MacMahon's cubes: A cube has six faces, and if six colours are chosen we can paint each face with a different color. By permuting the order of the colours we can obtain 30 such cubes, no two of which are coloured alike. These cubes are called MacMahon's colourd cubes. MacMahon's problem: Conway's Scheme: a b c d e f 5 4 2 1 4 A . 3 4 2 2 6 1 1 3 4 4 2 5 5 1 3 1 3 5 3 2 3 3 5 3 2 B 5 4 1 . 1 2 4 4 1 2 2 1 5 5 3 4 2 5 6 4 1 2 1 6 4 1 C 4 6 3 3 2 5 . 2 5 3 3 5 6 6 5 4 1 4 1 2 3 1 4 2 2 3 D 2 3 5 5 1 6 6 5 1 . 3 4 5 5 2 1 4 2 3 1 4 4 2 3 3 4 E 1 2 3 3 1 4 4 5 2 2 4 1 . 3 5 2 5 5 6 5 1 5 5 6 5 3 F 4 1 2 2 3 1 1 5 3 3 2 4 4 5 1 . 3 4 4 1 2 a b c d e f 4 5 6 4 3 2 2 1 1 4 A . 3 . 2 2 . 1 1 . 4 4 . 5 5 . 3 1 6 3 5 5 6 3 6 2 6 4 3 2 3 1 5 1 3 3 2 B 5 . 1 . 1 . 4 4 . 2 2 . 5 5 . 4 2 6 5 6 6 3 4 6 1 6 6 2 2 1 5 6 5 4 5 1 C 4 . 3 3 . 5 . 2 . 3 3 . 6 6 . 4 1 5 4 6 1 4 2 1 3 2 3 1 1 4 5 2 4 2 2 3 D 2 . 5 5 . 6 6 . 1 . 3 . 5 5 . 1 4 6 2 3 3 4 1 6 4 6 2 4 1 2 5 3 4 3 5 4 E 1 . 3 3 . 4 4 . 2 2 . 1 . 3 . 2 5 6 5 6 6 1 5 6 1 6 1 5 3 5 5 6 2 5 5 3 F 4 . 2 2 . 1 1 . 3 3 . 4 4 . 1 . 3 6 4 6 4 2 1 6 2 6 Multiple Cubes: After building one macmahonian cube, there is only one other macmahonian cube which can by made from the remaining 22 cubes. It is its mirror image. This property follows directly from the Conway's scheme. Probabilities: Select a set of cubes A at random from the MacMahon cubes, with #A = n. Let S be the probability variable counting the number of macmahonian sets which contain A. This can be answerd using Conway's scheme at once. case n=0: trivial Prob(S=30) = 1 E(S) = 30 (expected number of macmahonian cube sets) case n=1: trivial Prob(S=8) = 1 E(S) = 8 (expected number of macmahonian cube sets) case n=2: Prob(S=0) = 1/29 Prob(S=1) = 8/29 Prob(S=2) = 12/29 Prob(S=3) = 8/29 E(S) = 30*C(8,2)/C(30,2) case n=3: Prob(S=0) = 500/(29*28) Prob(S=1) = 288/(29*28) Prob(S=2) = 24/(29*28) E(S) = 30*C(8,3)/C(30,3) case 8>=n>=4: Prob(S=0) = 1 - Prob(S=1), Prob(S=1) = E(S) = 30*C(8,n)/C(30,n) References: - W. W. Rouse Ball, H. S. M. Coxeter; Mathematical Recreations and Essays, 12th edition, 1974 - chap 4.1.5: Colour-cube problem, p113-115 - Margaret A. Farrell; The Mayblox Problem, Journal of Recreational Mathematics, 2 (1969) 51-56 - Martin Gardner; New Mathematical Diversions from Scientific American Simon & Schuster (1966) (german: Mathematische Knobeleien, Vieweg, 1972) - chap 16: The 24 Color Squares and the 30 Color Cubes (Scientific American, Mar 1961) MacMahon's 3-coloured squares and his cubes. - Martin Gardner; Fractal Music, Hypercards and More Math. Recreations from SA Magazin, Freeman (1991) New York - chap 6: The Thirty Color Cubes (Scientific American (Sep 1978) 20-30 & 242) MacMahon's coloured cubes, Conway on Cube Colouring - Norman T. Gridgeman; The 23 colored cubes. Mathematics Magazin 44:5 (Nov 1971) 243-252. - The 23 colored cubes are the equivalence classes of ways of coloring the faces with 1 to 6 colors. He cites and describes some later methods for attacking Instant Insanity problems. Covers some ideas on the MacMahon cubes. - Charles-É. Jean; Dict Coloré Cube, (French) http://www.recreomath.qc.ca/dict_colore_cube.htm - Paul B. Johnson; Staking Colored Cubes, American Mathematical Monthly 63 (1956) 115-124 - number of ways to build the 2-cube with MacMahon's cubes. - Bruno Kerst; Mathematische Spiele, Grote'sche Verlagsbuchhandlung, Berlin 1933 (Nachdruck: Martin Sändig, Wiesbaden 1968) - chap 3: Die Würfel des Majors Mac Mahon, p67-81 - Jürgen Köller; MacMahon's Coloured Cubes / MacMahons Farbwürfel, http://www.mathematische-basteleien.de/macmahon.htm (English) http://www.mathematische-basteleien.de/macmahons.htm (German) - Arnold Kowalewski; Die Buntordnung. Mathematische, philosophische und technische Betrachtungen über eine neue kombinatorische Idee. Heft 1. Entstehung und mathematischer Ausbau Buntordnungslehre. (53 pages.) Wilhelm Engelmann, 1922. - Gerhard Kowalewski; Alte und neue mathematische Spiele. Eine Einführung in die Unterhaltungsmathematik. (German) Leipzig: B. G. Teubner. VI, 145 S. Mit 104 Abb. und Anleitung zur Herstellung des Spielgeräts. (1930). (Nachdruck: Martin Sändig, Walluf 1978, ISBN 3-500-19830-9) JFM 