlusse fügt die Redaction einige historische Notizen über die Kardioide hinzu. -- http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/ mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de