56.0097.26 - chap 1: Die bunten Würfel der Majors Mac Mahon, p1-21 - Gerhard Kowalewski; Der Keplersche Körper und andere Bauspiele, (German) Koehlers, Leipzig, 1938, 65 S. (Series: Scientia Delectans Heft 3) Inhaltsverzeichnis: 1. Bauten mit bunten Quadraten und Würfeln, p5 2. Rhombenkleider für die fünf platonischen Körper, p11 3. Die Bausteine des Keplerschen Körpers, p22 4. Spiel der dreissig bunten Männchen und Würfeln mit Keplerschen Körper, p33 5. Vom Rhombendodekaeder, p39 6. Nochmals das Keplersche Dreissigflach, p51 - Dirk P. Laurie; A Notation for MacMahon's Coloured Cubes, National Research Institute for Mathematical Sciences, Pretoria, South Africa, Technical Report, TWISK 40, August 1978 - Percy Alexander MacMahon; New Mathematical Pastimes, Cambridge, 1921 (It is include in the 2nd volume of his Collected Papers.) The whole book deals with variations of the problem and calculates the numbers of pieces of various types. In particular, he describes the 24 4-coloured triangles, the 24 3-coloured squares, the MacMahon cubes, some right-triangular and hexagonal sets and various subsets of these. With upto n colours, there are n(n^2+2)/3 triangles, n(n+1)(n^2-n+2)/4 squares and n(n+1)(n^4-n^3+n^2+2)/6 hexagons. On p. 44, he says that Col. Julian R. Jocelyn told him some years ago that one could duplicate any cube with 8 other cubes such that the internal faces matched. - Gilbert Obermair; Würfel-Spielereien, Heyne Verlag 1976, ISBN 3-453-41193-5 - chap 7: Die Würfel des Artilleriemajors, p73-84 - Walther Stams; MacMahon-Spiel und symmetrische Gruppe S_6. (German) Deutsche Mathematik 2, 691-697 (1937). Zbl 0018.01105 Hat man sechs Farben zum Bemalen der Seitenflächen eines Würfels, so kann man dies auf 6!:4! = 30 verschiedene Arten ausführen, wodurch man die 30 Würfel des Spieles von MacMahon erhält. Es wird gezeigt, wie ein einzelner Würfel die Tetraedergruppe repräsentiert und wie alle 30 Würfel die symmetrische Gruppe S_6 von sechs Elementen darstellen. Spiegelt man einen Würfel an einer seiner Flächen, so erhält man einen Doppelstein, von denen es 15 Paare gibt, deren jedes 48 Doppelsteine erzeugt, wodurch wir nochmals die S_6 erhalten. Betrachtet man die fünf Würfel des Dodekaeders als Sternpolyeder und färbt jeden Würfel nach der obigen Art, so kann man fragen, wieviel verschiedene Ausführungen des Sternpolyeders möglich sind. J. J. Burckhardt - Rüdiger Thiele; Das grosse Spielvergnügen, Hugendubel Verlag, München 1984 ISBN 3-88034-233-4 - chap 2: Thema mit Variationen: Der Würfel Das Spiel der 30 bunten Würfel p68-74, 83-86 Katzenjammer-Puzzle p75-77, 86-87 - Rüdiger Thiele, Konrad Haase; Teufelsspiele, (engl: games of the devil) Urania-Verlag Leipzig, Jena, Berlin, 2. Aufl. 1989 (1. Aufl. 1988). ISBN 3-332-00116-7. - chap 5: Kugeln und Kuben chap 5.2: Dreissig farbige Würfel, p179-181, 193-194 (Conways Königsweg für einige Probleme der 30 bunten Würfel MacMahons) - Rüdiger Thiele, Konrad Haase; Der verzauberte Raum, Spiele in drei Dimensionen, 1991, Urania Verlag ISBN 3-332-00480-8. - chap 4: Das Spiel der 30 bunten Würfel, p82-108 - Ferdinand Winter; Das Spiel der 30 bunten Würfel. Mac Mahons Problem. (German) Leipzig, Berlin: B. G. Teubner. 128 S., 31 Abb. (1934). Zbl.0009.13105 Inhaltsverzeichnis: 1. Beschreibung des Spielzeugs 2. Eine neue Gestaltung des Spielzeugs 3. Mac Mahons Problem 4. Problem der zwei Mac Mahon-Würfel 5. Kowalewskis Spiel mit sechzehn Steinen 6. Beziehungen zwischen Mac Mahon-Würfeln und Kowalewski-Würfeln 7. Das Auffinden der notwendigen Bausteine 8. Ein neues Spiel von drei Würfeln 9. Spiel der Würfel: oben und unten gleicher Farbe 10. Spiele der Würfel: oben und unten mit vier Farben 11. Spiel der Würfel mit vier Farben auf jeder Aussenflaeche 12. Würfel mit drei latenten Farben 13. Spiele mit zwölf und mit sechzehn Steinen 14. Spiele mit sechzig Steinen 15. Ein neues Spiel mit dreissig Quadraten 16. Ein neues Spiel mit Magischen Würfeln - Ferdinand Winter; Eine neue Aufgabe zu MacMahons 30 bunten Würfeln. (German) Monatsh. Math. Phys. 44, 290-294 (1936). Zbl 0014.39001 -- http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/ mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de